نمونه سوال انتگرال — همراه با جواب

در آموزشهای قبلی مجله فرادرس با مفهوم انتگرال و روشهای محاسبه آن آشنا شدیم. در این آموزش چند نمونه سوال انتگرال را بررسی میکنیم. این مثالهای متنوع طوری انتخاب شدهاند که روش حل مسئله را بیاموزید و بهترین راهحل را انتخاب کنید. علاوه بر این، برای تسلط بیشتر بر مفاهیم و روشهای مختلف انتگرالگیری توابع مختلف، پیشنهاد میکنیم در صورت لزوم، آموزشهای زیر را مطالعه کنید:

• انتگرال گیری جزء به جزء — به زبان ساده
• روش تغییر متغیر برای حل انتگرال — به زبان ساده
• انتگرال توابع مثلثاتی — از صفر تا صد
• انتگرال توابع گنگ — از صفر تا صد
• انتگرال گیری به روش کسرهای جزئی — از صفر تا صد
• انتگرال توابع هیپربولیک — از صفر تا صد
• انتگرال به روش تغییر متغیر مثلثاتی — به زبان ساده
• انتگرال lnx — به زبان ساده
• انتگرال رادیکالی — به زبان ساده
• انتگرال نامعین — به زبان ساده
• انتگرال معین — از صفر تا صد

فرمول انتگرالهای مقدماتی

فرمولهای زیادی برای محاسبه انتگرل وجود دارد. البته با چند فرمول ساده و مقدماتی میتوان اغلب انتگرالهای دشوار را نیز حل کرد. این انتگرالهای مقدماتی به شرح زیر هستند و در حل مسائل مربوط به انتگرال میتوانید از آنها استفاده کنید:

$$ large begin {aligned}
& int x ^ { alpha} d x = frac { x ^ { alpha + 1 } } { alpha + 1 } + C , x > 0 ; quad text { pro } alpha neq – 1 \
& int frac { 1 } { x } d x = ln | x | + C , x neq 0 quad int e ^ { x } d x = e ^ { x } + C \
& int sin ( x ) d x = – cos ( x ) + C quad int frac { 1 } { cos ^ { 2 } ( x ) } d x = operatorname {tg} ( x ) + C , x neq frac { pi } { 2 } + k pi \
& int cos ( x ) d x = sin ( x ) + C quad quad int frac { 1 } { sin ^ { 2 } ( x ) } d x = – operatorname {cotg} ( x ) + C , x neq k pi \
& int sinh ( x ) d x = cosh ( x ) + C quad int frac { 1 }{ cosh ^ { 2 } ( x ) } d x = operatorname {tgh} ( x ) + C \
& int cosh ( x ) d x = sinh ( x ) + C quad int frac { 1 } { sinh ^ { 2 } ( x ) } d x = – operatorname {cotgh} ( x ) + C , x neq 0 \
& int frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } d x = operatorname {arctg} ( x ) + C quad int frac { 1 } { sqrt { 1 – x ^ { 2 } } } d x = arcsin ( x) + C , x in ( – 1 , 1 )
end {aligned} $$

علاوه بر این، برای دسترسی به فهرست کامل انتگرالهای پرکاربرد میتوانید «تقلب نامه (Cheat Sheet) فرمول های انتگرال» را دانلود کنید.

نمونه سوال انتگرال

در این بخش، چند نمونه سوال مربوط به مبحث انتگرال را حل میکنیم.

مثال ۱

حاصل انتگرال معین زیر را به دست آورید.

$$ large int _ { 4 } ^ { 9 } frac { x + 1 } { x + 2 sqrt { x } – 3 } d x $$

حل مثال ۱: از تغییر متغیر زیر استفاده میکنیم:

$$ large y= sqrt { x } Longrightarrow left { begin {array} { c }
{ d y = frac { 1 } { 2 sqrt { x } } d x Longrightarrow d x = 2 sqrt { x } d y = 2 y d y } \
{ x = y ^ { 2 } Longrightarrow x + 1 = y ^ { 2 } + 1 } \
{ x = 4 mapsto y = 2 } \
{ x = 9 mapsto y = 3 }
end {array} right . $$

