مشتق رادیکال — به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی مجله فرادس، با مفاهیم مشتق و روش‌های مشتق‌گیری آشنا شدیم. همچنین، مباحثی مانند مشتق لگاریتم و تابع نمایی، مشتق ضمنی، مشتق جزئی، مشتق زنجیره‌ای، مشتق توابع معکوس،‌ مشتق توابع کسری و مشتق جهتی را توضیح دادیم. در این آموزش، با مشتق رادیکال و توابع رادیکالی آشنا می‌شویم.

مشتق رادیکال

یک راه ساده برای محاسبه مشتق رادیکال این است که تابع رادیکالی را به صورت یک تابع توانی بنویسیم و با استفاده از قواعد مشتق‌گیری توابع توانی، مشتق رادیکال را محاسبه کنیم. اگر $$ f left ( x right ) = { x ^ p } $$ باشد که در آن، $$p$$ یک عدد حقیقی است، آنگاه داریم:

$$ large { left ( { { x ^ p } } right ) ^ prime } = p { x ^ { p – 1 } } . $$

اگر توان عددی منفی باشد، یعنی $$ f left ( x right ) = { x ^ { – p } } $$ ($$p>0$$) مشتق تابع به صورت زیر خواهد بود:

$$ large { left ( { { x ^ { – p } } } right ) ^ prime } = { – p { x ^ { – p – 1 } } } = { – frac { p } { { { x ^ { p + 1 } } } } . } $$

اگر $$ f left ( x right ) = sqrt [ large m normalsize ] { x } $$ باشد، آنگاه این تابع را می‌توان به صورت یک تابع توانی به توان $$ frac 1 m $$‌ نشان داد که مشتق آن به صورت زیر است:

$$ large { f’ left ( x right ) } = { left ( { sqrt [ large m normalsize ] { x } } right ) ^ prime } = { frac { 1 } { { m sqrt [ large m normalsize ] { { { x ^ { m – 1 } } } } } } . } $$

به طور خاص، مشتق رادیکال فرجه دو (ریشه دوم) به شکل زیر است:

$$ large { f’ left ( x right ) } = { left ( { sqrt x } right ) ^ prime } = { frac { 1 } { { 2 sqrt x } } . } $$

به همین ترتیب، مشتق رادیکال فرجه سه به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ large { f’ left ( x right ) } = { left ( { sqrt [ large 3 normalsize ] { x } } right ) ^ prime } = { frac { 1 }{ { 3 sqrt [ large 3 normalsize ] { { { x ^ 2 } } } } } . } $$

حال اگر عبارت زیر رادیکال، خود یک تابع باشد، می‌توانیم از قاعده زنجیره‌ای برای مشتق‌گیری استفاده کنیم طبق قاعده زنجیره‌ای اگر $$g(x)$$ یک تابع مشتق‌پذیر بوده و $$f(x)$$ در $$g(x)$$ مشتق‌پذیر باشد. با درنظر گرفتن $$y=f(g(x))$$ و $$u=g(x)$$، رابطه زیر برقرار است:

$$ large frac { d y } { d x } = frac { d y } { d u } cdot frac { d u } { d x } $$

یا با یک نمادگذاری دیگر:

$$ large begin {align*} frac { d } { d x } [ f ( g ( x ) ) ] & = f’ (g(x)) g’ (x ) , \
frac { d } { d x } [f ( u ) ] & = f’ ( u ) frac { d u } { d x } .
end {align*} $$

به طور خاص، برای رادیکال فرجه ۲ تابع $$ f ( x ) = u $$ می‌توان مشتق را به صورت زیر نوشت:

$$ large f ( x ) = sqrt {u} $$

$$ large f’ (x) = frac {u’}{2sqrt {u}}$$

مثال‌های مشتق رادیکال

در این بخش، مثال‌های متنوعی را از مشتق رادیکال حل می‌کنیم.

