مشتق توابع مثلثاتی | به زبان ساده

در آموزش‌های قبلی از مجموعه آموزش‌های ریاضی مجله فرادرس، با توابع مثلثاتی و انتگرال آن‌ها آشنا شدیم. در این آموزش به مشتق توابع مثلثاتی می‌پردازیم و مثال‌های متنوعی را حل خواهیم کرد.

مشتق توابع مثلثاتی پایه

همان‌طور که می‌دانیم، توابع پایه مثلثاتی شامل شش تابعِ سینوس ($$sin x $$)، کسینوس ($$cos x $$)، تانژانت ($$tan x $$)، کتانژانت ($$cot x $$)، سکانت ($$ sec x $$) و کسکانت ($$csc x $$) هستند. همه این توابع در دامنه‌شان پیوسته‌ و مشتق‌پذیرند. در ادامه مشتق توابع مثلثاتی پایه را ارائه می‌کنیم.

مشتق تابع سینوس

تابع سینوس $$ y = sin x $$ را در نظر بگیرید. تعریف مشتق برای این تابع به صورت زیر است:

$$ large { y’ left ( x right ) } = { lim limits _ { Delta x to  0 } frac { { sin left ( { x + Delta x }  right ) – sin x } } { { Delta x } } . }   $$

از اتحاد زیر برای تبدیل جمع به ضرب استفاده می‌کنیم:

$$ large { sin alpha – sin beta } = { 2 sin frac { { alpha – beta } } { 2  } cos frac { { alpha + beta } } { 2 } . } $$

بنابراین، خواهیم داشت:

$$ large require {cancel}
begin {align*}
y’ left ( x right ) & = lim limits _ { Delta x to 0 } frac { { sin left ( { x  + Delta x } right )   – sin x } } { { Delta x } }   =  { lim limits _ { Delta x to 0 } frac  { { 2  sin frac { { cancel { x }  + Delta x – cancel { x } } }  { 2 } cos frac { { x + Delta x + x } } { 2 } }  } { { Delta x } } } \ & =  {  lim limits _ { Delta x to 0 } frac { {  2 sin frac { {  Delta x }} { 2 } cos left (  { x  + frac { { Delta x } } { 2  } }  right ) } } { { Delta x } }  } = { lim limits  _  { Delta x to 0 } frac { { 2 sin frac { { Delta x } } { 2 } }  } { { Delta x }  }  cdot } kern0pt { lim limits _ { Delta x to 0 } cos left ( { x + frac { { Delta x } } { 2 }  } right ) }
end {align*} $$

حد اول برابر است با:

$$ large { lim limits _ { Delta x to 0 } frac { { 2 sin frac { { Delta x } }  {  2 } } } { { Delta x } }   }  = { lim limits _ { large frac { { Delta x } } { 2 }  normalsize to 0 } frac { { sin frac {  { Delta x } } { 2 } } }  { { frac { { Delta x } } { 2 } } }  = 1 . } $$

از آنجا که $$limlimits_{Delta x to 0} cos left( {x + frac{{Delta x}}{2}} right) = cos x$$، مشتق تابع سینوس به صورت زیر به دست خواهد آمد:

$$ large { y’ left ( x right ) = { left ( { sin x } right ) ^ prime } } = {  cos x . } $$

مشتق تابع کسینوس

طبق تعریف مشتق، برای تابع $$ y = cos x $$ داریم:

$$ large begin {align*} y’ left ( x right ) &  = lim limits _ { Delta x to 0 } frac { {  Delta y } } { { Delta x } }   = { lim limits _ { Delta x to 0 } frac { {  y left ( { x + Delta x } right ) – y left ( x right ) } } { { Delta x } }  } \  & = { lim limits _ { Delta x to 0 }  frac  { { cos left ( { x  + Delta x }  right ) – cos x } } {  { Delta x } } .  } end {align*} $$

برای ساده کردن تفاضل دو کسینوس از اتحاد زیر استفاده می‌کنیم:

$$ large { cos alpha – cos beta } = { – 2 sin frac { {  alpha + beta } } { 2  } sin frac { { alpha – beta } } { 2  } . } $$

در نتیجه، داریم:

$$ large begin {align*} y’ left ( x right ) & = lim limits _ { Delta x to 0 } frac { { cos left ( { x  + Delta x } right ) – cos x } } {  { Delta x } }   = { lim limits _ { Delta x to 0 }  frac { { left ( { – 2 sin left ( { x  + frac { { Delta x } } { 2 } }  right ) sin frac { { Delta x } } { 2 }  } right ) } } { { Delta x } } } \ & = {- lim limits _ { Delta x to 0 } frac { {  2 sin frac { { Delta  x } } { 2 } } } { { Delta x } }  cdot  { lim limits _ { Delta x to 0 } sin left ( { x + frac { { Delta  x  } } { 2 }  }  right ) . } }  end {align*} $$

