گسترنده منحنی — به زبان ساده

در آموزشهای قبلی از مجموعه مطالب ریاضی مجله فرادرس، انحنا و شعاع انحنا را معرفی کردیم. در این آموزش، با گسترنده منحنی آشنا میشویم.

گسترنده منحنی

منحنی مسطح $$ gamma $$ را در نظر بگیرید که با معادله زیر داده شده است:

$$ large mathbf { r } = mathbf { r } left ( s right ) , $$

که در آن، پارامتر $$ s $$ طول قوس منحنی را نشان میدهد. فرض کنید در هر نقطه، خمیدگی منحنی مخالف صفر باشد ($$Kleft( s right) ne 0$$). در نتیجه، در هر نقطه $$M$$ میتوانیم یک شعاع خمیدگی محدود تعریف کنیم:

$$ large R = R left ( s right ) = frac { 1 } { { K left ( s right ) } } . $$

روی خط عمود $$mathbf{n} $$ قطعه $$mathbf{MC} $$ برابر با شعاع خمیدگی $$ R ( s ) $$ در نقطه $$M$$ است (شکل ۱).

نقطه $$ C $$ مرکز خمیدگی منحنی $$ gamma $$ در نقطه $$M$$ نامیده میشود.

اگر بردار شعاع مرکز خمیدگی را با $$boldsymbol{rho} $$ نشان دهیم، آنگاه، داریم:

$$ large boldsymbol { rho } = mathbf { O M } + mathbf { M C } = mathbf { r } + R mathbf { n } . $$

بردار عمود $$mathbf {n}$$ با عبارت زیر مشخص میشود:

$$ large { mathbf { n } = frac { 1 } { K } frac { { d boldsymbol { tau } } } { { d s } } } = { frac { 1 }{ K } frac { { { d ^ 2 } mathbf { r } } } { { d { s ^ 2 } } } } = { R frac { { { d ^ 2 } mathbf { r } } } { { d { s ^ 2 } } } , } $$

که در آن، $$boldsymboltau $$ بردار مماس واحد است. در نتیجه، موقعیت مرکز خمیدگی متناظر با نقطه $$M$$ توسط فرمول زیر بیان میشود:

$$ large { boldsymbol rho = mathbf { r } + R mathbf { n } } = { mathbf { r } + { R ^ 2 } frac { { { d ^ 2 } mathbf { r } } } { { d { s ^ 2 } } } . } $$

برای هر نقطه از منحنی، با فرض $$K ne 0 $$، میتوانیم مرکز خمیدگی را به دست آوریم. مجموعه همه مراکز خمیدگی منحنی $$ gamma $$ «گسترنده» (Evolute) نامیده میشود.

اگر منحنی $$ gamma _ 1 $$ گسترنده منحنی $$ gamma $$ باشد، آنگاه منحنی اولیه $$ gamma $$ «گستران» (Involute) منحنی $$ gamma _ 1 $$ نامیده میشود.

مرکز خمیدگی را با نقطه $$ C $$ با $$left( {xi ,eta } right) $$ مشخص میکنیم. اگر منحنی $$ gamma $$ به فرم پارامتری زیر باشد:

$$ large { x = x left ( t right ) , } ; ; ; { y = y left ( t right ) , } ; ; ; kern-0.3pt { alpha le t le beta , } $$

مختصات مراکز خمیدگی $$left( {xi ,eta } right) $$ با فرمول زیر محاسبه میشوند:

$$ large { xi = x – y’ frac { { { { left ( { x’ } right ) } ^ 2 } + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { prime prime } – x ^ { prime prime } y’ } } , } ; ; ; kern-0.3pt { eta = y + x’ frac { { { { left ( { x’ } right ) } ^ 2 } + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { prime prime } – x ^ { prime prime } y’ } } . } $$

این فرمولها از عبارت بردار شعاعی $$boldsymbolrho $$ تبعیت میکنند.

اگر منحنی $$ gamma $$ نمودار تابع $$y = fleft( x right) $$ باشد، مختصات مرکز خمیدگی به فرم زیر است:

$$ large { xi = x – frac { { 1 + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } } { { y ^ { prime prime } } } y’ , } ; ; ; kern-0.3pt { eta = y + frac { { 1 + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } }{ { y ^ { prime prime } } } . } $$

توجه کنید که شرایط خمیدگی غیرصفر در همه نقاط منحنی به اندازه کافی قوی است. در نتیجه، منحنیهای مشخص، برای مثال آنهایی که دارای نقاط عطف هستند، خارج از تحلیلاند. بنابراین، یک مورد عمومیتر خمیدگی دلخواه را بررسی میکنیم. اگر خمیدگی در یک نقطه برابر با صفر باشد، گسترنده در این نقطه دارای یک ناپیوستگی است. این مورد در شکل ۲ نشان داده شده است.

