خرید بک لینک

درباره سایت

مطالب درسی

آخرین مطالب

امکانات وب

پاسخنامهٔ تشریحی آزمون ورودی مدارس سمپاد و نمونه دولتی – پرسش ۸۵

آزمون ورودی تیزهوشان و نمونه دولتی. ۱۱ خرداد ۹۷. پرسش ۸۵. مطابق شکل زیر، سعید میخواهد از گوشهٔ زمین به حسین پاس بدهد تا حسین، توپ را به تیر دروازه بزند. حسین، از فاصلهٔ ۵ متری خط دروازه، در چه فاصلهای از سعید بایستد تا توپ در مجموع کوتاهترین مسیر ممکن را طی کند؟ (می دانیم عرض این زمین فوتبال ۴۰ متر و طول دروازه ۸ متر است.)
۱) ۶ متر
۲) ۸ متر
۳) ۱۲ متر
۴) ۱۳ متر

نقد مسئله

ایدهٔ یافتن کوتاهترین مسیر که در طراحی این مسئله بهکار رفته، ایدهٔ معروفی است. این ایده در یکی از مسائل کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم سمپاد (مسئلهٔ ۸ صفحهٔ ۹۷) استفاده شده است؛ و در کتابهای تکمیلی فقط در همین مسئله، ایدهٔ کوتاهترین مسیر بهکار گرفته شده است. برای دیدن راهنمای حل مسئله ۸ صفحهٔ ۹۷ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم، اینجا را کلیک کنید.
در کتابهای درسی دورهٔ اول متوسطه، در هیچ مسئلهای ایدهٔ کوتاهترین مسیر وجود ندارد.
اما در کتاب هندسه یازدهم (صفحههای ۵۳، ۵۴، و ۵۵) بخشی با عنوان «مسائل پیدا کردن کوتاهترین مسیر» وجود دارد و در این بخش کتابِ هندسهٔ یازدهم، این ایده تشریح شده است.

آیا در دفترچه راهنمای ثبتنام آزمون مدارس سمپاد و نمونه دولتی، کتاب هندسهٔ یازدهم بهعنوان منبع آزمون معرفی شده است؟!

راهنمای حل

قبل از خواندن راهحل این مسئله، راهنمای حل مسئلهٔ ۸ صفحهٔ ۹۷ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم را دقیق بخوانید.

از محل ایستادن حسین، خطی موازی با خط دروازه رسم میکنیم (خط زرد در شکل زیر). فاصلهٔ همهٔ نقاط روی خط زرد از خط دروازه برابر ۵ متر است.(؟) از تیر دروازه خطی بر خط دروازه عمود کردهایم؛ این عمود، خط زرد را در نقطهٔ $P$ قطع کرده است.

واضح است نقاطی از خط زرد که در سمت چپ نقطهٔ $P$ قرار دارند، جواب مسئله نیستند.(؟)

در واقع باید نقطهای روی خط زرد را بیابیم که مجموع طول پارهخطهای صورتی و آبی در ویدئوی زیر کمترین مقدار ممکن باشد.

دانلود ویدئو

تیر دروازه را $T$ مینامیم. پارهخط $TP$ را از طرف $P$ بهاندازهٔ خودش امتداد میدهیم و نقطهٔ حاصل را $K$ مینامیم. جای سعید (نقطهٔ کرنر) را $S$ و محل برخورد پارهخط $SK$ با خط زرد را $H$ مینامیم.
طول پارهخط $KS$ کوتاهترین فاصلهٔ بین نقاط $K$ و $S$ است. اگر ثابت کنیم $HK=HT$، آنگاه نقطهٔ $H$ طوری روی خط زرد انتخاب شده است که $SH+HT$ کمترین مقدار ممکن باشد.(؟) برای پیدا کردن فاصلهٔ حسین از سعید (طول $HS$)، ابتدا طول $KS$ را بهدست میآوریم و سپس ثابت میکنیم که طول $KS$ دوبرابر طول $HS$ است.