مثال ۱: مشتق تابع رادیکالی زیر را محاسبه کنید:

$$ y = sqrt [ large 3 normalsize ] { 7 } x + sqrt [ large 7 normalsize ] { 3 } $$

حل: مشتق رادیکال این‌گونه به دست می‌آید:

$$ large { y’ left ( x right ) = { left ( { sqrt [ large 3 normalsize ] { 7 } x + sqrt [ large 7 normalsize ] { 3 } } right ) ^ prime } } = { { left ( { sqrt [ large 3 normalsize ] { 7 } x } right ) ^ prime } + { left ( { sqrt [ large 7 normalsize ] { 3 } } right ) ^ prime } } = { sqrt [ large 3 normalsize ] { 7 } cdot 1 + 0 = sqrt [ large 3 normalsize ]{ 7 } . } $$

مثال ۲: مشتق رادیکال زیر را به دست آورید:

$$ y = large sqrt [ 4 ] { { small { x ^ 3 } } } . $$

حل: این مشتق رادیکال به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ large { y’ left ( x right ) = { left ( { sqrt [ 4 ] { { small{ x ^ 3 } } } } right ) ^ prime } } = { { left ( { { x ^ { large frac { 3 } { 4 } normalsize } } } right ) ^ prime } } = { frac { 3 } { 4 } { x ^ { large frac { 3 }{ 4 } normalsize – 1 } } } = { frac { 3 } { 4 } { x ^ { – large frac { 1 } { 4 } normalsize } } } = { frac { 3 } { { 4 sqrt [ large 4 normalsize ] { x } } } . } $$

مثال ۳: مشتق رادیکال زیر را به دست آورید.

$$ large y = sqrt [ 3 ] { {small {2 x ^ 2 } } } $$

حل: مشتق رادیکال را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم:

$$ large { y = sqrt [ 3 ] { small{ 2 { x ^ 2 } } } } = { sqrt [ 3 ] { 2 } cdot sqrt [ 3 ] { { small { x ^ 2 } } } } = { sqrt [ 3 ] { 2 }{ x ^ { frac { 2 } { 3 } } } . } $$

$$ large begin {align*} y ^ prime & = left ( { sqrt [ 3 ] { 2 } { x ^ { frac { 2 } { 3 } } } } right ) ^ prime = { sqrt [ 3 ] { 2 } left ( { { x ^ { frac { 2 } { 3 } } } } right ) ^ prime } = { sqrt [ 3 ] { 2 } cdot frac { 2 } { 3 } { x ^ { frac { 2 } { 3 } – 1 } } } \&= { sqrt [ 3 ] { 2 } cdot frac { 2 } { 3 } { x ^ { – frac { 1 } { 3 } } } } = { frac { 2 } { 3 } cdot { left ( { frac { 2 } { x } } right ) ^ { frac { 1 } { 3 } } } } = { frac { 2 } { 3 } sqrt [ 3 ] { small{ 2 } / { x } }} . end {align*} $$

مثال ۴: مشتق رادیکال $${ sqrt [ large m normalsize ] { { { x ^ n } } } } $$ را به دست آورید.

حل: این مشتق رادیکال به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ large begin {align*} y’ left ( x right ) & = { left ( { sqrt [ large m normalsize ] { { { x ^ n } } } } right ) ^ prime } = { { left ( { { x ^ { large frac { n } { m } normalsize } } } right ) ^ prime } } = { frac { n } { m } { x ^ { large frac { { n – m } } { m } normalsize } } } \ &= { frac { n } { m } { x ^ { – large frac { { m – n } } { m } normalsize } } } = { frac { n } { { m { x ^ { large frac { { m – n } } { m } normalsize } } } } } = { frac { n } { { m sqrt [ large m normalsize ]{ { { x ^ { m – n } } } } } } . } end {align*} $$

مثال ۵: مشتق رادیکال $$ { sqrt [ large pi normalsize ] { small{ x ^ 2 } } } $$ را محاسبه کنید.

حل:

$$ large begin {align*} y’ left ( x right ) & = { left ( { sqrt [ large pi normalsize ] { small { x ^ 2 } } } right ) ^ prime } = { { left ( { { x ^ { large frac { 2 } { pi } normalsize } } } right ) ^ prime } } = { frac { 2 } { pi } { x ^ { large frac { 2 } { pi } normalsize – 1 } } }\ & = { frac { 2 } { pi }{ x ^ { large frac { { 2 – pi } } { pi } normalsize }} } = { frac { 2 } { pi } { x ^ { – large frac { { pi – 2 } } { pi } normalsize } } } = { frac { 2 } { { pi sqrt [ large pi normalsize ] { { { x ^ { pi – 2 } } } } } } . } end {align*} $$