برای آشنایی بیشتر با گسترنده منحنی ، پیشنهاد میکنیم به مجموعه فیلمهای آموزش ریاضیات فرادرس مراجعه کنید که لینک آن در ادامه آورده شده است.

• برای مشاهده مجموعه فیلمهای آموزش ریاضیات فرادرس + اینجا کلیک کنید.

مثالهای گسترنده منحنی

در این بخش، مثالهای متنوعی از گسترنده منحنی را بررسی خواهیم کرد.

مثال اول گسترنده منحنی

گسترده دایره زیر را تعیین کنید.

$$ large { x ^ 2 } + { y ^ 2 } = { R ^2 } . $$

حل: معادله دایره را به فرم پارامتری زیر مینویسیم:

$$ large x = R cos t , ; ; ; y = R sin t . $$

مشتقات $$ x $$ و $$ y $$ نسبت به پارامتر $$ t $$ به صورت زیر هستند:

$$ large begin {align*}
x’ & = { left ( { R cos t } right ) ^ prime } = – R sin t , ; ; ; kern-0.3pt y = { left ( { R sin t } right ) ^ prime } = R cos t , end {align*} $$

$$ large begin {align*}
{ x ^ { prime prime } = { left ( { – R sin t } right ) ^ prime } = – R cos t , } ; ; ; kern-0.3pt { y ^ { prime prime } = { left ( { R cos t } right ) ^ prime } = – R sin t . }
end {align*} $$

مختصات مرکز خمیدگی $$ left( {xi ,eta } right) $$ به صورت زیر به دست میآید:

$$ large { xi = x – y’ frac { { { { left ( { x’ } right ) } ^ 2 } + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { prime prime } – x ^ { prime prime } y’ } } , } ; ; ; kern-0.3pt { eta = y + x’ frac { { { { left ( { x’ } right ) } ^ 2 } + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { prime prime } – x ^ { prime prime } y’ } } . } $$

با قرار دادن $$ x $$ و $$ y $$ و مشتقات آنها در معادله بالا، در نهایت، خواهیم داشت:

$$ large require{cancel} begin {align*} xi & = x – y’ frac { { { { left ( {x’} right ) } ^ 2 } + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { prime prime } – x ^ { prime prime } y’ } } = { { R cos t – R cos t cdot } kern0pt { frac { cancel { { { R ^ 2 }{ { sin } ^ 2 } t + { R ^ 2 } { { cos } ^ 2 } t } } } { cancel { { { R ^ 2 } { { sin } ^ 2 } t + { R ^ 2 } { { cos } ^ 2 } t } } } } } \ & = { cancel { R cos t } – cancel { R cos t } equiv 0;} end {align*} $$

$$ large require {cancel} begin {align*}
eta & = y + x’ frac { { { { left ( { x’ } right ) } ^ 2 } + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { prime prime } – x ^ { prime prime } y’ } } = { { R sin t – R sin t } cdot kern0pt { frac { cancel { { { R ^ 2 } { { sin } ^ 2 } t + { R ^ 2 } { { cos } ^ 2 } t } } } { cancel { { { R ^ 2 } { { sin } ^ 2 } t + { R ^ 2 } { { cos } ^ 2 } t } } } } } \ & = { R sin t – R sin t equiv 0.}
end {align*} $$

بنابراین، به یک نتیجه بدیهی میرسیم: گسترنده منحنی دایره تنها یک نقطه (مرکز دایره) است.

مثال دوم گسترنده منحنی

اوولوت بیضی زیر را محاسبه کنید:

$$ large frac { { { x ^ 2 } } } { { { a ^ 2 } } } + frac { { { y ^ 2 } } } { { { b ^ 2 } } } = 1 . $$

حل: فرم پارامتری معادله بیضی به صورت زیر است:

$$ large x = a cos t , ; ; ; y = b sin t . $$

مشتقات $$ x $$ و $$ y $$ نسبت به $$ t $$ به صورت زیر نوشته میشوند:

$$ large { x’ = { left ( { a cos t } right ) ^ prime } = – a sin t , } ; ; ; kern-0.3pt { y’ = { left ( { b sin t } right ) ^ prime } = b cos t , } $$

$$ large { x ^ { prime prime } = { left ( { – a sin t } right ) ^ prime } = – a cos t , } ; ; ; kern-0.3pt { y ^ { prime prime } = { left ( { b cos t } right ) ^ prime } = – b sin t . } $$