بنابراین، مشتق تابع کسینوس به صورت زیر خواهد بود:

$$ large { y’ left ( x right ) = { left ( { cos x }  right ) ^ prime } } = { – sin x  . } $$

مشتق تابع تانژانت

از آنجا که تابع تانژانت برابر با نسبت سینوس به کسینوس است، با استفاده از قاعده خارج قسمت به سادگی می‌توان مشتق آن را به دست آورد:‌

$$ large begin {align*} left ( { tan x } right ) ^ prime & = { { left ( { frac { {  sin x }  } { { cos x } }  } right ) ^ prime } } = { frac { { { {  left (  { sin x }  right ) } ^  prime } cos x – sin x { {  left (  { cos x } right ) } ^ prime } } } {  { { {  cos } ^ 2 }  x } }  } \ & = { frac { { cos x cdot cos x – sin x cdot left ( { – sin x }  right ) } } {  { {  { cos } ^ 2  } x }  }  } = { frac { { { {  cos } ^ 2 }  x + { { sin }  ^  2 } x } } {    { {  { cos } ^  2 } x } }   } = { frac { 1  } { {  { {  cos } ^ 2 } x } } . }  end {align*} $$

مشتق تابع کتانژانت

مشتق کتانژانت نیز مشابه مشتق تانژانت قابل محاسبه است. البته، یک راه دیگر استفاده از مشتق تابع تانژانت و قاعده زنجیره‌ای است:

$$ large begin {align*} require {cancel}  { left ( { cot x } right ) ^ prime } & = left ( { frac { 1 } { { tan x } } }   right ) ^ prime   = { – frac { 1 } {  { { { tan } ^ 2 } x } }  cdot { left ( { tan x }  right ) ^ prime } } \ & = { – frac { 1 } { { frac { { { { sin } ^ 2 } x } } { { {  { cos } ^ 2 } x } } } }  cdot frac { 1 } { { { {  cos } ^ 2 } x } }   }  = { – frac { cancel { { { cos } ^ 2 } x } }{  { { { sin } ^ 2 } x  cdot cancel { { {  cos } ^ 2 } x  } } }   }   = { – frac { 1 } { { {  { sin } ^ 2 } x } }. }   end {align*} $$

مشتق تابع سکانت

مشابه تانژانت و کتانژانت، مشتق تابع سکانت این‌گونه محاسبه می‌شود:

$$ large begin {align*} left ( { sec x } right ) ^ prime & = { left ( { frac { 1 } { { cos x } } } right ) ^ prime } = { – frac { 1 } { { { { cos } ^ 2 } x } } cdot { left ( { cos x } right ) ^ prime } } \ & = { frac { { sin x } } { { { { cos } ^ 2 } x } } } = { frac { { sin x } } { { cos x } } cdot frac { 1 } { { cos x } } } = { tan x sec x , } end {align*} $$

مشتق تابع کسکانت

مشابه سکانت، مشتق تابع کسکانت به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ large begin {align*}
left ( { csc x } right ) ^ prime & = { left ( { frac { 1 } { { sin x } } } right ) ^ prime } = { – frac { 1 } { { { { sin } ^ 2 } x } } cdot { left ( { sin x } right ) ^ prime } } \ & = { – frac { { cos x } } { { { { sin } ^ 2 } x } } } = { -frac { { cos x } } { { sin x } } cdot frac { 1 } { { sin x } } } = { – cot x csc x . } end {align*} $$

جدول مشتق توابع مثلثاتی

جدول زیر خلاصه مشتق توابع مثلثاتی پایه را نشان می‌دهد.

در محاسبه مشتق توابع مثلثاتی از این جدول استفاده می‌کنیم.

مثال‌های مشتق توابع مثلثاتی

در این بخش مثال‌های متنوعی را از مشتق توابع مثلثاتی حل می‌کنیم.

مثال ۱ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع مثلثاتی $$ y = cos 2x – 2sin x $$ را به دست آورید.

حل: با استفاده از ویژگی‌ خطی بودن مشتق، قاعده زنجیره‌ای و فرمول زاویه دو برابر، خواهیم داشت:

$$ large begin {align*} y’ left ( x right ) & = { { left ( { cos 2 x – 2 sin x } right ) ^ prime } } = { { left ( { cos 2 x } right ) ^ prime } – { left ( { 2 sin x } right ) ^ prime } } \ & = { left ( { – sin 2 x } right ) cdot { left ( { 2 x } right ) ^ prime } – 2 { left ( { sin x } right ) ^ prime } } = { – 2 sin 2 x – 2 cos x } \ & = { – 2 sin x cos x – 2 cos x } = { – 2 cos x left ( { sin x + 1 } right ) . } end {align*} $$

مثال ۲ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع مثلثاتی زیر را محاسبه کنید.