مثال ۶: مشتق تابع رادیکالی زیر را به دست آورید.

$$ y = sqrt { large frac { x } { 5 } normalsize } + sqrt { large frac { 5 } { x } normalsize } $$

حل: تابع را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$ large { y left ( x right ) } = { sqrt {small frac { x } { 5 } } + sqrt { small frac { 5 } { x } } } = { frac { 1 } { { sqrt 5 } } cdot sqrt x + sqrt 5 cdot frac { 1 } { { sqrt x } } . } $$

طبق قاعده جمع، مشتق به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$ large { y’ left ( x right ) } = { { left ( { frac { 1 } { { sqrt 5 } } cdot sqrt x + sqrt 5 cdot frac { 1 } { { sqrt x } } } right ) ^ prime } } = { { left ( { frac { 1 } { { sqrt 5 } } cdot sqrt x } right ) ^ prime } + { left ( { sqrt 5 cdot frac { 1 } { { sqrt x } } } right ) ^ prime } . } $$

مشتق نیز به شکل زیر به دست می‌آید:

$$ large begin {align*} y’ left ( x right ) & = { { left ( { frac { 1 } { { sqrt 5 } } cdot sqrt x } right ) ^ prime } + { left ( { sqrt 5 cdot frac { 1 } { { sqrt x } } } right ) ^ prime } } = { frac { 1 } { { sqrt 5 } } { left ( { sqrt x } right ) ^ prime } + sqrt 5 { left ( { frac { 1 } { { sqrt x } } } right ) ^ prime } } \ & = { frac { 1 } { { sqrt 5 } } { left ( { sqrt x } right ) ^ prime } + sqrt 5 { left ( { { x ^ { – large frac { 1 } { 2 } normalsize } } } right ) ^ prime } } = { frac { 1 } { { sqrt 5 } } cdot frac { 1 } { { 2 sqrt x } } + sqrt 5 cdot left ( { – frac { 1 } { 2 } } right ) { x ^ { – large frac { 1 } { 2 } normalsize – 1 } } } \ & = { frac { 1 }{ { 2 sqrt 5 sqrt x } } – frac { { sqrt 5 } } { 2 } { x ^ { – large frac { 3 } { 2 } normalsize } } . } end {align*} $$

در این مسئله، از تساوی $$ { left ( {sqrt x } right ) ^ prime } = { left ( { { x ^ { large frac { 1 } { 2 } normalsize } } } right ) ^ prime } = { large frac { 1 } { 2 } normalsize } { x ^ { – { large frac { 1 } { 2 } normalsize } } } = { large frac { 1 } { { 2 sqrt x } } normalsize }  $$ استفاده کردیم.

و با ساده‌سازی آن، خواهیم داشت:

$$ large begin {align*} { y’ left ( x right ) } & = { frac { 1 } { { 2 sqrt 5 sqrt x } } – frac { { sqrt 5 } } { 2 } { x ^ { – large frac { 3 } { 2 } normalsize } } } = { frac { 1 } { { 2 sqrt 5 sqrt x } } – frac { { sqrt 5 } } { { 2 { x ^ { large frac { 3 } { 2 } normalsize } } } } } \ & = { frac { { 1 cdot x } } { { 2 sqrt 5 sqrt x cdot x } } – frac { { sqrt 5 cdot sqrt 5 } } { { 2 { x ^ { large frac { 3 } { 2 } normalsize } } cdot sqrt 5 } } } = { frac { { x – 5 } } { { 2 sqrt 5 { x ^ { large frac { 3 } { 2 } normalsize } } } } } = { frac { { x – 5 } } { { 2 sqrt { 5 { x ^ 3 } } } } . } end {align*} $$

مثال ۷: مشتق تابع $$ y = sqrt [ large 3 normalsize ] { x } – { large frac { 1 }{ { sqrt [ 3 ] { x } } } normalsize } $$ را محاسبه کنید.