برای محاسبه مختصات مرکز خمیدگی $$left( {xi ,eta } right) $$ از فرمولهای زیر استفاده میکنیم:

$$ large { xi = x – y’ frac { { { { left ( { x’ } right ) } ^ 2 } + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } } { { x’ y^ { prime prime } – x ^ { prime prime } y’ } } , } ; ; ; kern-0.3pt { eta = y + x’ frac { { { { left ( { x’ } right ) } ^ 2 } + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { prime prime } – x ^ { prime prime } y’ } } . } $$

با قرار دادن عبارات $$ x $$ و $$ y $$ و مشتقات آنها، خواهیم داشت:

$$ large begin {align*} xi & = x – y’ frac { { { { left ( { x’ } right ) } ^ 2 } + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { prime prime } – x ^ { prime prime } y’ } } = { { a cos t – b cos t } cdot kern0pt { frac { { { a ^ 2 } { { sin } ^ 2 } t + { b ^ 2 }{ { cos } ^ 2 } t } } { { a b , { { sin } ^ 2 } t + a b , { { cos } ^ 2 } t } } } } \ & = { { a cos t – cos t } cdot kern0pt { frac { { { a ^ 2 } { { sin } ^ 2 } t + { b ^ 2 }{ { cos } ^ 2 } t } } { a } } } \ &= { frac { { { a ^ 2 } cos t – { a ^ 2 } { { sin } ^ 2 } t cos t – { b ^ 2 } { { cos } ^ 3 } t } } { a } = frac { { { a ^ 2 } cos t left ( { 1 – { { sin } ^ 2 } t } right ) – { b ^ 2 } { { cos } ^ 3 } t } } { a } } \ & = { frac { 1 } { a } left ( { { a ^ 2 } { { cos } ^ 3 } t – { b ^ 2 } { { cos } ^ 3 } t } right ) = frac { { { a ^ 2 } – { b ^ 2 } } } { a } { cos ^ 3 } t ; } end {align*} $$

$$ large begin {align*}
eta & = y + x’ frac { { { { left ( { x’ } right ) } ^ 2 } + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } }{ { x’ y ^ { prime prime } – x ^ { prime prime } y’ } } = { { b sin t – a sin t } cdot kern0pt{ frac { { { a ^ 2 } { { sin } ^ 2 } t + { b ^ 2 } { { cos } ^ 2 } t } } { { a b , { { sin } ^ 2 } t + a b , { { cos } ^ 2 } t } } } } \ & = { { b sin t – sin t } cdotkern0pt { frac { { { a ^ 2 } { { sin } ^ 2 } t + { b ^ 2 } { { cos } ^ 2 } t } } { b } } } \ & = { frac { { { b ^ 2 } sin t – { a ^ 2 } { sin ^ 3 } t – { b ^ 2 } { cos ^ 2 } t sin t } } { b } } \ & = { frac { { { b ^ 2 } sin t left ( { 1 – { { cos } ^ 2 } t } right ) – { a ^ 2 } { sin ^ 3 } t } } { b } } \ & = { frac { 1 } { b } left ( { { b ^ 2 } { sin ^ 3 } t – { a ^ 2 } { sin ^ 3 } t } right ) = frac { { { b ^ 2 } – { a ^ 2 } } } { b } { sin ^ 3 } t .}
end {align*} $$

در نتیجه، گسترنده منحنی یک بیضی با معادلات پارامتری زیر توصیف میشود:

$$ large begin {align*}
xi & = frac { { { a ^ 2 } – { b ^ 2 } } } { a } { cos ^ 3 } t = left ( { a – frac {b } { a } } right ) { cos ^ 3 } t , ; ; ; kern-0.3pt \ eta & = frac { { { b ^ 2 } – { a ^ 2 } } } { b } { sin ^ 3 } t = left ( { b – frac { a } { b } } right ) { sin ^ 3 } t .
end {align*} $$

با حذف پارامتر $$ t $$، میتوانیم معادله گسترنده منحنی را به فرم ضمنی بنویسیم:

$$ large begin {align*}
xi & = frac { { { a ^ 2 } – { b ^ 2 } } } { a }{ cos ^ 3 } t , ; ; Rightarrow { a xi = left ( { { a ^ 2 } – { b ^ 2 } } right ) { cos ^ 3 } t , } ; ; \ & Rightarrow { frac { { a xi } }{ { { a ^ 2 } – { b ^ 2 } } } = { cos ^ 3 } t , } ; ; Rightarrow { frac { { { { left ( { a xi } right ) } ^ { large frac { 2 }{ 3 } normalsize } } } } { { { { left ( { { a ^ 2 } – { b ^ 2 } } right ) } ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } } } = { cos ^ 2 } t ; }
end {align*} $$

$$ large begin {align*}
eta & = frac { { { b ^ 2 } – { a ^ 2 } } } { b }{ sin ^ 3 } t , ; ; Rightarrow { b eta = left ( { { b ^ 2 } – { a ^ 2 } } right ) { sin ^ 3 } t , } ; ; \ & Rightarrow { frac { { b eta } }{ { left [ { – left ( { { a ^ 2 } – { b ^ 2 } } right ) } right ] } } = { sin ^ 3 } t , } ; ;Rightarrow { frac { { { { left ( { b eta } right ) } ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } } }{ { { { left ( { { a ^ 2 } – { b ^ 2 } } right ) } ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } } } = { sin ^ 2 } t . }
end {align*} $$