بنابراین، انتگرال به صورت زیر در خواهد آمد:

$$ large int _ { 4 } ^ { 9 } frac { x + 1 } { x + 2 sqrt { x } – 3 } d x = int _ { 2 } ^ { 3 } frac { y ^ { 2 } + 1 } { y ^ { 2} + 2 y – 3 } 2 y d y = int _ { 2 } ^ { 3 } frac { 2 y ^{ 3 } + 2 y } { y ^ { 2 } + 2 y – 3 } d y $$

همانطور که میبینیم، انتگرالده یک تابع گویا یا کسری است و به دلیل بزرگتر بودن توان صورت نسبت به مخرج، با استفاده از تقسیم چندجملهایها خارج قسمت و باقیمانده را به دست میآوریم. باقیمانده یک تابع گویا با درجه مخرج بزرگتر از صورت است و آن را به کسرهای جزئی بسط میدهیم:

$$ large begin {aligned}
int _ { 2 } ^ { 3 } frac { 2 y ^ { 3 } + 2 y } { y ^ { 2 } + 2 y – 3 } d y & = int _ { 2 } ^ { 3 } 2 y – 4 + frac { 1 6 y – 1 2 } { ( y – 1 ) ( y + 3 ) } d y \
& = int _ { 2 } ^ { 3 } 2 y – 4 + frac { A } { y – 1 } + 1 5 frac { B } { y + 3 } d y
end {aligned} $$

که در آن، $$ A $$ و $$ B $$ به صورت زیر به دست میآیند:

$$ large begin {array} { l }
{ A = left. frac { 1 6 y – 1 2 } { ( / / / / /)( y + 3 ) } right | _ { y = 1 } = frac { 4 } { 4 } = 1 , quad B = left. frac { 1 6 y – 1 2 } { ( y – 1 ) ( / / / / /) } right | _ { y = – 3 } = frac { – 6 0 } { -4 } = 1 5 } \
{ Longrightarrow int _ { 2 } ^ { 3 } 2 y – 4 + frac { 1 6 y – 1 2 } {( y – 1 ) ( y + 3 ) } d y = int _ { 2 } ^ { 3 } (2 y – 4 + frac { 1 } { y – 1 } + 1 5 frac { 1 } { y + 3 }) d y } end {array} $$

اکنون سه جمله انتگرالده به انتگرالهای مقدماتی تبدیل شدهاند و به راحتی میتوان حاصل انتگرال را به صورت زیر محاسبه کرد:

$$ large begin {array} { l } { int _ { 4 } ^ { 9 } frac { x+ 1 } { x + 2 sqrt { x } – 3 } d x = left [ y ^ { 2 } – 4 y + ln | y – 1 | + 1 5 ln | y + 3 | right ] _ { 2 } ^ { 3 } } \
{ = [ 9 – 1 2 + ln ( 2 ) + 1 5 ln ( 6 ) ] – [ 4 – 8 + 0 + 1 5 ln ( 5 ) ] } \
{ = ln ( 2 ) + 1 5 ln ( 2 ) + 1 5 ln ( 3 ) – 1 5 ln ( 5 ) + 1 } \
{ = 1 6 ln ( 2 ) + 1 5 ln ( 3 ) – 1 5 ln ( 5 ) + 1}
end {array} $$

جواب انتگرال نامعین نیز به صورت زیر است:

$$ large int frac { x + 1 } { x + 2 sqrt { x } – 3 } d x = x – 4 sqrt { x } + ln | sqrt { x } – 1 | + 1 5 ln | sqrt {x } + 3| + C $$

مثال ۲

انتگرال زیر را حل کنید.

$$ large int 2 sin (x) cos ( x ) d x $$

حل مثال ۲: عبارت $$ cos ( x ) d x $$ را میتوانیم به صورت $$ d y $$ در نظر بگیریم. در این صورت خواهیم داشت:

$$ large
begin {aligned}
int 2 sin ( x ) cos ( x ) d x & = left | begin {array} { c }
y = sin ( x ) \
{ d y } = cos ( x ) d x
end {array} right | = int 2 y d y \
& = y ^ { 2 } + C = sin ^ { 2 } ( x )+ C , x in mathbb { R }
end {aligned} $$