حل: تابع را به شکل توانی زیر می‌نویسیم:

$$ large { y = sqrt [ large 3 normalsize ] { x } – frac { 1 }{ { sqrt [ large 3 normalsize ] { x } } } } = { { x ^ { large frac { 1 } { 3 } normalsize } } – { x ^ { – large frac { 1 }{ 3 } normalsize } } . } $$

اکنون از آن مشتق می‌گیریم:

$$ large { y’ left ( x right ) } = { { left ( { { x ^ { large frac { 1 } { 3 } normalsize } } – { x ^ { – large frac { 1 }{ 3 } normalsize } } } right ) ^ prime } } = { { left ( { { x^ { large frac { 1 } { 3 } normalsize } } } right ) ^ prime } – { left ( { { x ^ { – large frac { 1 } { 3 } normalsize } } } right ) ^ prime } . } $$

و جواب به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ large begin {align*} y’ left ( x right ) & = { frac { 1 } { 3 }{ x ^ { large frac { 1 } { 3 } normalsize – 1 } } – left ( { – frac { 1 } { 3 } } right ) { x ^ { – large frac { 1 }{ 3 } normalsize – 1 } } } = { frac { 1} { 3 } { x ^ { – large frac { 2 } { 3 } normalsize } } + frac { 1 } { 3 } { x ^ { – large frac { 4 } { 3 } normalsize } } } \ & = { frac { 1 } { 3 } left ( { { x ^ { – large frac { 2 } { 3 } normalsize } } + { x ^ { – large frac { 4 } { 3 } normalsize } } } right ) } = { frac { 1 } { 3 } left ( { frac { 1 } { { { x ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } } } + frac { 1 } { { { x ^ { large frac { 4 } { 3 } normalsize } } } } } right ) } \ &= { frac { 1 }{ 3 } left ( { frac { 1 } { { sqrt [ large 3 normalsize ]{ { { x ^ 2 } } } } } + frac { 1 } { { sqrt [ large 3 normalsize ]{ { { x ^ 4 } } } } } } right ) . } end {align*} $$

مثال ۸: مشتق تابع زیر را به دست آورید.

$$ y = large { frac { 1 } { { sqrt [ 4 ] { x } } } } normalsize – large { frac { 1 } { { sqrt [ 5 ] { x } } } } normalsize $$

حل: ابتدا توابع رادیکالی را به صورت تابع توانی می‌نویسیم:

$$ large begin {align*} frac { 1 } { { sqrt [ 4 ] { x } } } & = frac { 1 } { { { x ^ { frac { 1 } { 4 } } } } } = { x ^ { – frac { 1 } { 4 } } } ; \
frac { 1 } { { sqrt [5] { x } } } & = frac { 1 } { { { x ^ { frac { 1 } { 5 } }} } } = { x ^ { – frac { 1 } { 5 } } } . end {align*} $$

در نهایت، مشتق به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ large begin {align*}
y ^ prime & = left ( { { x ^ { – frac { 1 } { 4 } } } – { x ^ { – frac { 1 } { 5 } } } } right ) ^ prime = { left ( { { x ^ { – frac { 1 } { 4 } } } } right ) ^ prime – left ( { { x ^ { – frac { 1 } { 5 } } } } right ) ^ prime } = { – frac { 1 } { 4 } { x ^ { – frac { 1 } { 4 } – 1 } } – left ( { – frac { 1 }{ 5 } } right ) { x ^ { – frac { 1 } { 5 } – 1 } } } \ & = { – frac { 1 } { 4 } { x ^ { – frac { 5 } { 4 } } } + frac { 1 } { 5 } { x ^ { – frac { 6 } { 5 } } } } = { frac { 1 }{ { 5 { x ^ { frac { 6 } { 5 } } } } } – frac { 1 } { { 4 { x ^ { frac { 5 } { 4 } } } } } } = { frac { 1 } { { 5 sqrt [ 5 ] { { { x ^ 6 } } } } } – frac { 1 } { { 4 sqrt [ 4 ]{ { { x ^ 5 } } } } } . } end {align*} $$

مثال ۹: مشتق تابع $$ y = 5 { x ^ 3 } + 3 – { frac { 2 } { { { x ^ 3 } } } } + sqrt [ 3 ] { { small { x ^ 5 } } }  $$ را به دست آورید.