با جمع مجذور سینوس و کسینوس، خواهیم داشت:

$$ large { frac { { { { left ( { a xi } right ) } ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } } } { { { { left ( { { a ^ 2 } – { b ^ 2 } } right ) } ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } } } + frac { { {{ left ( { b eta } right ) } ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } } }{ { { { left ( { { a ^ 2 } – { b ^ 2 } } right ) } ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } } } = 1 , } ; ; Rightarrow { { left ( { a xi } right ) ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } + { left ( { b eta } right ) ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } = { left ( { { a ^ 2 } – { b ^ 2 } } right ) ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } . } $$

سه تساوی $$axi = X $$، $$beta = Y $$ و $${a^2} – {b^2} = A $$ را تعریف میکنیم. در نتیجه، معادله گسترنده منحنی را میتوان به صورت زیر نمایش داد:

$$ large { X ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } + { Y ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } = { A ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } . $$

همانطور که میبینیم، گسترنده منحنی بیضی یک منحنی ستارهگون است. شکل ۳ این منحنی را نشان میدهد.

مثال سوم گسترنده منحنی

گسترنده منحنی سهمی $$ y = x ^ 2 $$ را به دست آورید.

حل: برای یک منحنی داده شده با یک معادله ضمنی، مختصات مرکز خمیدگی با فرمولهای زیر تعیین میشود:

$$ large { xi = x – frac { { 1 + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } } { { y ^ { prime prime } } } y’ , } ; ; ; kern-0.3pt { eta = y + frac { { 1 + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } }{ { y ^ { prime prime } } } . } $$

با جایگذاری تابع داده شده، خواهیم داشت:

$$ large begin {align*}
xi & = x – frac { { 1 + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } }{ { y ^ { prime prime } } } y’ = { x – frac { { 1 + { { left ( { 2 x } right ) } ^ 2 } } } { 2 } cdot 2 x } \ & = { x – x left ( { 1 + 4 { x ^ 2 } } right ) } = { – 4 { x ^ 3 } ; }
end {align*} $$

$$ large begin {align*}
eta & = y + frac { { 1 + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } }{ { y ^ { prime prime } } } = { { x ^ 2 } + frac { { 1 + { { left ( { 2 x } right ) } ^ 2 } } } { 2 } }\ & = { { x ^ 2 } + frac { { 1 + 4 { x ^ 2 } } } { 2 } } = { 3 { x ^ 2 } + frac { 1 } { 2 } . }
end {align*} $$

با حذف متغیر $$ x $$ از این عبارات، معادله گسترنده منحنی را به عنوان تابعی از $$xi left( eta right) $$ نشان میدهیم:

$$ large begin {align*}
eta & = 3 { x ^ 2 } + frac { 1 } { 2 } , ; ; Rightarrow { eta – frac { 1 } { 2 } = 3 { x ^ 2 } , ; ; } \ & Rightarrow { { x ^ 2 } = frac { eta } { 3 } – frac { 1 } {6 } , ; ; } Rightarrow { x = pm { left ( { frac { eta } { 3 } – frac { 1 } { 6 } } right ) ^ { large frac { 1 } { 2 } normalsize } } . }
end {align*} $$

در نتیجه، داریم:

$$ large { xi = – 4 { x ^ 3 } = – 4 cdot { left [ { pm { { left ( { frac { eta } { 3 } – frac { 1 } { 6 } } right ) } ^ { large frac { 1 } { 2 } normalsize } } } right ] ^ 3 } } = { pm 4 { left ( { frac { eta } { 3 } – frac { 1 } { 6 } } right ) ^ { large frac { 3 } { 2 } normalsize } } , } $$

که در آن، $$eta ge largefrac{1}{2}normalsize $$.

سهمی و گسترنده آن در شکل ۴ رسم شدهاند.

گسترنده منحنی بالا شبیه یک دمچلچلهای است که معادله آن یک سهمی شبهمکعبی است.

مثال چهارم گسترنده منحنی

گسترنده مارپیچ لگاریتمی $$ r = e ^ theta $$ را به دست آورید.

