فضای توپولوژیک در ریاضیات — به زبان ساده

یکی از مفاهیم مهم و پایه‌ای در ریاضیات مدرن، «توپولوژی» (Topology) و «فضای توپولوژیک» (Topological Space) است. در اصل توپولوژی شاخه‌ای از ریاضیات است که به مجموعه‌ها و نقاط و اعضای درون مجموعه پرداخته و روابط بین آن‌ها را مورد تحلیل قرار می‌دهد. به این ترتیب به کمک توپولوژی، مفاهیم دیگری مانند پیوستگی، همگرایی و … تبین خواهند شد. در این نوشتار ابتدا به مفهوم فضا (Space) و فضای توپولوژیک در ریاضیات خواهیم پرداخت و در ادامه براساس مثال‌هایی، مفاهیم جدیدی که بر اساس این اصول و تعاریف ساخته می‌شوند را معرفی خواهیم کرد.

هر چند بیشتر مفاهیم مربوط به توپولوژی ساده و قابل فهم است ولی برای آشنایی با اصطلاحات به کار رفته در این متن بهتر است ابتدا نوشتارهای مجموعه باز و بسته در ریاضیات — به زبان ساده و فضای متریک و نامساوی مثلثی — به زبان ساده را بخوانید. همچنین خواندن مطالب مجموعه ها در ریاضیات – مفاهیم پایه و اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه ها — به زبان ساده  نیز خالی از لطف نیست. به این ترتیب موضوعات مرتبط با توپولوژی و فضای توپولوژیک در ریاضیات برایتان قابل فهم‌تر خواهد شد.

فضای توپولوژیک در ریاضیات

ابتدا نظری به تاریخچه و نحوه پیدایش توپولوژی خواهیم داشت. در حدود سال ۱۷۳۵ میلادی، «لئونهارد اویلر» (Leonhard Euler) دانشمند و ریاضی‌دان آلمانی به قاعده و قضیه مرتبط با نظریه گراف‌ها (Graph Theory) رسید و مدعی شد که بین تعداد راس‌ها ($$ V $$)، تعداد یال‌ها ($$ E $$) و همینطور سطوح محصور بین آن‌ها ( $$ F $$ ) رابطه زیر برقرار است.

$$ large { displaystyle V – E + F = 2 } $$

تحقیق و توسعه مبحث گراف‌ها توسط «آگوستین کوشی» (Agustin Cauchy)، ریاضی‌دان فرانسوی، و دیگران باعث بوجود آمدن هسته اصلی شاخه جدیدی در ریاضیات به نام «توپولوژی» (Topology) شد که در آن ریاضیات و هندسه به یکدیگر پیوند خوردند.

به این ترتیب با ورود مفاهیم هندسه «اقلیدسی» (Euclidean Geometry) و «نااقلیدسی» (Non-Euclidean Geometry) به درون نظریه مجموعه‌ها، فضای توپولوژیک در ریاضیات مدرن بوجود آمد. در این بین دانشمندان زیادی مانند «برنارد ریمان» (Bernhard Riemann)، «فردیناند موبیوس» (August Ferdinand Möbius) ریاضی‌دان‌های آلمانی و «کامیل جردن» (Camille Jordan) ریاضی‌دان فرانسوی در اوایل قرن نوزدهم، نقش مهمی در اشاعه و ترویج توپولوژی داشتند.

در ادامه این متن، ابتدا به مفهوم فضا و زیر فضا پرداخته و سپس تعریفی از توپولوژی ارائه می‌کنیم. سپس فضای توپولوژیک در ریاضیات را به واسطه مثال‌هایی مورد بررسی قرار می‌دهیم.

فضا و زیرفضا در ریاضیات

اغلب منظور از فضا (Space) در ریاضیات به خصوص در زمانی که با مقادیر حقیقی سر و کار داریم، مجموعه سه تایی مرتب $$ (x,y,z) $$ است که بیانگر یک نقطه در فضای سه بُعدی است. ولی ممکن است این نقاط فقط به صورت عددی نبوده و هر شیئ از یک مجموعه را نمایش دهند. در نتیجه می‌توان فضا را در حالت کلی، مجموعه‌ای از نقاط در نظر گرفت که یک یا چند رابطه بین نقاط آن قابل تعریف باشد.

