خرید بک لینک

درباره سایت

مطالب درسی

آخرین مطالب

امکانات وب

پاسخنامهٔ تشریحی آزمون ورودی مدارس سمپاد و نمونه دولتی – پرسش ۷۶

آزمون ورودی تیزهوشان و نمونه دولتی. ۱۱ خرداد ۹۷. پرسش ۷۶. شعاع هر هفت دایرهٔ کوچک در شکل زیر، برابر ۱ است. دایرهٔ بزرگ، از نقطههای مماس شدن دایرههای کوچک میگذرد. شعاع دایرهٔ بزرگ چقدر است؟

۱) ۲
۲) $dfrac{3}{2}$
۳) $sqrt{5}$
۴) $sqrt{3}$

این مسئله را میتوان با استفاده از تقارن موجود در شکل بهسادگی (ولی بدون استدلال دقیق هندسی) حل کرد.
اما راهحلی که در زیر نوشتهایم، از نظر استدلالی، تقریباً کامل است.

راهنمای حل

میخواهیم شعاع دایرهٔ بزرگ یا طول پارهخط سبزِ شکل زیر را بهدست آوریم.

برای پیدا کردن طول پارهخط سبز، فقط به سه دایره نیاز داریم. (سه دایرهٔ پرُرنگِ شکل زیر)

مرکزهای این سه دایره و محل برخورد آنها را بهصورت زیر نامگذاری میکنیم.

در ادامهٔ راهحل، نیاز است که درستی جملهٔ زیر را پذیرفته باشیم.

«اگر دو دایره با یکدیگر مماس باشند و مرکز این دو دایره را با یک پارهخط بههم وصل کنیم، نقطهٔ تماس دو دایره، روی پارهخط رسم شده قرار دارد.»

چرا جملهٔ بالا درست است؟

فرض کنید دو دایره به مرکزهای $M$ و $N$ در نقطهٔ $P$ با یکدیگر مماس باشند و خط $ell$ در نقطهٔ $P$ بر این دو دایره مماس باشد.

اگر ثابت کنیم زاویهٔ $MPN$ برابر ۱۸۰ درجه است، آنگاه نشان دادهایم که سه نقطهٔ $M$، $P$، و $N$ روی یک خط قرار دارند.

بنابه قضیهٔ شعاع و مماس، خط $ell$ بر $MP$ و $NP$ عمود است. پس
[begin{split}
Mwidehat{P}N&=Mwidehat{P}ell+ellwidehat{P}N\
&=90^circ+90^circ\
&=180^circ
end{split}]


بنابراین در شکل زیر، نقطههای $D$، $E$، و $F$ بهترتیب روی پارهخطهای $AB$، $BC$، و $CA$ قرار دارند.

بنابه فرض مسئله، شعاع دایرههای کوچک برابر ۱ است. پس مثلث $ABC$ یک مثلث متساویالاضلاع با طول ضلع ۲ است و $AE$ میانهٔ این مثلث است. از طرفی، میدانیم در مثلث متساویالاضلاع، میانه و ارتفاع رسم شده از یک رأس برهم منطبقاند(؟). پس شعاع دایرهٔ بزرگ برابر $sqrt{3}$ است. (چرا؟)

برای پیدا کردن شعاع دایرهٔ بزرگ کافی است ارتفاع مثلث $ABC$، یعنی طول $AE$ را پیدا کنیم.
بابهکارگیری قضیهٔ فیثاغورس در مثلث $ABE$ داریم:
[begin{split}
&AE^2+BE^2=AB^2\
&Rightarrow AE^2=AB^2-BE^2\
&Rightarrow AE^2=2^2-1^2\
&Rightarrow AE^2=4-1\
&Rightarrow AE^2=3\
&Rightarrow AE=sqrt{3}
end{split}]

بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

برچسب: نویسنده: خنجی تاريخ: دوشنبه 18 تير 1397 ساعت: 15:30

صفحه بندی

آرشیو مطالب

پيوندهای روزانه

لینک دوستان

خبرنامه