حل: منحنی در دستگاه مختصات کارتزین با دستگاه معادلات زیر بیان میشود:

$$ large { x = r cos theta = { e ^ theta } cos theta ,} ; ; ; kern-0pt { y = r sin theta = { e ^ theta } sin theta . } $$

این توصیف معادله منحنی به فرم پارامتری است که در آن، زاویه $$ theta $$ نقش یک پارامتر را بازی میکند. در نتیجه، مختصات مرکز خمیدگی را میتوان با فرمولهای زیر محاسبه کرد:

$$ large { xi = x – y’ frac { { { { left ( { x’ } right ) } ^ 2 } + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { prime prime } – x ^ { prime prime } y’ } } , } ; ; ; kern-0.3pt { eta = y + x’ frac { { { { left ( { x’ } right ) } ^ 2 } + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { prime prime } – x ^ { prime prime } y’ } } . } $$

مشتقها به صورت زیر هستند:

$$ large begin {align*}
require {cancel} { x’ = { left ( { { e ^ theta } cos theta } right ) ^ prime } } = { { e ^ theta } cos theta – { e ^ theta } sin theta } = { { e ^ theta } left ( { cos theta – sin theta } right ) ; }
end {align*} $$

$$ large begin {align*}
x ^ { prime prime } & = left [ { { e ^ theta } left ( { cos theta – sin theta } right ) } right ] ^ prime = { { e ^ theta } left ( { cos theta – sin theta } right ) + { e ^ theta } left ( { – sin theta – cos theta } right ) } \ & = { { e ^ theta } left ( { cancel { cos theta } – sin theta } right . } -{ left . { sin theta – cancel { cos theta } } right ) } = { – 2 { e ^ theta } sin theta ; }
end {align*} $$

$$ large { y’ = { left ( { { e ^ theta } sin theta } right ) ^ prime } } = { { e ^ theta } sin theta + { e ^ theta } cos theta } = { { e ^ theta } left ( { sin theta + cos theta } right ) ; } $$

$$ large begin {align*}
y ^ { prime prime } & = left[ { { e ^ theta } left ( { sin theta + cos theta } right ) } right ] ^ prime = { { e ^ theta } left ( { sin theta + cos theta } right) + { e ^ theta } left ( { cos theta – sin theta } right ) } \ & = { { e ^ theta } left ( { cancel { sin theta } + cos theta } right . } + { left .{ cos theta – cancel { sin theta } } right ) } = { 2 { e ^ theta } cos theta . }
end {align*} $$

عبارات $$xi $$ و $$eta $$ یک کسر مشترک دارند که برابر است با:

$$ large { F = frac { { { { left ( { x’ } right ) } ^ 2 } + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { prime prime } – x ^ { prime prime } y’ } } } = { frac { 1 } { 2 } cdot frac { 2 } { 1 } = 1 . } $$

در نتیجه، مختصات $$xi $$ و $$eta $$ مرکز خمیدگی به صورت زیر تعریف میشوند:

$$ large begin {align*}
xi & = x – y’ frac { { { { left ( { x’ } right ) } ^ 2 } + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { prime prime } – x ^ { prime prime } y’ } } = { x – y’ F } \ & = { { e ^ theta } cos theta – { e ^ theta } left ( { sin theta + cos theta } right ) } = { – { e ^ theta } sin theta = – y ; }
end {align*} $$

$$ large begin {align*}
eta & = y + x’ frac { { { { left ( { x’ } right ) } ^ 2 } + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { prime prime } – x ^ { prime prime } y’ } } = { y + x’ F } \ & = { { e ^ theta } sin theta + { e ^ theta } left ( { cos theta – sin theta } right ) } = { { e ^ theta } cos theta = x . }
end {align*} $$

بنابراین، اگر دستگاه مختصات اولیه $${xOy} $$ را در نظر بگیریم و آن را در خلاف جهت عقربههای ساعت به اندازه $$largefrac{pi }{2}normalsize $$ بچرخانیم، به دستگاه مختصات $${xi O eta} $$ میرسیم. نیممحور منفی $$ – y $$ به محور افقی مثبت $$xi $$ و نیممحور مثبت $$ x $$ به محور عمودی $$ eta $$ تصویر میشوند. به عبارت دیگر، گسترنده منحنی مارپیچ لگاریتمی $$ r = e ^ theta $$ مشابه منحنی چرخانده شده در خلاف جهت عقربههای ساعت به اندازه $$largefrac{pi }{2}normalsize $$ است.