برای مثال فضای متریک (Metric Space)، به مجموعه‌ای از نقاط با مقادیر حقیقی گفته می‌شود که مثلا فاصله اقلیدسی بین هر یک از نقاط آن رابطه بین اعضای آن را مشخص می‌کند.

البته باید به یاد داشت که فضا به عنوان یک تعریف در ریاضیات نزد همه ریاضی‌دان‌ها یکسان نیست و به حوزه مورد بحث وابسته است. در نتیجه در اینجا فقط مثال‌هایی از فضا ارائه خواهیم کرد که به توپولوژی وابسته هستند. فضاهای مورد استفاده در ریاضیات مدرن بطور معمول طبق فهرست زیر هستند.

• فضای متریک (Metric Space)
• فضای منیفولد (Manifolds Space)
• فضای باناخ (Banach Space)
• فضای هیلبرت (Hilbert Space)
• …

البته در هر یک از این فضاها، رابطه بین نقطه‌ها (اعضای مجموعه‌ها) به شکل متفاوتی در نظر گرفته می‌شود. توجه داشته باشید که هر زیر مجموعه‌ای از فضاهای ارائه شده، یک «زیرفضا» (Subspace) نامیده می‌شود، به شرطی که رابطه به کار رفته در فضا نیز برایشان صادق باشد. در تصویر زیر ارتباط بین «فضاهای توپولوژی» (Topological Spaces)، «فضاهای متریک» (Metric Spaces)، «فضاهای نرم‌دار برداری» (Normed Vector Spaces) و «فضای ضرب داخلی» (Inner product Spaces) دیده می‌شود.

تعریف توپولوژی عمومی

در توپولوژی عمومی (General Topology) به مفهوم مجموعه و خصوصیات آن پرداخته می‌شود. گاهی به توپولوژی عمومی، «توپولوژی نقطه-مجموعه» (Point-set Topology) نیز گفته می‌شود. در این قسمت توپولوژی عمومی را معرفی می‌کنیم.

فرض کنید $$ X $$ یک مجموعه باشد. همچنین خانواده‌ای از زیرمجموعه‌های $$ X $$ را به صورت «گردایه» (Collection) با نماد $$ t $$ در نظر بگیرید. آنگاه $$ t $$ را یک توپولوژی گویند اگر خصوصیات زیر را داشته باشد:

• هر دو مجموعه $$ emptyset $$ (مجموعه تهی) و $$ X $$ از اعضای $$ t $$ باشند.
• اجتماع هر تعداد از اعضای $$ t $$، عضوی از $$ t $$ باشد.
• اشتراک متناهی از اعضای $$ t $$ نیز عضوی از $$ t $$ باشد.

برای مثال مجموعه تک عضوی $$S={1}$$ را در نظر بگیرید. اگر همه زیر مجموعه‌های آن را $$t$$‌ بنامیم، آنگاه $$t$$ یک توپولوژی خواهد بود زیرا مجموعه تهی و خود $$ S $$ زیرمجموعه‌های $$S$$ بوده و در $$t$$ قرار دارند. از طرفی اشتراک و اجتماع زیر مجموعه‌های آن نیز درون خود $$ t $$ خواهند بود.

به عنوان مثال دیگر، همه «فاصله‌های باز» (Open Intervals) مجموعه اعداد حقیقی ($$ R $$)  به همراه مجموعه تهی، یک توپولوژی می‌سازند. زیرا $$emptyset $$ و خود مجموعه اعداد حقیقی $$ R $$ زیر مجموعه‌ای از اعداد حقیقی هستند. در حقیقت این مجموعه‌های باز (Open sets) یک «مجموعه بورل» (Borel Set) از اعداد حقیقی هستند که «سیگما-میدانی» ($$sigma$$-field) از اعداد حقیقی محسوب می‌شوند.

می‌توان ادعا کرد که اعضای توپولوژی $$ t $$ همگی مجموعه‌های باز هستند (البته نسبت به مجموعه $$ X $$) به این ترتیب می‌توان گفت که مجموعه‌ای از $$X$$، بسته (Closed) است اگر متمم آن عضوی از توپولوژی $$ t $$ باشد. به این ترتیب یک تعریف دیگر از مجموعه بسته (Closed Set) ارائه می‌شود.

