۹. ۵. ۱. راهنمای حل تمرین ۱۴

ساخت وبلاگ

آخرین مطالب

امکانات وب

۹. ۵. ۱. راهنمای حل تمرین ۱۴

۹. ۵. ۱. ۱۴. یک ماشین‌حساب، عمل جمع را در یک ثانیه و عمل ضرب را در $۵$ ثانیه انجام می‌دهد. برای مثال، به‌ازای هر مقدار $x$، حاصل عبارت $x^3+4x+10$ را در $۱۷$ ثانیه حساب می‌کند. درستی هریک از عبارت‌های زیر را بررسی کنید.
الف) $P(x)$ای وجود دارد که محاسبهٔ آن، به‌ازای هر مقدار $x$، با این ماشین‌حساب $۱۸$ ثانیه زمان می‌برد.
ب) $P(x)$ای وجود دارد که محاسبهٔ آن، به‌ازای هر مقدار $x$، با این ماشین‌حساب $۱۹$ ثانیه زمان می‌برد.

راهنمای حل

این ماشین‌حساب، حاصل عبارت $x^3+4x+10$ را در $۱۷$ ثانیه حساب می‌کند زیرا عبارت $x^3+4x+10$ سه عمل ضرب و دو عمل جمع دارد:
[begin{split}
&x^3+4x+10\
&=xtimes xtimes x+4times x+10
end{split}]
الف) بله! وجود دارد. برای مثال، این ماشین حساب حاصل چندجمله‌‌ای $x^3+x^2+x+1$ را، به‌ازای هر مقدار $x$، در ۱۸ ثانیه محاسبه می‌کند. (چرا؟)

چندجمله‌ای $x^3+x^2+x+1$ سه عمل ضرب و سه عمل جمع دارد:
[begin{split}
&x^3+x^2+x+1\
&=xtimes xtimes x+xtimes x+x+1
end{split}]


ب) خیر! وجود ندارد.
اگر چنین عبارتی وجود داشته باشد،
$bullet$ اولاً باید حداقل چهار عمل جمع داشته باشد و در نتیجه درجهٔ آن حداقل $۴$ است. (چرا؟)

باتوجه‌به فرض مسئله، باید بتوانیم عدد $۱۹$ را به‌‌صورت زیر بنویسیم:
[۱۹=۵(a)+1(b)]
که $a$ نشان‌دهندهٔ تعداد عمل ضرب و $b$ نشان‌دهندهٔ تعداد عمل جمع در $P(x)$ است. بنابراین همهٔ حالت‌های ممکن برای $a$ و $b$ به‌صورت زیر است:
[begin{split}
a=0,;&b=19\
a=1,;&b=14\
a=2,;&b=9\
a=3,;&b=4\
end{split}]
چون کمترین مقدار ممکن برای $b$ عدد $۴$ است، پس باید حداقل چهار عمل جمع داشته باشیم؛ یعنی $P(x)$ حداقل پنج‌جمله‌ای است. در نتیجه درجهٔ $P(x)$ حداقل $۴$ است. (توضیحات تمرین ۱۰ صفحهٔ ۸۲ کتاب ریاضی تکمیلی نهم را ببینید.)


$bullet$ ثانیاً باید درجهٔ آن از $۵$ کمتر باشد. (چرا؟)

فرض کنید $a$ یک عدد ناصفر باشد. در یک چندجمله‌ای درجه ۵، عبارت $ax^5$ وجود دارد که محاسبهٔ آن برای این ماشین‌حساب بیش از ۱۹ ثانیه زمان می‌برد.


پس $P(x)$ باید یک پنج‌جمله‌ای درجهٔ ۴ باشد؛ ولی یک‌ پنج‌جمله‌ای درجهٔ $۴$ با این خاصیت وجود ندارد. (چرا؟)

فرض کنید $a$،  $b$، $c$، $d$، و $e$ اعدادی حقیقی ناصفر باشند. یک پنج‌جمله‌ای درجهٔ ۴ را در حالت کلی می‌توان به‌صورت زیر نمایش داد:
[ax^4+bx^3+cx^2+dx+e]
این پنج‌جمله‌ای چهار عمل جمع و حداقل شش عمل ضرب دارد. (در حالتی که $a=b=c=d=1$ چندجمله‌ای بالا دقیقاً شش عمل ضرب دارد.) و شش عمل ضرب برای این ماشین‌حساب بیش از ۱۹ ثانیه زمان می‌برد.

مطالب درسی...
ما را در سایت مطالب درسی دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : خنجی darsi بازدید : 379 تاريخ : جمعه 11 اسفند 1396 ساعت: 13:24

آرشیو مطالب

پيوندهای روزانه

لینک دوستان

خبرنامه