$$ large y = tan x + frac { 1 } { 3 } { tan ^ 3 } x $$

حل: با استفاده از جدول مشتق توابع مثلثاتی پایه، مشتق تابع به صورت زیر محاسبه می‌شود:‌

$$ large begin {align*}
y’ left ( x right ) & = { { left ( { tan x + frac { 1 } { 3 }{ { tan } ^ 3 } x } right ) ^ prime } } = { { left ( { tan x } right ) ^ prime } + { left ( { frac { 1 } { 3 } { { tan } ^ 3 } x } right ) ^ prime } } \ & = { frac { 1 } { { { { cos } ^ 2 } x } } + frac { 1 } { 3 } cdot 3 { tan ^ 2 } x cdot { left ( { tan x } right ) ^ prime } } \ &= { frac { 1 } { { { { cos } ^ 2 } x } } + { tan ^ 2 } x cdot frac { 1 } { { { { cos } ^ 2 } x } } } = { frac { { 1 + { { tan } ^ 2 } x } } { { { { cos } ^ 2 } x } } . }
end {align*} $$

صورت کسر را می‌توان با استفاده از اتحاد زیر ساده کرد:

$$ large { 1 + { tan ^ 2 } x = { sec ^ 2 } x } = { frac { 1 } { { { { cos } ^ 2 } x } } . } $$

بنابراین، داریم:

$$ large { y’ left ( x right ) } = { frac { { 1 + { { tan } ^ 2 } x } } { { { { cos } ^ 2 } x } } } = { frac { { frac { 1 }{ { { { cos } ^ 2 } x } } } } { { { { cos } ^ 2 } x } } } = { frac { 1 } { { { { cos } ^ 4 } x } } } = { { sec ^ 4 } x . } $$

مثال ۳ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع $$ y = cos x – {frac{1}{3}}{cos ^3}x $$ را محاسبه کنید.

حل: با استفاده از قانون توان و قاعده زنجیره‌ای و جدول مشتق توابع مثلثاتی پایه، خواهیم داشت:

$$ large begin {align*}
y ^ prime & = left ( { cos x – frac { 1 } { 3 } { { cos } ^ 3 } x } right ) ^ prime = { left ( { cos x } right ) ^ prime – left ( { frac { 1 } { 3 } { { cos } ^ 3 } x } right ) ^ prime } \ & = { – sin x – frac { 1 } { 3 } cdot 3 { cos ^ 2 } x cdot left ( { cos x } right ) ^ prime } = { – sin x – { cos ^ 2 } x cdot left ( { – sin x } right ) } \ & = { – sin x + { cos ^ 2 } x sin x } = { – sin x left ( { 1 – { { cos } ^ 2 } x } right ) } \ & = { – sin x , { sin ^ 2 } x } = { – { sin ^ 3 } x . }
end {align*} $$

مثال ۴ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع زیر را محاسبه کنید.

$$ large y = frac{1}{{{{cos }^n}x}} $$

حل: مشتق این تابع را با استفاده از قانون توان و قاعده زنجیره‌ای پیدا می‌کنیم:

$$ large begin {align*}
y’ left ( x right ) & = { left ( { frac { 1 } { { { { cos } ^ n } x } } } right ) ^ prime } = { { left [ { { { left ( { cos x } right ) } ^ { – n } } } right ] ^ prime } } = { – n { left ( { cos x } right ) ^ { – n – 1 } } cdot { left ( { cos x } right ) ^ prime } } \ & = { – n { left ( { cos x } right ) ^ { – n – 1 } } cdot left ( { – sin x } right ) } = { frac { { n sin x } } { { { { cos } ^ { n + 1 } } x } } . }
end {align*} $$

در رابطه بالا فرض شده $$cos x ne 0 $$ باشد، در نتیجه: $$ x ne { large frac { pi } { 2 } normalsize } + pi n , n in mathbb { Z } $$.

مثال ۵ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع زیر را محاسبه کنید.

$$ large y = { frac { { sin x } } { { 1 + cos x } } } $$

حل: با کمک قاعده خارج قسمت می‌توان نوشت:

$$ large begin {align*}
require {cancel} y ^ prime & = left ( { frac { { sin x } } { { 1 + cos x } } } right ) ^ prime = { frac { { cos x left ( { 1 + cos x } right ) – sin x cdot left ( { – sin x } right ) } } { { { { left ( { 1 + cos x } right ) } ^ 2 } } } } \ & = { frac { { cos x + { { cos } ^ 2 } x + { { sin } ^ 2 } x } } { { { { left ( { 1 + cos x } right ) } ^ 2 } } } } = { frac { cancel { 1 + cos x } } { { { { left ( { 1 + cos x } right ) } ^ cancel { 2 } } } } } = { frac { 1 } { { 1 + cos x } } . }
end {align*} $$

مثال ۶ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع $$ y = {cos ^2}sin x $$ را بیابید.