نکته: به یاد دارید که تهی و مجموعه مرجع، یک مجموعه باز (Open Set) در نظر گرفته شدند. البته هم‌زمان این دو مجموعه بسته هم هستند به همین دلیل گاهی به آن‌ها Clopen (باز-بسته) می‌گویند.

مثال

1. مجموعه $$ X={1,2,3,4} $$ و گردایه $$ t={{}, {1,2,3,4}} $$ که از دو زیرمجموعه صریح $$ X $$ تشکیل شده، یک توپولوژی روی $$ X $$ هستند که به «توپولوژی بدیهی» (Trivial Topology) از $$ X $$ مشهور است. به این ترتیب $$ (X , t) $$ یک فضای توپولوژیکی در ریاضیات است.
   
2. براساس مجموعه $$X={1,2,3,4}$$، گردایه $$ t = { { } ,{ 2 } , { 1 , 2 } , { 2 , 3 } , { 1 , 2 , 3 },{ 1 , 2 , 3 , 4 } } $$ که شش زیر مجموعه از $$ X $$ هستند، تشکیل یک توپولوژی را می‌دهد.
3. مجموعه $$ X={1,2,3,4} $$ با $$ t = { {},{3,4},{1,2} $$ تشکیل یک توپولوژی نمی‌دهند، زیرا مجموعه $$ X $$ در آن حضور ندارد.
4. مجموعه توانی $$ X = {1,2,3,4} $$ به صورت $$ t = P(X) $$ یک توپولوژی و زوج $$ (X , t) $$ یک فضای توپولوژیک در ریاضیات است.

مجموعه توانی (Power Set) از $$X$$ همیشه تشکیل یک توپولوژی روی $$X$$ را می‌دهد و به آن «توپولوژی گسسته» (Discreet Topology) می‌گویند. به یاد دارید که منظور از مجموعه توانی $$A$$، گردایه‌ای است که از همه زیر مجموعه‌های آن تشکیل شده است.

نکته: توجه داشته باشید که گردایه‌هایی که در تصاویر زیر دیده می‌شوند، براساس $$X={1,2,3}$$، تشکیل توپولوژی نمی‌دهند.

در تصویر بالا، از آنجایی که $$t={ {1,2},{2,3}}$$ است و اشتراک دو عضو آن در $$t$$‌ نیست، $$t$$ یک توپولوژی نخواهد بود.

$$ large t = { { 1,2 } ,{ 2,3 } } ; rightarrow ; { 1,2 } cap { 2,3 } = { 2 } not in t $$

همچنین برای $$t={1,{2},{3}}$$ هم خصوصیت اجتماع دو عضو وجود ندارد. در نتیجه $$t$$ توپولوژی نخواهد بود.

$$ large t={1,{2},{3}} rightarrow {2}cup {3} = {2,3} notin t $$

تعریف فضای توپولوژیک در ریاضیات

اگر زوج مرتب $$ ( X , t ) $$ را در نظر بگیریم، به آن یک فضای توپولوژیک در ریاضیات (Topological Space) گویند. گاهی از نماد $$ X_t $$ برای نمایش فضای توپولوژیکی در ریاضیات نیز استفاده می‌شود. به این ترتیب مشخص است که توپولوژی روی مجموعه $$ X $$ اعمال شده است.

هر زیر مجموعه‌ای از فضای توپولوژیکی که حاصل از اشتراک مجموعه‌های باز توپولوژی $$ t $$ باشند، یک زیرفضای توپولوژیکی نامیده می‌شود. واضح است که اعضای این زیرفضا نیز همگی مجموعه‌های باز هستند.

برای بیان ریاضی فضای توپولوژیکی از چند روش استفاده شده است. که در اینجا به سه شیوه اصلی آن اشاره خواهیم کرد. ابتدا مفهوم فضای توپولوژیک را براساس همسایگی (Neighborhood) و سپس براساس مجموعه باز (Open Set) و بسته (Closed Set) معرفی می‌کنیم.