حل: ابتدا تابع را به فرم توانی می‌نویسیم:

$$ large y = 5 { x ^ 3 } + 3 – 2 { x ^ { – 3 } } + { x ^ { large frac { 5 } { 3 } normalsize } } . $$

و مشتق آن به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$$ large begin {align*} { y’ left ( x right ) } & = { { left ( { 5 { x ^ 3 } + 3 – 2 { x ^ { – 3 } } + { x ^ { large frac { 5 }{ 3 } normalsize } } } right ) ^ prime } } = { { left ( { 5 { x ^ 3 } } right ) ^ prime } + 3′ – { left ( { 2 { x ^ { – 3 } } } right ) ^ prime } + { left ( { { x ^ { large frac { 5 }{ 3 } normalsize } } } right ) ^ prime } } \ & = { 5 cdot 3 { x ^ 2 } + 0 – 2 cdot left ( { – 3 } right ) { x ^ { – 3 – 1 } } + frac { 5 } { 3 } { x ^ { large frac { 5 } { 3 } normalsize – 1 } } } = { 1 5 { x ^ 2 } + 6 { x ^ { – 4 } } + frac { 5 } { 3 }{ x ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } } \ & = { 1 5 { x ^ 2 } + frac { 6 } { { { x ^ 4 } } } + frac { { 5 sqrt [ large 3 normalsize ] { { { x ^ 2 } } } } } { 3 } . } end {align*} $$

مثال ۱۰: مشتق تابع $$ y = { large frac { 1 } { x } normalsize } + { large frac { 1 } { { sqrt x } } normalsize } + { large frac { 1 } { { sqrt [ 3 ] { x } } } normalsize }  $$ را محاسبه کنید.

حل: این مشتق رادیکال به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ large begin {align*} { y’ left ( x right ) } & = { { left ( { frac { 1 } { x } + frac { 1 } { { sqrt x } } + frac { 1 }{ { sqrt [ large 3 normalsize ] { x } } } } right ) ^ prime } } = { { left ( { frac { 1 } { x } } right ) ^ prime } + { left ( { frac { 1 } { { sqrt x } } } right ) ^ prime } + { left ( { frac { 1 } { { sqrt [ large 3 normalsize ] { x } } } } right ) ^ prime } } \ & = { – frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } – frac { 1 } { 2 } { x ^ { – large frac { 1 } { 2 } normalsize – 1 } } – frac { 1 } { 3 } { x ^ { – large frac { 1 } { 3 } normalsize – 1 } } } = { – frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } – frac { 1 } { 2 } { x ^ { – large frac { 3 } { 2 } normalsize } } – frac { 1 } { 3 } { x ^ { – large frac { 4 }{ 3 } normalsize } } } \ & = { – frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } – frac { 1 } { { 2 sqrt { { x ^ 3 } } } } – frac { 1 } { { 3 sqrt [ large 3 normalsize ] { { { x ^ 4 } } } } } . } end {align*} $$

مثال ۱۱: مشتق تابع $$ y = { large frac { 2 } { { sqrt x } } normalsize } + 3 sqrt [ large 3 normalsize ] { x } $$ را محاسبه کنید.

حل: این مشتق رادیکال به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ large begin {align*} { y’ left ( x right ) } & = { { left ( { frac { 2 } { { sqrt x } } + 3 sqrt [ large 3 normalsize ] { x } } right ) ^ prime } } = { { left ( { 2 { x ^ { – large frac { 1 } { 2 } normalsize } } + 3 { x ^ { large frac { 1 } { 3 } normalsize } } } right ) ^ prime } } = { { left ( { 2 { x ^ { – large frac { 1 } { 2 } normalsize } } } right ) ^ prime } + { left ( { 3 { x ^ { large frac { 1 } { 3 } normalsize } } } right ) ^ prime } } \ & = { 2 { left ( { { x ^ { – large frac { 1 } { 2 } normalsize } } } right ) ^ prime } + 3 { left ( { { x ^ { large frac { 1 } { 3 } normalsize } } } right ) ^ prime } } = { 2 cdot left ( { – frac { 1 } { 2 } } right ) { x ^ { – large frac { 1 } { 2 } normalsize – 1 } } + 3 cdot frac { 1 } { 3 } { x ^ { large frac { 1 } { 3 } normalsize – 1 } } } \ & = { – { x ^ { – large frac { 3 } { 2 } normalsize } } + { x ^ { – large frac { 2 } { 3 } normalsize } } } = { frac { 1 } { { sqrt [ large 3 normalsize ] { { { x ^ 2 } } } } } – frac { 1 } { { sqrt { { x ^ 3 } } } } . } end {align*} $$

مثال ۱۲: مشتق تابع $$ y = sqrt x – sqrt [ 3] { x } $$ را به دست آورید.