حل: با استفاده از قانون توان و قاعده زنجیره‌ای، می‌توان نوشت:

$$ large begin {align*}
y’ left ( x right ) & = { left ( { { { cos } ^ 2 } sin x } right ) ^ prime } = { 2 cos sin x cdot { left ( { cos sin x } right ) ^ prime } } \ & = { 2 cos sin x cdot left ( { – sinsin x } right ) cdot } kern0pt{ { left ( { sin x } right ) ^ prime } } \ &= { – 2cos sin x cdot sin sin x cdot}kern0pt{ cos x.}
end {align*} $$

عبارت انتهایی را می‌توان با استفاده از فرومول زاویه دو برابر ساده کرد:

$$ large { 2 cos sin x cdot sin sin x } = { sin left ( { 2 sin x } right ) . } $$

در نتیجه، عبارت نهایی مشتق به صورت زیر خواهد بود:

$$ large { y’ left ( x right ) } = { – sin left ( { 2 sin x } right ) cos x . } $$

مثال ۷ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع زیر را محاسبه کنید.

$$ large y = x sin x + cos x $$

حل: با استفاده از قاعده ضرب، می‌توانیم بنویسیم:

$$ large begin {align*}
y ^ prime & = left ( { x sin x + cos x } right ) ^ prime = { left ( { x sin x } right ) ^ prime + left ( { cos x } right ) ^ prime } \ & = { x ^ prime sin x + x left ( { sin x } right ) ^ prime + left ( { cos x } right ) ^ prime } \ & = { 1 cdot sin x + x cdot cos x + left ( { – sin x } right ) } \ & ={ cancel { sin x } + x cos x – cancel { sin x } } = { x cos x . } end {align*} $$

مثال ۸ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع $$ y = {sin ^2}sqrt x $$ را به دست آورید.

حل: با اعمال چندباره قاعده زنجیره‌ای، خواهیم داشت:

$$ large begin {align*}
y’ left ( x right ) & = { left ( { { { sin } ^ 2 } sqrt x } right ) ^ prime } = { 2 sin sqrt x cdot { left ( { sin sqrt x } right ) ^ prime } } \ & = { 2 sin sqrt x cdot cos sqrt x cdot { left ( { sqrt x } right ) ^ prime } } \ & = { 2 sin sqrt x cos sqrt x cdot frac { 1 } { { 2 sqrt x } } . }
end {align*} $$

با استفاده از فرمول دو برابر زاویه، داریم:

$$ large {sin left( {2sqrt x } right) }={ 2sin sqrt x cos sqrt x .} $$

در نتیجه، مشتق برابر است با:

$$ large { y’ left ( x right ) = sin left ( { 2 sqrt x } right ) cdot frac { 1 } { { 2 sqrt x } } } = { frac { { sin left ( { 2 sqrt x } right ) } } { { 2 sqrt x } } . } $$

مثال ۹ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع زیر را به دست آورید.

$$ large y = cos {frac{1}{x}} $$

حل: با استفاده از قاعده زنجیره‌ای و مشتق توابع مثلثاتی پایه، داریم:

$$ large begin {align*}
y ^ prime & = left ( { cos frac { 1 } { x } } right ) ^ prime = { – sin frac { 1 } { x } cdot left ( { frac { 1 } { x } } right ) ^ prime } = { – sin frac { 1 } { x } cdot left ( { – frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } right ) } = { frac { 1 }{ { { x ^ 2 } } } sin frac { 1 } { x } . }
end {align*} $$

مثال ۱۰ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع زیر را محاسبه کنید.

$$ large y = { sin ^ 3 } x + { cos ^ 3 } x $$

حل: از فرمول‌های مشتق مجموع توابع و مشتق یک تابع توانی استفاده می‌کنیم:

$$ large begin {align*}
y’ left ( x right ) & = { left ( { { { sin } ^ 3 } x + { { cos }^ 3 } x } right ) ^ prime } = { { left ( { { { sin } ^ 3 } x } right ) ^ prime } + { left ( { { { cos } ^ 3 } x } right ) ^ prime } } \ & = { 3 , { sin ^ 2 } x cdot { left ( { sin x } right ) ^ prime } } + { 3 , { cos ^ 2 } x cdot { left ( { cos x } right ) ^ prime } . }
end {align*} $$

مشتق‌ها را جایگذاری کرده و عبارت را محاسبه می‌کنیم:

$$ large begin {align*}
y’ left ( x right ) & = 3 , { sin ^ 2 } x cdot cos x + { 3 , { cos ^ 2 } x cdot left ( { – sin x } right ) } \ & = { 3 , { sin ^ 2 } x cos x } – { 3 , { cos ^ 2 } x sin x } \ & = { { 3 sin x cos x } kern0pt{ left ( { sin x – cos x } right ) . } }
end {align*} $$