فضای توپولوژیک در ریاضیات براساس همسایگی

یکی از شیوه‌های معرفی فضای توپولوژیک در ریاضیات براساس قضیه «فلیکس هاسدورف» (Felix Hausdorff) ریاضی‌دان آلمانی بنا نهاده شده است که به کمک همسایگی، فضای توپولوژیک در ریاضیات را تعریف می‌کند.

مجموعه $$X$$ را با عناصر آن که از این به بعد به آن‌ها نقطه می‌گوییم، در نظر بگیرید. البته مشخص است که این نقاط می‌توانند هر گونه شیئ در ریاضیات باشند. حتی این امکان نیز وجود دارد که $$X$$، مجموعه تهی باشد.

تابع $$ text{N} $$ را به صورتی در نظر بگیرید که به هر عضوی از $$ X $$، یکی از گردایه‌های $$ text{N}(x) $$ را که تهی نیستند، نسبت می‌دهد. به عناصر $$ text{N} (x) $$ همسایگی $$x$$ نسبت به $$ text{N} $$ گفته می‌شود (به طور خلاصه گاهی به آن همسایگی $$x$$ نیز می‌گویند).

تابع $$ text {N} $$ را یک توپولوژی همسایگی گویند اگر در شرایط زیر صدق کند. در این صورت $$ X $$ و $$ text{N} $$ را فضای توپولوژیک در ریاضیات می‌نامند.

1. اگر $$ N $$ یک همسایگی از $$ x $$ باشد، (یعنی $$N in text{N}(x)$$)، آنگاه $$ x in N $$ باشد. به بیان دیگر $$x $$ یکی از نقاط همسایگی خودش باشد.
2. اگر $$N$$ یک زیرمجموعه از $$ X $$ باشد که شامل یک همسایگی از $$x$$ است، آنگاه $$N$$ هم یک همسایگی از $$ x $$ خواهد بود. یعنی هر بالامجموعه (Superset) از همسایگی $$ x $$ درون $$X$$ یک همسایگی دیگر از $$ x $$ است.
3. اشتراک دو همسایگی از $$ x $$ یک همسایگی از $$ x $$ ایجاد می‌کند.
4. هر همسایگی $$ N $$ از $$ x $$ شامل یک همسایگی $$ M $$ از $$ x $$ است بطوری که $$ N $$ همسایگی هر یک از نقاط $$ M $$ است.

نکته: اگر $$ A $$ زیر مجموعه $$ B $$ باشد آنگاه $$ B $$ را ابرمجموعه $$ A $$ می‌نامند و به صورت زیر نشان می‌دهند.

$$ large A subseteq B rightarrow B supseteq A $$

شرط‌های ۱ تا ۳ که بسیار واضح هستند. شرط چهارم یکی از شرط‌های مهم برای ساختار تئوریک فضای توپولوژیک در ریاضیات است. به این ترتیب ارتباط بین همسایگی بین نقاط مجزا از $$X$$ تعیین می‌شود.

یک مثال استاندارد برای تعریف ارائه شده برمبنای همسایگی، خط اعداد حقیقی ($$ R $$) است. بطوری که $$ N $$ به عنوان زیرمجموعه از $$ R $$ به صورت یک همسایگی حول $$x$$ از اعداد حقیقی یا یک فاصله باز شامل خود $$x$$ تعریف شده است.

با ساختار ارائه شده توسط این چهار شرط، زیرمجموعه‌ای از $$ X $$ مانند $$ U $$ را باز می‌گویند اگر $$ U $$ شامل همه نقاط همسایگی $$ U $$ باشد. به این ترتیب براساس گردایه‌ای از مجموعه‌های باز با شرط‌هایی که در ادامه گفته خواهد شد می‌توان یک فضای توپولوژیک در ریاضیات ایجاد کرد.

برعکس اگر مجموعه‌های باز یک توپولوژی در اختیارمان قرار داشته باشد، یک همسایگی که در شرایط بالا صدق کند وجود خواهد داشت که شامل مجموعه باز مانند $$ U $$ است بطوری که $$ x in U $$ است.