حل: ابتدا تابع را به صورت توانی می‌نویسیم:

$$ large { sqrt x = { x ^ { frac { 1 }{ 2 } } } , ; ; } kern0pt { sqrt [ 3 ] { x } = { x ^ { frac { 1 } { 3 } } } . } $$

و در ادامه، مشتق رادیکال را محاسبه می‌کنیم:

$$ large begin {align*} y ^ prime & = left ( { { x ^ { frac { 1 } { 2 } } } – { x ^ { frac { 1 } { 3 } } } } right ) ^ prime = { left ( { { x ^ { frac { 1 } { 2 } } } } right ) ^ prime – left ( { { x ^ { frac { 1 } { 3 } } } } right ) ^ prime } = { frac { 1 } { 2 } { x ^ { frac { 1 } { 2 } – 1 } } – frac { 1 } { 3 } { x ^ { frac { 1 } {3 } – 1 } } } \ &= { frac { 1 } { 2 } { x ^ { – frac { 1 } { 2 } } } – frac { 1 } { 3 } { x ^ { – frac { 2 } { 3 } } } } = { frac { 1 } { { 2 { x ^ { frac { 1 } { 2 } } } } } – frac { 1 } { { 3 { x ^ { frac { 2 }{ 3 } } } } } } = { frac { 1 } { { 2 sqrt x } } – frac { 1 } { { 3 sqrt [ 3 ] { { { x ^ 2 } } } } } . } end {align*} $$

مثال ۱۳: حاصل مشتق رادیکال $$ y = sqrt { x sqrt x } $$ را بیابید.

حل: 

$$ large begin {align*}
y’ left ( x right ) & = { left ( { sqrt { x sqrt x } } right ) ^ prime } = { { left ( { sqrt { x cdot { x ^ { large frac { 1 }{ 2 } normalsize } } } } right ) ^ prime } } = { { left ( { sqrt { { x ^ { large frac { 3 } { 2 } normalsize } } } } right ) ^ prime } } \ & = { { left ( { { { left ( { { x ^ { large frac { 3 } { 2 } normalsize } } } right ) } ^ { large frac { 1 }{ 2 } normalsize } } } right ) ^ prime } } = { { left ( { { x ^ { large frac { 3 } { 4 } normalsize } } } right ) ^ prime } } = { frac { 3 } { 4 } { x ^ { large frac { 3 } { 4 } normalsize – 1 } } } = { frac { 3 } { 4 } { x ^ { – large frac { 1 } { 4 } normalsize } } } = { frac { 3 } { { 4 sqrt [ large 4 normalsize ] { x } } } . } end {align*} $$

مثال ۱۴: مشتق تابع $$ { y = sqrt { { x ^ 2 } sqrt x } } $$ را محاسبه کنید.

حل: ابتدا تابع را به یک تابع توانی تبدیل می‌کنیم و سپس مشتق رادیکال را به دست می‌آوریم:

$$ large begin {align*} y left ( x right ) & = sqrt { { x ^ 2 } sqrt x } = sqrt { { x ^ 2 } cdot { x ^ { frac { 1 } { 2 } } } } = { sqrt { { x ^ { 2 + frac { 1 } { 2 } } } } } \ & = { sqrt { { x ^ { frac { 5 } { 2 } } } } } = { { left ( { { x ^ { frac { 5 } { 2 } } } } right ) ^ { frac { 1 } { 2 } } } } ={ { x ^ { frac { 5 } { 2 } cdot frac { 1 } { 2 } } } } = { { x ^ { frac { 5 } { 4 } } } . } end {align*} $$

مثال ۱۵: مشتق رادیکال زیر را به دست آورید.

حل: مشابه مثال قبل، برای محاسبه مشتق رادیکال داریم:

مثال ۱۶: مشتق تابع $$ y = { large frac { 3 } { 2 } normalsize } x sqrt [ large 3 normalsize ] { x } $$ را محاسبه کنید.