از آنجا که $$ sin 2x = 2sin xcos x $$، عبارت نهایی مشتق به فرم زیر خواهد بود:

$$ large { y’ left ( x right ) } = { 3 cdot frac { { sin 2 x } }{ 2 } left ( { sin x – cos x } right ) } = { frac { 3 } { 2 } sin 2 x } kern0pt{ left ( { sin x – cos x } right ) . } $$

مثال ۱۱ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق عبارت زیر را محاسبه کنید.

$$ large y = tan frac{x}{2} – cot frac{x}{2} $$

حل: در اولین گام، داریم:

$$ large { y’ left ( x right ) } = { { left ( { tan frac { x } { 2 } – cot frac { x } { 2 } } right ) ^ prime } } = { { left ( { tan frac { x } { 2 } } right ) ^ prime } – { left ( { cot frac { x } { 2 } } right ) ^ prime } . } $$

روابط زیر را می‌دانیم:

$$ large { { left ( { tan x } right ) ^ prime } = frac { 1 }{ { { { cos } ^ 2 } x } } , ; ; ; } kern-0.3pt { { left ( { cot x } right ) ^ prime } = – frac { 1 } { { { { sin } ^ 2 } x } } , } $$

با استفاده از قاعده زنجیره‌ای، می‌توانیم بنویسیم:

$$ large begin {align*}
y’ left ( x right ) & = { frac { 1 } { { { { cos } ^ 2 } frac { x } { 2 } } } cdot { left ( { frac { x } { 2 } } right ) ^ prime } } – { left ( { – frac { 1 } { { { { sin } ^ 2 } frac { x } { 2 } } } } right ) cdot { left ( { frac { x } { 2 } } right ) ^ prime } } \ & = { frac { 1 } { { { { cos } ^ 2 } frac { x } { 2 } } } cdot frac { 1 } { 2 } + frac { 1 } { { { sin ^ 2 } frac { x } { 2 } } } cdot frac { 1 } { 2 } } = { frac { { { sin ^ 2 } frac { x } { 2 } + { { cos } ^ 2 } frac { x } { 2 }} } { { 2 , { { cos } ^ 2 } frac { x } { 2 } { sin ^ 2 } frac { x } { 2 } } } . }
end {align*} $$

برای ساده کردن عبارت، از اتحادهای مثلثاتی $$ {sin^2}x + {cos ^2}x = 1 $$ و $$ sin x = 2sin {largefrac{x}{2}normalsize} cos {largefrac{x}{2}normalsize} $$ استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت:

$$ large begin {align*}
{ y’ left ( x right ) } = { frac { 1 } { { 2 { { cos } ^ 2 } frac { x } { 2 } { sin ^ 2 } frac { x } { 2 } } } } = { frac { { 2 cdot 1 } } { { 4 { { cos } ^ 2 } frac { x } { 2 }{ sin ^ 2 } frac { x } { 2 } } } } = { frac { 2 } { { { { left ( { 2 cos frac { x } { 2 } sin frac { x } { 2 } } right ) } ^ 2 } } } } = { frac { 2 } { { { { sin } ^ 2 } x } } . }
end {align*} $$

مثال ۱۲ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع مثلثاتی زیر را حساب کنید.

$$ large y = { x ^ 2 } sin x + 2 x cos x – 2 sin x $$

حل: با استفاده از قاعده ضرب، می‌توان نوشت:

$$ large begin {align*}
require {cancel} y ^ prime & = left ( { { x ^ 2 } sin x } right ) ^ prime + { left ( { 2 x cos x } right ) ^ prime } – { left ( { 2 sin x } right ) ^ prime } \ &= { left ( { { x ^ 2 } } right ) ^ prime sin x } + { { x ^ 2 } left ( { sin x } right ) ^ prime } + { left ( { 2 x } right ) ^ prime cos x } + { 2 x left ( { cos x } right ) ^ prime } – { 2 left ( { sin x } right ) ^ prime } \ &= { cancel { 2 x sin x } } + { { x ^ 2 } cos x } + { cancel { 2 cos x } } – { cancel { 2 x sin x } } – { cancel { 2 cos x } } = { { x ^ 2 } cos x . }
end {align*} $$

مثال ۱۳ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع زیر را بیابید.