مثال پنجم گسترنده منحنی

گسترنده منحنی چرخزاد زیر را به دست آورید:

$$ large { x = t – sin t , } ; ; ; kern-0.3pt
{ y = 1 – cos t . } $$

حل: ابتدا مشتق منحنی داده شده را به دست میآوریم:

$$ large { x’ = { left ( { t – sin t } right ) ^ prime } = 1 – cos t , } ; ; ; kern-0.3pt { y’ = { left ( { 1 – cos t } right ) ^ prime } = sin t . } $$

$$ large { x ^ { prime prime } = { left ( { 1 – cos t } right ) ^ prime } = sin t , } ; ; ; kern-0.3pt { y ^ { prime prime } = { left ( { sin t } right)^prime } = cos t.} $$

مختصات مرکز خمیدگی به صورت زیر است:

$$ large begin {align*}
frac { { { { left ( { x’ } right ) } ^ 2 } + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { prime prime } – x ^ { prime prime } y’ } } & = { frac { { { { left ( { 1 – cos t } right ) } ^ 2 } + { { sin } ^ 2 } t } } { { left ( { 1 – cos t } right ) cos t – sin t sin t } } } \ & = { frac { { 1 – 2 cos t + { { cos } ^ 2 } t + { { sin } ^ 2 } t } } { { cos t – { { cos } ^ 2 } t – { { sin } ^ 2 } t } } } \ & = { frac { { 2 left ( { 1 – cos t } right ) } } { { cos t – 1 } } = – 2 ; }
end {align*} $$

$$ large { xi = x – y’ frac { { { { left ( { x’ } right ) } ^ 2 } + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { prime prime } – x ^ { prime prime } y’ } } } = { t – sin t – sin t cdot left ( { – 2 } right)} = {t + sin t;} $$

$$ large { eta = y + x’ frac { { { { left ( { x’ } right ) } ^ 2 } + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } } { { x’ y ^ { prime prime } – x ^ { prime prime } y’ } } } = { 1 – cos t + left ( { 1 – cos t } right ) cdot left ( { – 2 } right ) } = { cos t – 1 . } $$

در ادامه، پارامتر $$ t $$ را به صورت $$t = tau + pi $$ نمایش میدهیم. در اینجا، متغیر $$tau $$ نقش پارامتر «تأخیر» را بازی میکند که به اندازه $$ pi $$ واحد بعد از $$ t $$ است (یعنی نصف قوس چرخزاد).

حال مختصات مرکز خمیدگی $$ xi $$ و $$ eta $$ را برحسب متغیر $$ tau $$ مینویسیم:

$$ large { xi = t + sin t } = { tau + pi + sin left ( { tau + pi } right ) } = { left [ { tau – sin tau } right ] + pi ; } $$

$$ large { eta = cos t – 1 } = { cos left ( { tau + pi } right ) – 1 } = { – cos tau + 1 – 2 } = { left [ { 1 – cos tau } right ] – 2 . } $$

بنابراین، گسترنده منحنی چرخزاد نیز یک چرخزاد است. موقعیت آن نسبت به منحنی اولیه با بردار $$left( {pi , – 2} right) $$ جابهجا شده است. علاوه بر این، به دلیل تعویض $$t to tau $$، گسترنده منحنی چرخزاد از میانه قوس آغاز میشود.

مثال ششم گسترنده منحنی

ثابت کنید منحنی با معادلاتِ

$$ large { x = R left ( { cos t + t sin t } right ) , } ; ; ; kern-0.3pt
{ y = R left ( { sin t – t cos t } right ) } $$

گسترنده منحنی دایرهای با شعاع $$ R $$ و مرکز مبدأ مختصات است.

حل: مشتقات $$ x $$ و $$ y $$ نسبت به پارامتر $$ t $$ به صورت زیر است:

$$ large begin {align*} require {cancel}
x’ & = {left[ {Rleft( {cos t + tsin t} right)} right]^prime } = {Rleft( { – cancel{sin t} + cancel{sin t} + tcos t} right) = Rtcos t,} \
x^{primeprime} & = {left( {Rtcos t} right)^prime } ={ Rleft( {cos t – tsin t} right),} \
y’ &= {left[ {Rleft( {sin t – tcos t} right)} right]^prime } = {Rleft( {cancel{cos t} – cancel{cos t} + tsin t} right) = Rtsin t,} \
y^{primeprime} & = {left( {Rtsin t} right)^prime } = {Rleft( {sin t + tcos t} right).}
end {align*} $$

اکنون مختصات مرکز خمیدگی منحنی را محاسبه میکنیم:

$$ large {D = frac{{{{left( {x’} right)}^2} + {{left( {y’} right)}^2}}}{{x’y^{prime prime} – x^{primeprime}y’}} } = { 1.} $$