حل: از تابع به عنوان یک تابع توانی مشتق می‌گیریم و مشتق رادیکال را خواهیم داشت:

$$ large begin {align*}
y’ left ( x right ) & = { left ( { frac { 3 } { 2 } x sqrt [ large 3 normalsize ] { x } } right ) ^ prime } = { { left ( { frac { 3 } { 2 } x cdot { x ^ { large frac { 1 }{ 3 } normalsize } } } right ) ^ prime } } = { frac { 3 } { 2 }{ left ( { { x ^ { 1 + large frac { 1 } { 3 } normalsize } } } right ) ^ prime } } \ & = { frac { 3 } { 2 } { left ( { { x ^ { large frac { 4 } { 3 } normalsize } } } right ) ^ prime } } = { frac { 3 } { 2 } cdot frac { 4 } { 3 } { x ^ { large frac { 4 } { 3 } normalsize – 1 } } } = { 2 { x ^ { large frac { 1 } { 3 } normalsize } } = 2 sqrt [ large 3 normalsize ] { x } . }
end {align*} $$

مثال ۱۷: مشتق رادیکال $$ f ( x ) = sqrt { 2 x ^ { 2 } -5 } $$ را محاسبه کنید.

حل: رادیکال را به صورت توانی زیر می‌نویسیم:

$$ large f ( x ) = left ( 2 x ^ { 2 } – 5 right ) ^ { 1 / 2 } $$

و طبق قانون مشتق توابع توانی، مشتق رادیکال را داریم:

$$ large begin {aligned}
frac { d y } { d x } & = frac { 1 } { 2 } left ( 2 x ^ { 2 } – 5 right ) ^ { ( 1 / 2 ) – 1 } ( 4 x ) \
& = frac { 1 } { 2 } left ( 2 x ^ { 2 } – 5 right ) ^ { – 1 / 2 } ( 4 x ) \
& = 2 x left ( 2 x ^ { 2 } -5 right ) ^ { – 1 / 2 } \
& = frac { 2 x } { sqrt { 2 x ^ { 2 } – 5 } } \
& = frac { 2 x sqrt { 2 x ^ { 2 } -5 } } { 2 x ^ { 2 } – 5 }
end {aligned} $$

مثال ۱۸: مشتق تابع $$ f ( x ) = frac { 2 x + 1 } { sqrt { 3 x ^ { 2 } + 2 } } $$ را به دست آورید.

حل: رادیکال را با یک تابع توانی جایگزین می‌کنیم:

$$ large f ( x ) = frac { 2 x + 1 } { left ( 3 x ^ { 2 } + 2 right ) ^ { 1 / 2 } } $$

با آوردن مخرج به صورت، توان منفی می‌شود و داریم:

$$ large f ( x ) = ( 2 x + 1 ) left ( 3 x ^ { 2 } + 2 right ) ^ { – 1 / 2 } $$

دو مشتق زیر را داریم:

$$ large frac { d } { d x } ( 2 x + 1 ) = 2 $$

و

$$ large begin {aligned}
frac { d } { d x } left ( 3 x ^ { 2 } + 2 right ) ^ { – 1 / 2 } & = – 1 / 2 left (3 x ^ { 2 } + 2 right ) ^ { ( – 1 / 2 ) – 1 } ( 6 x ) \
& = – 3 x left ( 3 x ^ { 2 } + 2 right ) ^ { – 3 / 2 }
end {aligned} $$

اکنون با استفاده از قاعده زنجیره‌ای مشتق، می‌توانیم بنویسیم:

$$ large f ( x ) = ( 2 x + 1 ) left [ – 3 x left ( 3 x ^ { 2 } + 2 right ) ^ { – 3 / 2 } right ] + left ( 3 x ^ { 2 } + 2 right ) ^ { – 1 / 2 } ( 2 ) $$

با ضرب طرفین در $$ left ( 3 x ^ { 2 } + 2 right ) ^ { 3 / 2 } $$، در نهایت مشتق رادیکال را خواهیم داشت:

$$ large begin {aligned} f ^ { prime } ( x ) & = frac { – 3 x ( 2 x + 1 ) + 2 left ( 3 x ^ { 2 } + 2 right ) } { left ( 3 x ^ { 2 } + 2 right ) ^ { 3 / 2 } } \ & = frac { – 6 x ^ { 2 } – 3 x + 6 x ^ { 2 } + 4 } { left ( 3 x ^ { 2 } + 2 right ) ^ { 3 / 2 } } \ & = frac { 4 – 3 x } { left ( 3 x ^ { 2 } + 2 right ) ^ { 3 / 2 } } end {aligned} $$

مثال ۱۹: مشتق تابع $$ sqrt { 6 2 5 – x ^ { 2 } } / sqrt { x } $$ را محاسبه کنید.