$$ large y = {tan ^2}x + ln {cos ^2}x $$

حل: با استفاده از قاعده زنجیره‌ای، داریم:‌

$$ large begin {align*}
y ^ prime & = left ( { { { tan } ^ 2 } x + ln { { cos } ^ 2 } x } right ) ^ prime = { left ( { { { tan } ^ 2 } x } right ) ^ prime + left ( { ln { { cos } ^ 2 } x } right ) ^ prime } \ & = 2 tan x cdot left ( { tan x } right ) ^ prime + { frac { 1 } { { { { cos } ^ 2 } x } } cdot left ( { { { cos } ^ 2 } x } right ) ^ prime } \ & = { frac { { 2 sin x } } { { cos x } } cdot frac { 1 } { { { { cos } ^ 2 } x } } } + { frac { 1 } { { { { cos } ^ 2 } x } } cdot 2 cos x cdot left ( { – sin x } right ) } \ & = { frac { { 2 sin x } }{ { { { cos } ^ 2 } x } } left ( { frac { 1 } { { cos x } } – cos x } right ) } = { frac { { 2 sin x } } { { { { cos } ^ 2 } x } } cdot frac { { 1 – { { cos } ^ 2 } x } } { { cos x } } } \ & = { frac { { 2 sin x } } { { { { cos } ^ 2 } x } } cdot frac { { { { sin } ^ 2 } x } } { { cos x } } } = { frac { { 2 { { sin } ^ 3 } x } } { { { { cos } ^ 3 } x } } } = { 2 { tan ^ 3 } x . }
end {align*} $$

مثال ۱۴ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع $$ y = {sin ^n}xcos nx $$ را بیابید.

حل: ابتدا از ضرب دو تابع مشتق می‌گیریم:

$$ large { y’ left ( x right ) } = { { left ( { { { sin } ^ n } x cos n x } right ) ^ prime } } = { { left ( { { { sin } ^ n } x } right ) ^ prime } cos n x } + { { sin ^ n } x { left ( { cos n x } right ) ^ prime } . } $$

در ادامه، با استفاده از قاعده توان و قاعده زنجیره‌ای، داریم:

$$ large begin {align*}
y’ left ( x right ) & = { n { sin ^ { n – 1 } } x cdot { left ( { sin x } right ) ^ prime } cdot cos { n x } } + { { sin ^ n } x left ( { – sin { n x } } right ) cdot { left ( { n x } right ) ^ prime } } \ & = { n { sin ^ { n – 1 } } x cos x cos n x } – { n { sin ^ n } x sin n x } \ & = { n { sin ^ { n – 1 } } x cdot } kern0pt{ left ( { cos x cos n x – sin x sin n x } right ) . }
end {align*} $$

از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می‌کنیم:

$$ large { cos left ( { alpha + beta } right ) } = { cos alpha cos beta } – { sin alpha sin beta . } $$

در نتیجه، مشتق به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ large { y’ left ( x right ) } = { n { sin ^ { n – 1 } } x cos left ( { x + n x } right ) } = { n { sin ^ { n – 1 } } x cos left [ { left ( { n + 1 } right ) x } right ] . } $$

مثال ۱۵ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع زیر را محاسبه کنید:

$$ large y = ln sqrt { { frac { { 1 – sin x } } { { 1 + sin x } } } } $$

حل: تابع داده شده ترکیبی از سه تابع است. با استفاده از قواعد زنجیره‌ای و خارج قسمت، داریم:

$$ large begin {align*}
y ^ prime & = left ( { ln sqrt { frac { { 1 – sin x } } { { 1 + sin x } } } } right ) ^ prime = { frac { 1 } { { sqrt { frac { { 1 – sin x } } { { 1 + sin x } } } } } cdot left ( { sqrt { frac { { 1 – sin x } } { { 1 + sin x } } } } right ) ^ prime } \ & = { frac { 1 } { { sqrt { frac { { 1 – sin x } } { { 1 + sin x } } } } } } cdot { frac { 1 } { { 2 sqrt { frac { { 1 – sin x } } { { 1 + sin x } } } } } } cdot { left ( { frac { { 1 – sin x } } { { 1 + sin x } } } right ) ^ prime } \ & = { frac { { 1 + sin x } } { { 2 left ( { 1 – sin x } right ) } } } cdot { frac { { left ( { – 2 cos x } right ) } } { { { { left ( { 1 + sin x } right ) } ^ 2 } } } } = { – frac { { 2 cancel { left ( { 1 + sin x } right ) } cos x } } { { 2 left ( { 1 – sin x } right ) { { left ( { 1 + sin x } right ) } ^ cancel { 2 } } } } } \ & = { – frac { { cos x } } { { left ( { 1 – sin x } right ) left ( { 1 + sin x } right ) } } } = { – frac { { cos x } } { { 1 – { { sin } ^ 2 } x } } } \ &= { – frac { cancel { cos x } } { { { { cos } ^ cancel { 2 } } x } } } = { – frac { 1 } { { cos x } } } = { – sec x . }
end {align*} $$

مثال ۱۶ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع زیر را در $$ x = pi $$ محاسبه کنید.

