هشتم. فصل ۳. زاویه‌های داخلی و خارجی. تمرین ۷

یکی از ضلع‌های هر رأس $n$‌ضلعی محدب را امتداد می‌دهیم. بنابراین روی هر رأس یک زاویهٔ ۱۸۰ درجه خواهیم داشت. قسمتی از هریک از این زاویه‌ها، زاویهٔ داخلی, $n$ضلعی محدب و قسمت دیگر آن، زاویهٔ خارجی, $n$ضلعی محدب است. واضح است که مجموع این زاویه‌های ۱۸۰ درجه برابر است با:
[ntimes 180^circ.]
چون مجموع زاویه‌های داخلی $n$ضلعی محدب برابر $(n-2)times 180^circ$ است، پس مجموع زاویه‌های خارجی, $n$ضلعی محدب برابر است با:
[begin{aligned}&ntimes 180^circ-(n-2)times 180^circ\&=ntimes 180^circ-big(ntimes 180^circ-360^circbig)\&=ntimes 180^circ-ntimes 180^circ+360^circ\&=360^circ.end{aligned}]

برای مثال، روش بالا روی هفت‌ضلعی زیر اجرا شده است.

مجموع زاویه‌های خارجی, هفت‌ضلعی (زاویه‌های مشخص شده در شکل بالا) برابر است با:
[7times 180^circ-5times 180^circ=2times 180^circ=360^circ.]