فضای توپولوژیک در ریاضیات براساس مجموعه باز

این بار به کمک زیرمجموعه‌های باز از مجموعه $$ X $$، فضای توپولوژیک در ریاضیات را معرفی می‌کنیم. زوج مرتب $$ (X,t) $$ که در آن $$ X $$ یک مجموعه و $$ t $$ یک گردایه از زیرمجموعه‌های $$ X $$ است تحت شرایط زیر یک فضای توپولوژیک خواهد بود.

• مجموعه تهی و خود $$ X $$ در $$ t $$‌ قرار داشته باشند.
• اجتماع دلخواهی از اعضای $$ t $$ (متناهی یا نامتناهی) نیز متعلق به مجموعه $$ t $$ باشد.
• هر اشتراک متناهی از اعضای $$ t $$ درون $$ t $$ باشند.

به این ترتیب، اعضای مجموعه $$ t $$ همگی مجموعه‌های باز بوده و $$ t $$ را یک توپولوژی روی $$ X $$ می‌نامند.

نکته: گردایه $$ t $$ که از $$ X $$ و $$ emptyset $$ تشکیل شده است، فضای توپولوژیک بدیهی نامیده می‌شود.

فضای توپولوژیک در ریاضیات براساس مجموعه بسته

به کمک قانون دمورگان (de Morgan Laws) برای مجموعه‌ها، قضیه مربوط به فضای توپولوژی براساس مجموعه باز (Open Set) را به مجموعه بسته (Close Set) نیز می‌توان به کار بست،‌ زیرا روابط زیر برای مجموعه‌های بسته برقرار است.

• مجموعه تهی ($$ emptyset $$) و $$ X $$ مجموعه‌های بسته هستند.
• اشتراک مجموعه‌های بسته، بسته خواهد بود.
• اجتماع متناهی از مجموعه‌های بسته، بسته است.

به این ترتیب فضای توپولوژیک در ریاضیات به کمک مجموعه بسته به صورت زیر تعریف می‌شود.

مجموعه $$ t $$ که از همه زیرمجموعه‌های بسته $$ X $$ به همراه $$ X $$ و $$ emptyset $$، تشکیل شده است، یک فضای توپولوژی ایجاد می‌کند.

دوره آموزش ویدیویی مبانی توپولوژی عمومی

خوشبختانه یکی از آموزش‌های فرادرس در شاخه ریاضیات به توپولوژی و فضای توپولوژیک اختصاص دارد. در این آموزش ویدیویی با عنوان آموزش مبانی توپولوژی عمومی با موضوعات مختلفی در این حوزه آشنا خواهید شد.

در درس اول این آموزش فضاهای توپولوژیک معرفی شده و قضیه مرتبط با آن ارائه شده است. درس دوم نیز مربوط به توپولوژی اقلیدسی و فضای متریک اقلیدسی است. مبحث نقاط حدی و مجموعه‌های فشرده یا چگال و همسایگی در بخش سوم این آموزش مرور می‌شود. هم‌ریختی فضاهای توپولوژیکی محتویات درس چهارم را تشکیل داده و درس‌های پنجم و ششم، به موضوعاتی نظیر نگاشت‌های پیوسته و فضاهای متریک اختصاص دارد.

خلاصه و جمع‌بندی

در این نوشتار به توپولوژی عمومی، مجموعه‌های باز و بسته و نقش آن‌ها را در تعریف فضای توپولوژیک در ریاضیات پرداختیم. همچنین با ذکر مثال‌هایی فضای توپولوژیک را برای فراگیران و مخاطبین روشن‌تر کردیم. در ریاضیات جدید مجموعه‌ها و مفاهیم مربوط به آن‌ها نظیر فضای توپولوژیک اهمیت زیادی دارد. موضوعاتی مانند پیوستگی (Continuity)، مجموعه‌های فشرده (Compact Sets) و فضاهای اندازه‌پذیر (Measurable Space) براساس این مفاهیم پایه‌ریزی شده‌اند.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، نوشتارهای مرتبط و آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

• مجموعه آموزش‌های ریاضیات
• آموزش مبانی توپولوژی عمومی
• مجموعه آموزش های ریاضی و فیزیک
• مجموعه باز و بسته در ریاضیات — به زبان ساده
• فضای متریک و نامساوی مثلثی — به زبان ساده
• پیوستگی (Continuity) و تابع پیوسته (Continues Function) — به زبان ساده