مساحت بیضی | به زبان ساده (+ فیلم آموزش رایگان)

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با روش محاسبه مساحت برخی اشکال هندسی مانند دایره، مثلث، مربع، مستطیل، کره، استوانه و ذوزنقه آشنا شدیم. در این آموزش، فرمول محاسبه مساحت بیضی را همراه با حل چند مثال بیان خواهیم کرد.

بیضی چیست؟

«بیضی» (Ellipse) مکان هندسی نقاطی از صفحه است که مجموع فواصل آن‌ها از دو نقطه ثابت در صفحه ثابت است. نقاط ثابت به عنوان کانون‌ (Focus) شناخته می‌شوند که توسط منحنی احاطه شده‌اند.

بیضی توسط دو محور خود در امتداد x و y تعریف می‌شود: محور بزرگ و محور کوچک. محور اصلی بزرگ‌ترین قطر بیضی است، که از مرکز به انتهای دیگر بیضی می‌گذرد. در حالی که محور جزئی کوتاه‌ترین قطر بیضی است و در عریض‌ترین قسمت از مرکز عبور می‌کند.

نیمی از محور اصلی را نیم‌قطر بزرگ (که معمولاً با $$a$$ مشخص می‌شود) و نیمی از محور فرعی را نیم‌قطر کوچک (با $$b$$ مشخص‌ می‌شود) می‌نامند.

معادله بیضی

هنگامی که مرکز بیضی در مبدأ $$(0,0)$$ باشد و کانون‌ها در محور $$x$$ و $$y$$ قرار داشته باشند، در این صورت می‌توانیم معادله بیضی را به راحتی استخراج کنیم.

معادله بیضی با رابطه زیر بیان می‌شود:

$$ large dfrac { x ^ 2 } { a ^ 2 } + dfrac { y ^ 2 } { b ^ 2 } = 1 $$

مساحت بیضی با انتگرال

اکنون، مساحت بیضی به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ large begin {align*} A & = b int _ { arcsin { frac { – a } a } } ^ { arcsin { frac a a } } 2 a sqrt { 1 – frac { ( { a sin theta } ^ 2 } { a ^ 2 } } cos theta d theta =
b int _ { – frac { pi } 2 } ^ { frac { pi } 2 } 2 a sqrt { 1 – sin ^ 2 theta} cos theta d theta
\ & = b int_{-frac {pi} 2}^{frac {pi} 2} 2 a sqrt {cos^2 theta} cos theta d theta = a b int_{-frac {pi} 2}^{frac {pi} 2} 2 cos^2 theta d theta \ & = a b int _ { – frac { pi } 2 } ^ { frac {pi} 2} ({1 + cos {2 theta} } ) d theta = displaystyle a b left [{theta + frac 1 2 sin {2 theta} }right ] _{-frac {pi} 2}^{frac {pi} 2} \
& = a b ( {frac {pi} 2 + frac 1 2 sin ({2 cdot frac {-pi} 2}) – frac {-pi} 2 – frac 1 2 sin ( {2 cdot frac {pi} 2})) } \ & = a b ( {2 cdot frac {pi} 2 + 2 cdot frac 1 2 cdot 0}) = pi a b
end {align*} $$

فرمول مساحت بیضی

فرض کنید اندازه نیم‌قطر بزرگ یک بیضی برابر با $$ a $$ و نیم‌قطر کوچک آن $$ b $$ باشد.

فرمول مساحت بیضی به صورت زیر است:

$$ large boxed { A = pi a b } $$

همان‌طور که می‌بینیم، اگر دو نیم‌قطر برابر باشند، فرمول مساحت، همان فرمول مساحت دایره خواهد شد.

مثال های مساحت بیضی

در این بخش چند مثال را از مساحت بیضی حل می‌کنیم.

مثال اول مساحت بیضی

مساحت بیضی زیر را به دست آورید.

حل: با توجه به داشتن $$ a = 9.5; text{in}$$ و $$5.5; text{in}$$، مساحت بیضی به صورت زیر به دست می‌آید:

$$ large A = pi ab=3.14times 9.5times 5.5 = 164.065 ; text{in} ^2 $$

مثال دوم مساحت بیضی

مساحت بیضی شکل زیر را به دست آورید.

حل: در شکل بالا، $$a = 6 $$ و $$ b = 2 $$ است. بنابراین، مساحت بیضی به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$ large A = pi ab=3.14times 6times 2 = 37.68 $$

مثال سوم مساحت بیضی

مساحت یک بیضی برابر با ۵۰٫۲۴ سانتی‌متر مربع است. اگر نیم‌قطر بزرگ ۶ واحد بزرگ‌تر از نیم‌قطر کوچک باشد، شعاع بزرگ و کوچک را به دست آورید.

حل: نیم‌قطر کوچک را $$ x $$ در نظر می‌گیریم و در نتیجه، نیم‌قطر بزرگ $$ x + 6 $$ خواهد بود. بنابراین، داریم:

$$ large A = pi ab=3.14times (x+6)times x = 50.24 Rightarrow x^2+6x-16=0 \ large Rightarrow (x+8)(x-2)=0 $$

در نتیجه، جواب‌های $$ x = – 8 $$ و $$ x = 2 $$ را داریم که $$ x = 2 $$ صحیح است. بنابراین، اندازه دو نیم‌قطر ۲ و ۸ هستند.

معرفی فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه ۱) فرادرس

برای آشنایی بیشتر با چندضلعی‌ها و محاسبه مساحت و محیط آن‌ها، پیشنهاد می‌کنیم به فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه ۱) مراجعه کنید که توسط فرادرس تهیه شده است. این آموزش ویدیویی که مدت زمان آن ۴ ساعت و ۳ دقیقه است، در چهار درس تهیه شده است.

در درس اول این آموزش، موضوعات ترسیم‌های هندسی و استدلال بیان شده‌اند. مباحث درس دوم، به قضیه تالس و تشابه مثلث‌ها و کاربردهای آن‌ها اختصاص یافته است. در درس سوم، مباحث مربوط به چندضلعی‌ها و ویژگی‌هایی از آن‌ها و همچنین، مساحت و کاربردهای آن مورد بیان شده است. در نهایت، موضوع درس چهارم، تجسم فضایی است که خط، نقطه و صفحه و همچنین تفکر تجسمی را شامل می‌شود.

• برای مشاهده فیلم آموزش هندسه پایه دهم (هندسه ۱) + اینجا کلیک کنید.

برای یادگیری اشکال مختلف هندسی و محاسبه محیط، مساحت و حجم آن‌ها، توصیه می‌کنیم آموزش‌های مجله فرادرس را که در این زمینه تهیه شده‌اند، مطالعه کنید:

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش‌دانشگاهی
• آموزش هندسه پایه دهم (هندسه ۱)
• مجموعه آموزش‌های دروس ریاضیات
• آموزش فیزیک پایه یازدهم
• چرتکه چیست ؟ — به زبان ساده
• قاعده چیست ؟ | قاعده در اشکال هندسی به زبان ساده
• اعداد با توان کسری | به زبان ساده