$$ large y = left( {2 – {x^2}} right)cos x + 2xsin x $$

حل: از قاعده ضرب و جدول مشتق توابع مثلثاتی پایه استفاده می‌کنیم:

$$ large begin {align*}
y ^ prime & = left ( { left ( { 2 – { x ^ 2 } } right ) cos x } right ) ^ prime + { left ( { 2 x sin x } right ) ^ prime } \ & = { left ( { 2 – { x ^ 2 } } right ) ^ prime cos x } + { left ( { 2 – { x ^ 2 } } right ) left ( { cos x } right ) ^ prime } + { left ( { 2 x } right ) ^ prime sin x } + { 2 x left ( { sin x } right ) ^ prime } \ & = { – 2 x cos x } – { left ( { 2 – { x ^ 2 } } right ) sin x } + { 2 sin x } + { 2 x cos x } \ & = { cancel { – 2 x cos x } } – { cancel { 2 sin x } } + { { x ^ 2 } sin x } + { cancel { 2 sin x } } + { cancel { 2 x cos x } } \ & = { { x ^ 2 } sin x . }
end {align*} $$

با قرار دادن $$ x = pi $$، جواب مسئله به دست می‌آید:

$$ large { y ^ prime left ( pi right ) = { pi ^ 2 } sin pi } = { { pi ^ 2 } cdot 0 } = { 0 . } $$

مثال ۱۷ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع زیر را در $$ x = 0 $$ محاسبه کنید:

$$ large y = left ( { x + 1 } right ) cos x + left ( { x + 2 } right ) sin x $$

حل: با استفاده از قاعده ضرب و مشتق توابع مثلثاتی پایه، داریم:

$$ large begin {align*}
y ^ prime & = left ( { left ( { x + 1 } right ) cos x } right ) ^ prime + { left ( { left ( { x + 2 } right ) sin x } right ) ^ prime } \ & = { left ( { x + 1 } right ) ^ prime cos x } + { left ( { x + 1 } right ) left ( { cos x } right ) ^ prime } + { left ( { x + 2 } right ) ^ prime sin x } + { left ( { x + 2 } right ) left ( { sin x } right ) ^ prime } \ & = { cos x } – { left ( { x + 1 } right ) sin x } + { sin x } + { left ( { x + 2 } right ) cos x } \ & = { cos x } – { x sin x } – { cancel { sin x } } + { cancel { sin x } } + { x cos x } + { 2 cos x } \ & = { 3 cos x + x left ( { cos x – sin x } right ) . }
end {align*} $$

با قرار دادن $$ x = 0 $$، جواب مورد نظر به دست می‌آید:

$$ large { y ^ prime left ( 0 right ) } = { 3 cos 0 + 0 cdot left ( { cos 0 – sin 0 } right ) } = { 3 cdot 1 + 0 } = { 3 . } $$

مثال ۱۸ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع زیر را حساب کنید:

$$ large y = { sec ^ 2 } { frac { x } { 2 } } + { csc ^ 2 }{ frac { x } { 2 } } $$

از قاعده زنجیره‌ای و جدول مشتق توابع مثلثاتی پایه استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت:

$$ large begin {align*}
y ^ prime & = left ( { { { sec } ^ 2 } frac { x } { 2 } + { { csc } ^ 2 } frac { x } { 2 } } right ) ^ prime = { left ( { { { sec } ^ 2 } frac { x } { 2 } } right ) ^ prime + left ( { { { csc } ^ 2 } frac { x } { 2 } } right ) ^ prime } \ & = { 2 sec frac { x } { 2 } cdot left ( { sec frac { x }{ 2 } } right ) ^ prime } + { 2 csc frac { x } { 2 } cdot left ( { csc frac { x } { 2 } } right ) ^ prime } \ & = { 2 sec frac { x } { 2 } cdot tan frac { x } { 2 } sec frac { x } { 2 } cdot frac { 1 } { 2 } } + { 2 csc frac { x } { 2 } cdot left ( { – cot frac { x } { 2 } csc frac { x } { 2 } } right ) cdot frac { 1 } { 2 } } \ & = { { sec ^ 2 } frac { x } { 2 } tan frac { x } { 2 } – { csc ^ 2 } frac { x } { 2 } cot frac { x } {2 } } = { frac { { sin frac { x } { 2 } } } { { { { cos } ^ 3 } frac { x } { 2 } } } – frac { { cos frac { x } { 2 } } } { { { { sin } ^ 3 } frac { x } { 2 } } } } \ & = { frac { { { { sin } ^ 4 } frac { x } { 2 } – { { cos } ^ 4 } frac { x } { 2 } } } { { { { sin } ^ 3 } frac { x } { 2 } { { cos } ^ 3 } frac { x } { 2 } } } } = { frac { { left ( { { { sin } ^ 2 } frac { x } { 2 } – { { cos } ^ 2 } frac { x } { 2 } } right ) left ( { { { sin } ^ 2 } frac { x }{ 2 } + { { cos } ^ 2 } frac { x } { 2 } } right ) } } { { frac { 1 } { 8 } cdot 8 { { sin } ^ 3 } frac { x } { 2 }{ { cos } ^ 3 } frac { x } { 2 } } } } \ & = { – frac { { 8 left ( { { { cos } ^ 2 } frac { x } { 2 } – { { sin } ^ 2 } frac { x }{ 2 } } right ) } } { { { { left ( { 2 sin frac { x } { 2 } cos frac { x } { 2 } } right ) } ^ 3 } } } } = { – frac { { 8 cos x } } { { { { sin } ^ 3 } x } } } = { – 8 cot x , { csc ^ 2 } x . }
end {align*} $$

مثال ۱۹ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع $$ y = { left ( { tan x } right ) ^ { cos x } } $$ را به دست آورید که در آن، $$ 0 lt x lt frac{pi }{2}$$.