مثلث $STK$ قائمالزاویه است ($Kwidehat{T}S=90^circ$)، $KT=10$، و $ST=24$. (چرا؟)

خودمان پارهخط $PT$ را به اندازهٔ خودش امتداد دادیم تا نقطهٔ $K$ بهدست آید. چون $PT=5$(؟) پس $KT=10$.
خومان خط $PT$ را عمود بر خط دروازه رسم کردیم! پس $Kwidehat{T}S=90^circ$.
بنابه فرض مسئله، عرض زمین فوتبال ۴۰ متر و طول دروازه ۸ متر است. اگر وسط دروازه وسط عرض زمین فوتبال باشد (که باید اینگونه باشد)، آنگاه:
[ST=frac{40}{2}+frac{8}{2}=24]


با بهکارگیری قضیهٔ فیثاغورس در مثلث $STK$ داریم:
[KS=26quad (1)]
(چرا؟)

[begin{split}
&KS^2=KT^2+ST^2\
&Rightarrow KS^2=10^2+24^2\
&Rightarrow KS^2=big(2times 5big)^2+big(2times 12big)^2\
&Rightarrow KS^2=2^2times 5^2+2^2times 12^2\
&Rightarrow KS^2=2^2big(5^2+12^2big)\
&Rightarrow KS^2=2^2(25+144)\
&Rightarrow KS^2=2^2(169)\
&Rightarrow KS^2=2^2times 13^2\
&Rightarrow KS^2=(2times 13)^2\
&Rightarrow KS^2=2times 13\
&Rightarrow KS=26
end{split}]


دو مثلث $HPK$ و $HPT$ همنهشتاند. (چرا؟)

$PK=PT$(؟).
$HP=HP$.
$Hwidehat{P}K=Hwidehat{P}T=90^circ$(؟).

پس
[begin{split}
&HK=HTquad(2)\
&Hwidehat{K}P=Hwidehat{T}P=x
end{split}]
حال اگر قرار دهیم $Kwidehat{S}T=y$، آنگاه:
[x+y=90^circquad(3)]
(چرا؟)

بنابه قضیهٔ مجموع زاویههای مثلث (در مثلث $KST$) داریم:
[begin{split}&Kwidehat{S}T+Swidehat{T}K+Twidehat{K}S=180^circ\
&Rightarrow y+90^circ+x=180^circ\
&Rightarrow y+x=180^circ-90^circ\
&Rightarrow y+x=90^circ
end{split}]

پس
[Hwidehat{T}S=yquad(4)]
(چرا؟)

چون $Kwidehat{T}S=90^circ$، پس
[begin{split}
&Kwidehat{T}H+Hwidehat{T}S=Kwidehat{T}S\
&Rightarrow x+Hwidehat{T}S=90^circ
end{split}]
باتوجهبه رابطهٔ بالا و رابطهٔ (۳) داریم:
[left.begin{split}
x+Hwidehat{T}S=90^circ\
x+y=90^circ
end{split}right}Rightarrow Hwidehat{T}S=y]



بنابراین
[HT=HSquad(5)]
(چرا؟)

مثلث $HST$ دو زاویهٔ برابر دارد:
[Hwidehat{S}T=Hwidehat{T}S=y]
پس بنابه عکس قضیهٔ مثلث متساویالساقین داریم:
[HT=HS]


از رابطههای (۲) و (۵) داریم $HK=HS=HT$. یعنی $KS$ دوبرابر $HS$ است. از طرفی، بنابه رابطهٔ (۱) داریم $KS=26$؛ پس $HS=13$. بنابراین گزینهٔ ۴ درست است.

ایرادهای فوتبالی مسئله!

عرض زمین فوتبال حداقل ۴۵ متر است.
فاصلهٔ حسین از خط دروازه ۵ متر است. پس باتوجهبه ابعاد محوطهٔ دروازهبان (محوطهٔ ۶ قدم)، جایگاه حسین در شکل، درست نیست.
طول دروازهٔ فوتبال ۷ متر و ۳۲ سانتیمتر است.

برای کسب اطلاعات بیشتر دربارهٔ زمین فوتبال، اینجا را کلیک کنید.

برچسب: نویسنده: خنجی تاريخ: دوشنبه 18 تير 1397 ساعت: 15:30

صفحه بندی

آرشیو مطالب

پيوندهای روزانه

لینک دوستان

خبرنامه