هشتم. فصل ۴. معادله. تمرین ۲۴

۸. ۴. ۴. ۲۴. هومن پول‌‌هایش را جمع می‌کند تا رایانه‌ای $5,400,000$ تومانی بخرد.
الف) وقتی شروین از هومن پرسید: «چقدر پول جمع کرده‌ای؟» هومن گفت: «اگر یک‌پنجم بیشتر از پول الانم را داشتم، یک‌چهارم کمتر از پولی که برای خرید رایانه لازم دارم، نیاز داشتم.»
ب) وقتی بهمن از هومن پرسید: «چقدر پول جمع کرده‌ای؟» هومن گفت: «اگر یک‌پنجم بیشتر از پول الانم داشتم، هنوز سه‌چهارم از پولِ خرید رایانه را نیاز داشتم.»
باتوجه به متن بالا آیا می‌توان گفت هومن راستگو نیست؟!

راهنمای حل

الف) اگر مقدار پولی که هومن جمع کرده است، $x$ نومان، و مقدار پولی که برای خرید رایانه لازم دارد، $y$ تومان باشد، آنگاه واضح است که:
[x+y=5,400,000.quad (star)]
«یک‌پنجم بیشتر از پول الان» یعنی:
[Big(1+frac{1}{5}Big)x=frac{6}{5}x.]
جملهٔ «$frac{1}{4}$ کمتر از پولی که برای خرید رایانه لازم دارم» یعنی:
[Big(1-frac{1}{4}Big)y=frac{3}{4}y.]
بنابراین، برای جملهٔ «اگر یک‌پنجم بیشتر از پول الانم را داشتم، یک‌چهارم کمتر از پولی که برای خرید رایانه لازم دارم، نیاز داشتم»، می‌توانیم یک معادله, به‌صورت زیر بسازیم:
[frac{6}{5}x+frac{3}{4}y=5,400,000.]
از طرفی، بنابه رابطهٔ $(star)$ داریم $y=5,400,000-x$. پس:
[begin{aligned}&frac{6}{5}x+frac{3}{4}y=5,400,000\[6pt]&Rightarrow frac{6}{5}x+frac{3}{4}(5,400,000-x)=5,400,000\[6pt]&Rightarrow frac{6}{5}x+frac{3}{4}times 5,400,000-frac{3}{4}x=5,400,000\[6pt]&Rightarrow frac{6}{5}x-frac{3}{4}x=5,400,000-frac{3}{4}times 5,400,000\[6pt]&Rightarrow frac{24}{20}x-frac{15}{20}x=Big(1-frac{3}{4}Big)times 5,400,000\[6pt]&Rightarrow frac{9}{20}x=frac{1}{4}times 5,400,000\[6pt]&Rightarrow x=frac{1}{4}times 5,400,000times frac{20}{9}\[6pt]&Rightarrow x=3,000,000.end{aligned}]

ب) فرض کنیم مقدار پولی که هومن جمع کرده است، $x$ نومان باشد. «یک‌پنجم بیشتر از پول الان» یعنی:
[Big(1+frac{1}{5}Big)x=frac{6}{5}x.]
«سه‌چهارم از پول خرید رایانه» یعنی:
[frac{3}{4}times 5,400,000.]
بنابراین، برای جملهٔ «اگر یک‌پنجم بیشتر از پول الانم داشتم، هنوز سه‌چهارم از پولِ خرید رایانه را نیاز داشتم»، می‌توانیم یک معادله به‌صورت زیر بسازیم و آن را حل کنیم.
[begin{aligned}&frac{6}{5}x+frac{3}{4}times 5,400,000=5,400,000\&Rightarrow frac{6}{5}x=5,400,000-frac{3}{4}times 5,400,000\&Rightarrow frac{6}{5}x=Big(1-frac{3}{4}Big)times 5,400,000\&Rightarrow x=frac{1}{4}times 5,400,000times frac{5}{6}\&Rightarrow x=1,125,000.end{aligned}]