یک راه دیگر این است که $$sin ( x ) $$ را همراه با $$ d x $$ برابر با $$ d y $$ فرض کنیم که منجر به جواب زیر میشود:

$$ large int 2 sin ( x ) cos ( x ) d x = – cos ^ { 2 } ( x ) + C , x in mathbb { R } $$

اگر اتحادهای مثلثاتی را به خاطر داشته باشید، احتمالاً به این نکته پی بردهاید که انتگرالده برابر با $$ sin ( 2 x ) $$ است. بنابراین، سومین جواب ممکن انتگرال به شکل زیر محاسبه میشود:

$$ large begin {aligned}
int 2 sin ( x ) cos ( x ) d x & = int sin ( 2 x ) d x = left | begin {array} { c }
{ y = 2 x } \
{ d y } { = 2 d x } \
{ d x } { = frac { 1 } { 2 } d y }
end {array} right | \
& = frac { 1 } { 2 } int sin ( y ) d y = – frac { 1 } { 2 } cos ( y ) + C \
& = – frac { 1 } { 2 } cos ( 2 x ) + C , x in mathbb { R }
end {aligned} $$

نکته جالبی در اینجا وجود دارد. سه جواب مختلف به دست آوردیم که هیچکدام از آنها برابر نیستند:

$$ large
begin {array} { l }
{ sin ^ { 2 } ( x ) neq – cos ^ { 2 } (x ) } \
{ sin ^ { 2 } ( x ) neq – frac { 1 } { 2 } cos ( 2 x ) } \
{ cos ^ { 2 } ( x ) neq frac { 1 } { 2 } cos ( 2 x ) }
end {array} $$

اما تفاوت این جوابها در چیست؟ تفاوت در ثابت $$+C $$ است که یک عدد دلخواه است. این عبارت ثابت در سه جواب با هم برابر نیست و در حقیقت میتوان آن را با حروف دیگری نیز نشان داد. برای مثال، داریم:

$$ large begin {aligned}
– frac { 1 } { 2 } cos ( 2 x ) + C & = – frac { 1 } { 2 } left [ cos ^ { 2 } ( x ) – sin ^ { 2 } ( x ) right ] + C \
& = – frac { 1 } { 2 } left [ cos ^ { 2 } ( x ) – 1 + cos ^ { 2 } ( x ) right ] + C \
& = – cos ^ { 2 } ( x ) + left ( frac { 1 } { 2 } + C right ) =- cos ^ { 2 } ( x ) + D
end {aligned} $$

انتگرال این مثال را به روش جزء به جزء نیز میتوانیم حل کنیم، زیرا یک تابع و دیفرانسیل تابعی که آن را میدانیم در انتگرالده وجود دارند. بنابراین، جواب با استفاده از این روش برابر است با:

$$ large begin {aligned}
int 2 sin ( x ) cos ( x ) & = left | begin {array} { c c }
{ f = 2 sin ( x ) } & { g ^ { prime } = cos ( x ) } \
{ f ^ { prime } = 2 cos ( x ) } & { g } { = sin ( x ) }
end {array} right | \
& = 2 sin ^ { 2 } (x ) – int 2 cos ( x ) sin ( x ) d x
end {aligned} $$

مثال۳

انتگرال نامعین زیر را حل کنید.

$$ large int frac { e ^ x } {1+ e ^ { 2 x } } d x $$

حل مثال ۳: این انتگرال در جدول انتگرالهای مقدماتی نیست و باید با اعمال تغییراتی آن را ساده کنیم. بنابراین از تغییر متغیر استفاده میکنیم. بهترین کار این است که کل مخرج را برابر با یک عبارت قرار دهیم:

$$ large y = 1 + e ^ { 2 x } Longrightarrow left{ begin {array} { c }
{ d y = 2 e ^ { 2 x } d x Longrightarrow d x = frac { 1 } { 2 e ^ { 2 x } } d y = frac { 1 } { 2 ( y – 1 ) } d y } \
{ e ^ { 2 x } = y – 1 }
end {array} right . $$

با استفاده از این تغییر متغیر، مخرج و $$ d x $$ را تغییر دادیم. اما صورت را چگونه باید تغییر دهیم؟ برای این کار باید به شکل زیر عمل کنیم:

$$ large { y = 1 + e ^ { 2 x } = 1 + left ( e ^ { x } right ) ^ { 2 } Longrightarrow e ^ { x } = sqrt { y – 1 } } $$