در نتیجه، مختصات مرکز به صورت زیر خواهد بود:

$$ large require {cancel} begin {align*} xi = x – y’ D & = { R left ( { cos t + t sin t } right ) – R t sin t cdot 1 } \ & = { R cos t + cancel { R t sin t } – cancel { R t sin t } } = { R cos t ; } end {align*} $$

$$ large require {cancel} begin {align*}
{ eta = y + x’ D } & = { R left ( { sin t – t cos t } right ) + R t sin t cdot 1 } \ & = { R sin t – cancel { R t cos t } + cancel { R t cos t } } = { R sin t . }
end {align*} $$

معادلات پارامتری گسترنده منحنی دایره به شعاع $$ R $$ و مرکز مبدأ مختصات به صورت زیر است:

$$ large xi = R cos t , ; ; ; eta = R sin t . $$

در مختصات کارتزین $$left( {xi ,eta } right) $$، معادله گسترنده منحنی به صورت زیر نوشته میشود:

$$ large { xi ^ 2 } + { eta ^ 2 } = { R ^ 2 } . $$

گستران دایره به صورت یک مارپیچ است (شکل ۵).

مثال هفتم گسترنده منحنی

معادله گسترنده هذلولوی $$y = largefrac{1}{x}normalsize $$ را به دست آورید.

حل: مشتقات اول و دوم تابع هذلولوی به صورت زیر هستند:

$$ large { y’ = { left ( { frac { 1 } { x } } right ) ^ prime } = – frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } , } ; ; ; kern-0.3pt { y ^ { prime prime } = { left ( { – frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } right ) ^ prime } = frac { 2 } { { { x ^ 3 } } } . } $$

در نتیجه، مختصات مرکز خمیدگی هذلولوی به صورت زیر خواهد بود:

$$ large begin {align*}
xi & = x – frac { { 1 + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } } { { y ^ { prime prime } } } y’ = { x – frac { { 1 + { { left ( { – frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } right ) } ^ 2 } } } { { frac { 2 } { { { x ^ 3 } } } } } cdot left ( { – frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } right ) } \ & = { x – frac { { 1 + frac { 1 } { { { x ^ 4 }} } } } { { frac { 2 } { { {x ^ 3 } } } } } cdot left ( { – frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } right ) } = { x + frac { { left ( { { x ^ 4 } + 1 } right ) { x ^ 3 } } } { { 2 { x ^ 4 } { x ^2 } } } } \ & = { x + frac { { { x ^ 4 } + 1 } } { { 2 { x ^ 3 } }} } = { frac { { 2 { x ^ 4 } + { x ^ 4 } + 1 } } { { 2 { x ^ 3 } } } } = { frac { { 3 { x ^ 4 } + 1 } } { { 2 { x ^ 3 } } } ; }
end {align*} $$

$$ large begin {align*}
eta & = y + frac { { 1 + { { left ( { y’ } right ) } ^ 2 } } } { { y ^ { prime prime } } } = { frac { 1 } { x } + frac { { 1 + { { left ( { – frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } right ) } ^ 2 } } } { { frac { 2 } { { { x ^ 3 } } } } } } \ & = { frac { 1 } { x } + frac {{ 1 + frac { 1 } { { { x ^ 4 } } } } } { { frac { 2 }{ { { x ^ 3 } } } } } } = { frac { 1 } { x } + frac { { left ( { { x ^ 4 } + 1 } right ) { x ^ 3 } } } { { 2 { x ^ 4 } } } } \ & = { frac { 1 } { x } + frac { { { x ^ 4} + 1 } } { { 2 x } } } = { frac { { { x ^ 4 } + 3 } } { { 2 x } } .}
end {align*} $$

با استفاده از عملیات جبری، متغیر $$ x $$ را که یک پارامتر در فرمولهای $$ xi$$ و $$ eta $$ است، حذف میکنیم. ابتدا عبارات مجموع و تفاضل مختصات $$ xi $$ و $$ eta $$ را مینویسیم:

$$ large begin {align*}
{ xi + eta } & = { frac { { 3 { x ^ 4 } + 1 } } { { 2 { x ^3 } } } + frac { { { x ^ 4 } + 3 } } { { 2 x } } } = { frac { { 3 { x ^ 4 } + 1 + { x ^ 6 } + 3 { x ^ 2 } } } { { 2 { x ^ 3 } } } } \ & = { frac { { { x ^ 6 } + 3 { x ^4 } + 3 { x ^ 2 } + 1 } }{ { 2 { x ^ 3 } } } } = { frac { { { { left ( { { x ^ 2 } + 1 } right ) } ^ 3 } } } { { 2 { x ^ 3 } } } } \ & = { frac { 1 } { 2 } { left ( { frac { { { x ^ 2 } + 1 } } { x } } right ) ^ 3 } } = { frac { 1 } { 2 } { left ( { x + frac { 1 } { x } } right ) ^ 3 } ; }
end {align*} $$