حل: به دو روش می‌توان این مشتق رادیکال را حل کرد. اولی استفاده از قاعده خارج قسمت است:

$$ large frac { d } { d x } frac { sqrt { 6 2 5 – x ^ { 2 } } } { sqrt { x } } = frac { sqrt { x } ( – x / sqrt { 6 2 5 – x ^ { 2 } } ) – sqrt { 6 2 5 – x ^ { 2 } } cdot 1 / ( 2 sqrt { x } ) } { x } $$

روش دوم نیز استفاده از قاعده مشتق ضرب دو تابع است:

$$ large frac { d } { d x } sqrt { 6 2 5 – x ^ { 2 } } x ^ { – 1 / 2 } = sqrt { 6 2 5 – x ^ { 2 } } frac { – 1 } { 2 } x ^ { – 3 / 2 } + frac { – x } { sqrt { 6 2 5 – x ^ { 2 } } } x ^ { – 1 / 2 } $$

با کمی ساده‌سازی، جواب نهایی مشتق رادیکال برای دو روش به دست خواهد آمد:‌

$$ large – frac { x ^ { 2 } + 6 2 5 } { 2 sqrt { 6 2 5 – x ^ { 2 } } x ^ { 3 / 2 } } $$

مثال ۲۰: مشتق رادیکال $$ sqrt { 1 + sqrt { 1 + sqrt { x } } } $$ را محاسبه کنید.

حل: دو تابع $$ g ( x ) = 1 + sqrt { 1 + sqrt { x } } $$ و $$ f ( x ) = sqrt { x } $$ را در نظر می‌گیریم و در واقع تابع به صورت یک تابع ترکیبی می‌نویسیم. بنابراین، می‌توانیم از قاعده زنجیره‌ای کمک بگیریم:

$$ large frac { d } { d x } sqrt { 1 + sqrt { 1 + sqrt { x } } } = frac { 1 } { 2 } ( 1 + sqrt { 1 + sqrt { x } } ) ^ { – 1 / 2 } frac { d } { d x } ( 1 + sqrt { 1 + sqrt { x } } ) $$

اکنون باید مشتق $$ sqrt{1+sqrt{x}} $$ را به دست آوریم. این بار هم از قاعده مشتق زنجیره‌ای استفاده می‌کنیم:‌

$$ large frac { d } { d x } sqrt { 1 + sqrt { x } } = frac { 1 } { 2 } ( 1 + sqrt { x } ) ^ { – 1 / 2 } frac { 1 } { 2 } x ^ { – 1 / 2 } $$

در نهایت، حاصل مشتق رادیکال اصلی به شکل زیر خواهد بود:

$$ large begin {aligned}
frac { d } { d x } sqrt { 1 + sqrt { 1 + sqrt { x } } } & = frac { 1 } { 2 } ( 1 + sqrt { 1 + sqrt { x } } ) ^ { – 1 / 2 } frac { 1 } { 2 } ( 1 + sqrt { x } ) ^ { – 1 / 2 } frac { 1 } { 2 } x ^ { – 1 / 2 } \
& = frac { 1 } { 8 sqrt { x } sqrt { 1 + sqrt { x } } sqrt { 1 + sqrt { 1 + sqrt { x } } } }
end {aligned} $$

برای آشنایی بیشتر با مبحث مشتق رادیکال، پیشنهاد می‌کنیم دوره ویدیویی «آموزش ریاضی عمومی ۱ (همراه با حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد)» را مشاهده کنید.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
• آموزش ریاضیات عمومی 1
• مجموعه آموزش‌های ریاضیات و فیزیک پایه
• آموزش ریاضی پایه دانشگاهی
• مشتق توابع هذلولوی و معکوس آن‌ها — از صفر تا صد
• کاربرد‌ها، روش‌ های محاسبه و مفاهیم مشتق — مجموعه مقالات وبلاگ فرادرس
• تقلب نامه (Cheat Sheet) فرمول‌ های مشتق گیری