در نتیجه، انتگرال اینگونه محاسبه خواهد شد:

$$ large { int frac { e ^ { x } } { 1 + e ^ { 2 x } } d x = int frac { sqrt { y – 1 } } { y } frac { 1 } { 2 ( y – 1 ) } d y = frac { 1 } { 2 } int frac { sqrt {y – 1 } } { y ( y -1 ) } d y}\large =arctan (sqrt {y-1}) +C=arctan (e ^ x ) +C$$

یک راه ساده دیگر این است که تغییر متغیر $$ y = e ^ x $$ را در نظر بگیریم:

$$ large begin {aligned}
int frac { e ^ { x } } { 1 + e ^ { 2 x } } d x & = int frac { e ^ { x } d x }{ 1 + left ( e ^{ x } right ) ^ { 2 }} = left | begin {array} { c }
{ y =e ^ { x } } \
{ d y = e ^ { x } d x }
end {array} right | = int frac { d y } { 1 + y ^ { 2 } } \
& = arctan ( y ) + C = arctan left ( e ^ { x } right ) + C , x in mathbb { R } end {aligned} $$

در نظر گرفتن تابعی که توان آن نیز در کسر وجود دارد، معمولاً منجر به یک تابع گویای ساده خواهد شد.

مثال ۴

انتگرال معین زیر را حل کنید.

$$large int _ { 0 } ^ { pi / 2 } sin ( x ) ( 4 cos ( x ) ) e ^ { 2 cos ( x ) + 1 } d x $$

حل مثال ۴: این انتگرال شبیه انتگرالهای معمولی مانند مثلثاتی، کسری، نمایی و… نیست و به همین دلیل باید آن را با روشهایی مانند تغییر متغیر حل کنیم. بدین منظور، توان نمایی را برابر با $$ y $$ در نظر میگیریم و خواهیم داشت:

$$ large int _ { 0 } ^ { pi / 2 } sin ( x ) ( 4 cos ( x ) ) e ^ { 2 cos ( x ) + 1 } d x = left | begin {array} { c }
{ y = 2 cos ( x ) + 1 Longrightarrow 2 cos ( x ) = y – 1 } \
{ d y = – 2 sin ( x ) d x Rightarrow sin ( x ) d x = – frac { 1 } { 2 } d y } \
{ x = frac { pi } { 2 } Longrightarrow y = 2 cos left ( frac { pi } { 2 } right ) + 1 = 1 } \
{ x = 0 Longrightarrow y = 2 cos ( 0 ) + 1 = 3 }
end {array} right | $$

$$ large = int _ { 3 } ^ { 1 } 2 ( y – 1 ) e ^ { y } left ( -frac { 1 } { 2 } right ) d y = – int _ { 3 } ^ { 1} ( y – 1 ) e ^ { y } d y = int _ { 1 } ^ { 3 } ( y – 1 ) e ^ { y } d y $$

انتگرال اخیر را به کمک روش جزء به جزء میتوان حل کرد:

$$ large begin {aligned}
int _ { 1 } ^ { 3 } ( y – 1 ) e ^ { y } d y & = left | begin {array} { c c }
{ f = y – 1 } & { g ^ { prime } } & { = e ^ {y}} \
{ f ^ { prime } = 1 } & { g } & { = e ^ { y } }
end {array}right | = left [ ( y – 1 ) e ^ { y } right ] _ { 1 } ^ { 3 } – int _ { 1 } ^ { 3 } e ^ { y } d y \
&= 2 e ^ { 3 } – 0 – left [ e ^ { y } right ] _ { 1 } ^ { 3 } = 2 e ^ { 3 } – left [ e ^ { 3 } – e right ] = e ^ { 3 } + e
end {aligned} $$

حال اگر بخواهیم انتگرال نامعین این مثال را حل کنیم، خواهیم داشت:

$$ large begin {aligned}
int sin ( x ) ( 4 cos ( x ) ) e ^ { 2 cos ( x ) + 1 } d x & = ( y – 2 ) e ^ { y } – e ^ { y } + C = ( y – 3 ) e ^ { y } + C \
& = ( 2 cos ( x ) – 2 ) e ^ { 2 cos ( x ) + 1 } + C , x in mathbb { R } end {aligned} $$