حل:‌ این تابع را به صورت زیر می‌نویسیم:

$$ large { y left ( x right ) = { left ( { tan x } right ) ^ { cos x } } } = { { left ( { { e ^ { ln tan x } } } right ) ^ { cos x } } } = { { e ^ { ln tan x cdot cos x } } . } $$

دقت کنید که با توجه به $$ 0 lt x lt {largefrac{pi }{2}normalsize}$$، همواره نامساوی $$ x > 0 $$ را خواهیم داشت. با استفاده از قوانین زنجیره‌ای و ضرب، می‌توان نوشت:

$$ large begin {align*}
y’ left ( x right ) & = { { left ( { { e ^ { ln tan x cdot cos x } } } right ) ^ prime } } = { { e ^ { ln tan x cdot cos x } } cdot } kern0pt{ { left ( { ln tan x cdot cos x } right ) ^ prime } } \ & = {{left( {tan x} right)^{cos x}} cdot}kern0pt{left[ {frac{1}{{sin x}} – sin xln tan x} right] } \ & = { { left ( { tan x } right ) ^ { cos x } } cdot } kern0pt { left [ { frac { 1 } { { sin x } } – sin x ln tan x } right ] } \ & = { { left ( { tan x } right ) ^ { cos x } } cdot } kern0pt{ left ( { csc x – sin x ln tan x } right ) . }
end {align*} $$

مثال ۲۰ مشتق توابع مثلثاتی

مشتق تابع زیر را به دست آورید:

$$ large y = frac{{{{sin }^2}x}}{{1 + cot x}} + frac{{{{cos }^2}x}}{{1 + tan x}} $$

حل: تابع را برحسب سینوس و کسینوس می‌نویسیم و ساده می‌کنیم:

$$ large begin {align*}
y & = frac { { { { sin } ^ 2 } x } } { { 1 + cot x } } + frac { { { { cos } ^ 2 } x } } { { 1 + tan x } } = { frac { { { { sin } ^ 2 } x} } { { 1 + frac { { cos x } } { { sin x } } } } + frac { { { { cos } ^ 2 } x } } { { 1 + frac { { sin x } } { { cos x } } } } } \ & = { frac { { { { sin } ^ 2 } x } }{ { frac { { sin x + cos x } } { { sin x } } } } + frac { { { { cos } ^ 2 } x } } { { frac { { cos x + sin x } } { { cos x } } } } } = { frac { { { { sin } ^ 3 } x } } { { sin x + cos x } } + frac { { { { cos } ^ 3 } x } } { { sin x + cos x } } } \ & = { frac { { { { sin } ^ 3 } x + { { cos } ^ 3 } x } } { { sin x + cos x } } . }
end {align*} $$

اکنون برای ساده کردن مجدد کسر، از اتحاد زیر استفاده می‌کنیم:

$$ large { { a ^ 3 } + { b ^ 3 } } = { left ( { a + b } right ) left ( { { a ^ 2 } – a b + { b ^ 2 } } right ) } $$

که منجر به عبارت زیر می‌شود:

$$ large y = {sin ^2}x – sin xcos x + {cos ^2}x. $$

و در نهایت، جواب مسئله با استفاده از قوانین مشتق زنجیره‌ای و ضرب و با کمک جدول مشتق توابع مثلثاتی پایه به دست می‌آید:

$$ large begin {align*}
y ^ prime & = left ( { { { sin } ^ 2 } x } right ) ^ prime – { left ( { sin x cos x } right ) ^ prime } + { left ( { { { cos } ^ 2 } x } right ) ^ prime } \ & = { 2 sin cos x } – { left ( { sin x } right ) ^ prime cos x } – { sin x left ( { cos x } right ) ^ prime } + { 2 cos x left ( { – sin x } right ) } \ & = { cancel { 2 sin x cos x } } – { { cos ^ 2 } x } + { { sin ^ 2 } x } – { cancel { 2 sin x cos x } } \ & = { – left ( { { { cos } ^ 2 } x – { { sin } ^ 2 } x } right ) } = { – cos 2 x . }
end {align*} $$

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
• آموزش ریاضی پایه دانشگاهی
• مجموعه آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی
• آموزش ریاضی عمومی ۱ (همراه با حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد)
• مشتق قدر مطلق — به زبان ساده
• مشتق رادیکال — به زبان ساده
• پاد مشتق چیست؟ — به زبان ساده