$$ large begin {align*}
{ xi – eta } & = { frac { { 3 { x ^ 4 } + 1 } } { { 2 { x ^ 3 } } } – frac { { { x ^ 4 } + 3 } } { { 2 x } } } = { frac { { 3 { x ^ 4 } + 1 – { x ^ 6 } – 3 { x ^ 2 } } } { { 2 { x ^ 3 } } } } \ & = { – frac { { { x ^ 6 } – 3 { x ^ 4 } + 3 { x ^ 2 } – 1 } } { { 2 { x ^ 3 } } } } = { – frac { { { { left ( { { x ^ 2 } – 1 } right ) } ^ 3 } }} { { 2 { x ^3 } } } } \ & = { – frac { 1 } { 2 } { left ( { frac { { { x ^ 2 } – 1 } } { x } } right ) ^ 3 } } = { – frac { 1 } { 2 } { left ( { x – frac { 1 } { x } } right ) ^ 3 } . }
end {align*} $$

با اعمال جذر مکعب، روابط زیر به دست میآیند:

$$ large { { left ( { xi + eta } right ) ^ { large frac { 1 }{ 3 } normalsize } } = frac { 1 } { { sqrt [ large 3 normalsize ]{ 2 } } } left ( { x + frac { 1 } { x } } right ) , } ; ; ; kern-0.3pt { { left ( { xi – eta } right ) ^ { large frac { 1 }{ 3 } normalsize } } = – frac { 1 } { { sqrt [ large 3 normalsize ]{ 2 } } } left ( { x – frac { 1 } { x } } right ) . } $$

اکنون هر معادله را به توان دو میرسانیم:

$$ large { { left ( { xi + eta } right ) ^ { large frac { 2 }{ 3 } normalsize } } } = { frac { 1 } { { sqrt [ large 3 normalsize]{ 4 } } } { left ( { x + frac { 1 } { x } } right ) ^ 2 } } = { frac { 1 } { { sqrt [ large 3 normalsize ] { 4 } } } left ( { { x ^ 2 } + 2 + frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } right ) , } $$

$$ large { { left ( { xi – eta } right ) ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } } = { frac { 1 } { { sqrt [ large 3 normalsize ] { 4 } } } { left ( { x – frac { 1 } { x } } right ) ^ 2 } } = { frac { 1 } { { sqrt [ large 3 normalsize ] { 4 } } } left ( { { x ^ 2 } – 2 + frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } right ) . } $$

$$ large { sqrt [ large 3 normalsize ] { 4 } { left ( { xi + eta } right ) ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } = { x ^ 2 } + 2 + frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } , } ; ; ; kern-0.3pt { sqrt [ large 3 normalsize ] { 4 } { left ( { xi – eta } right ) ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } = { x ^ 2 } – 2 + frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } $$

و معادله دوم را از معادله اول کم میکنیم:

$$ large begin {align*} &
sqrt [ large 3 normalsize ] { 4 } left [ { { { left ( { xi + eta } right ) } ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } – { { left ( { xi – eta } right ) } ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } } right ] = { { x ^ 2 } + 2 + frac { 1 }{ { { x ^ 2 } } } – left ( { { x ^ 2 } – 2 + frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } right ) , ; ; } \ & Rightarrow { sqrt [ large 3 normalsize ] { 4 } left [ { { { left ( { xi + eta } right ) } ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } – { { left ( { xi – eta } right ) } ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } } right ] = 4 , ; ; } Rightarrow { sqrt [ large 3 normalsize ] { 4 } left [ { { { left ( { xi + eta } right ) } ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } – { { left ( { xi – eta } right ) } ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } } right ] = 4 , ; ; } \ & Rightarrow { { left ( { xi + eta } right ) ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } – { left ( { xi – eta } right ) ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } = frac { 4 } { { sqrt [ large 3 normalsize ] { 4 } } } , ; ; } Rightarrow { { left ( { xi + eta } right ) ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } – { left ( { xi – eta } right ) ^ { large frac { 2 }{ 3 } normalsize } } = { 4 ^ { large frac { 2 } { 3 } normalsize } } . }
end {align*} $$

در نتیجه، معادله گسترنده منحنی هذلولوی را به فرم ضمنی $$fleft( {xi ,eta } right) = 0 $$ داریم.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزشها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد میشوند:

• مجموعه آموزشهای ریاضیات
• آموزش ریاضی عمومی 1 (همراه با حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد)
• مجموعه آموزشهای رایگان ریاضی و فیزیک
• آموزش ریاضی پایه دانشگاهی
• توابع صعودی و نزولی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
• مجانب تابع — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
• توابع محدب و مقعر — از صفر تا صد