دقت کنید که از یک تغییر متغیر دیگر نیز میتوانیم استفاده کنیم:

$$ large int _ { 0 } ^ { pi / 2 } sin ( x ) ( 4 cos ( x ) ) e ^ { 2 cos ( x ) + 1 } d x = left | begin {array} { c c }
{ y = cos ( x ) } & { } \
{ d y = – sin ( x ) } { d x } \
{ x = frac { pi } { 2 } } { Longrightarrow y = cos left ( frac { pi } { 2 } right ) = 0 } \
{ x = 0 } { Longrightarrow y = cos ( 0 ) = 1 }
end {array} right | $$

$$ large begin {aligned}
& = int _ { 1 } ^ { 0 } 4 y e ^ { 2 y + 1 } ( – d y ) = -int _ { 1 } ^ { 0 } 4 y e ^ { 2 y + 1 } d y = int _ { 0 } ^ { 1 } 4 y e ^ { 2 y + 1 } d y \
& = left| begin {array} { l l }
{ f = 4 y } & { g ^ { prime } = e ^ { 2 y + 1 } } \
{ f ^ { prime } = 4 } & { g = frac { 1 } { 2 } e ^ { y } }
end {array} right | = left [ 4 y frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 y + 1 } right ] _ { 0 } ^ { 1 } – int _ { 0 } ^ { 1 } 2 e ^ { 2 y + 1 } d y \
& = 2 e ^ { 3 } – 0 – left [ e ^ { 2 y + 1 } right ] _ { 0 } ^ { 1 } = 2 e ^ { 3 } – left [ e ^ { 3 } – e right ] = e ^ { 3 } + e
end {aligned} $$

یک راه دیگر، تغییر متغیر به صورت زیر است:

$$ large int _ { 0 } ^ { pi / 2 } sin ( x ) ( 4 cos ( x ) ) e ^ { 2 cos ( x ) + 1 } d x = left | begin {array} { c }
{ y = 2 cos ( x ) } \
{ d y = – 2 sin ( x ) d x } \
{ x = frac { pi } { 2 } Longrightarrow y = 2 cos left ( frac { pi } { 2 } right ) = 0 } \
{ x = 0 Longrightarrow y = 2 cos ( 0 ) = 2 }
end {array} right | $$

$$ large begin {aligned}
& = int _ { 2 } ^ { 0 } 2 y e ^ { 2 y + 1 } left ( – frac { 1 } { 2 } right ) d y = – int _ { 2 } ^ { 0 } y e ^ { y + 1 } d y = int _ { 0 } ^ { 2 } y e ^ { y + 1 } d y \
& = left | begin {array} { l l }
{ f = y } & { g ^ { prime } = e ^ { y + 1 } } \
{ f ^ { prime } = 1 } & { g = e ^ { y + 1 } }
end {array} right | = left [ y e ^ { y + 1 } right] _ { 0 } ^ { 2 } – int _ { 0 } ^ { 2 } e ^ { y + 1 } d y \
& = 2 e ^ { 3 } – 0 – left [ e ^ { y + 1 } right ] _ { 0 } ^ { 2 } = 2 e ^ { 3 } – left [ e ^ { 3 } – e right ] = e ^ { 3 } + e end {aligned} $$

مثال ۵

جواب انتگرال زیر را به دست آورید.

$$ int 2 sqrt {1 – e ^ { 2 x } } d x $$

حل مثال ۵: از روش تغییر متغیر استفاده میکنیم:

$$ large int 2 sqrt { 1 – e ^ { 2 x } } d x = left | begin {array} { c }
{ y = 1 – e ^ { 2 x } } \
{ d y = – 2 e ^ { 2 x } d x } \
{ d x = frac { 1 } { 2 e ^ { 2 x } } d y = frac { – d y }{ 2 ( 1 – y ) } }
end {array} right | = 2 int sqrt { y } frac { – d y } { 2 ( 1 – y ) } $$

یک بار دیگر از تغییر متغیر استفاده میکنیم:

$$ large begin {aligned}
int sqrt { 1 – e ^ { 2 x } } d x & = int frac { sqrt { y } } { y – 1 } d y = left | begin {array} { c }
{ z = } { sqrt { y } } \
{ y } { = z ^ { 2 } } \
{ d y } { = 2 z d z }
end {array} right | \
& = int frac { z } { z ^ { 2 } – 1 } 2 z d z = int frac { 2 z ^ { 2 } } { z ^ { 2 } – 1 } d z
end {aligned} $$

اکنون با استفاده از تقسیم چندجملهایها و نیز گسترش کسرهای جزئی، به سادگی حاصل انتگرال را به دست میآوریم:

$$ large begin {array} { l }
{ int sqrt { 1 – e ^ { 2 x } } d x = int frac { 2 z ^ { 2 } }{ z ^ { 2 } – 1 } d z = int 2 + frac { 2 } { z ^ { 2 } – 1} d z } \
{ quad = int 2 + frac { 2 } { ( z – 1 ) ( z + 1 ) } d z = 2 z + int frac { 1 } { z – 1 } – frac { 1 } { z + 1 } d z } \
{ quad = 2 sqrt { y } + ln | z – 1 | – ln | z + 1 | + C = 2 sqrt { 1 – e ^ { 2 x } } + ln left | frac { sqrt { y } – 1 }{ sqrt { y } + 1 } right | + C } \
{ } { quad = 2 sqrt { 1 – e ^ { 2 x } } + ln left | frac { sqrt { 1 – e ^ { 2 x } } – 1 } { sqrt { 1 – e ^ { 2 x }} + 1 } right | + C , x < 0 }
end {array} $$

مثال ۶

انتگرال زیر را حل کنید.

$$ large int frac { x ^ { 5 } + x ^ { 4 } + 2 x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + 5 x + 9 } { left ( x ^ { 2 } + 1 right ) ^ { 3 } } d x
$$

حل مثال ۶: انتگرالده یک تابع گویا است و باید از کسرهای جزئی استفاده کنیم. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ large
frac { x ^ { 5 } + x ^{ 4} + 2 x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + 5 x + 9 } { left ( x ^ { 2 } + 1 right ) ^ { 3 } } = frac { A x + B } { x ^ { 2 } + 1 } + frac { C x + D } { left ( x^ { 2 } + 1 right ) ^ { 2 } } + frac { E x + F } { left ( x ^ { 2 } + 1 right ) ^ { 3 } } \
x ^ { 5 } + x ^ { 4 } + 2 x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + 5 x + 9 = ( A x + B ) left ( x ^ { 2 } + 1 right ) ^ { 2 } + ( C x + D ) left ( x ^ { 2 } + 1 right ) \
+ ( E x + B ) left ( x ^ { 2 } + 1 right) ^{ 2} + ( C x + D ) left ( x ^ { 2 } + 1 right )
+ ( E x + F ) \
x ^ { 5 } + x ^ { 4 } + 2 x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + 5 x + 9 = A x ^ { 5 } + B x ^ { 4 } + x ^ { 3 } ( 2 A + C ) + x ^ { 2 } ( 2 B + D ) \
+ x ( A + C + E ) + ( B + D + F ) \
Longrightarrow A = 1 , B = 1 , C = 0 , D = 0 , E = 4 , F = 8
$$

در نتیجه، انتگرال به صورت زیر در خواهد آمد:

$$ large begin {aligned}
& int frac { x ^ { 5 } + x ^ {4 } + 2 x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + 5 x + 9 } { left ( x ^ { 2 } + 1 right ) ^ { 3 } } d x = int frac { x + 1 } { x ^ { 2 } + 1 } + frac { 4 x + 8 }{ left ( x ^ { 2 } + 1 right ) ^ { 3 } } d x \
& = int frac { x d x } { x ^ { 2 } + 1 } + int frac { d x }{ x ^ { 2 } + 1 } + int frac { 4 x d x } { left ( x ^ { 2 } + 1 right ) ^ { 3 } } + int frac { 8 d x } { left ( x ^ { 2} + 1 right ) ^ { 3 } }
end {aligned} $$

حال تغییر متغیر زیر را در نظر میگیریم و برای سه انتگرال اول خواهیم داشت:

$$ large begin {aligned}
&int frac { x d x } { x^ {2 } + 1 } + int frac { d x }{ x ^ { 2 } + 1 } + int frac { 4 x d x } { left ( x ^ { 2 } + 1 right ) ^ { 3 } } = left | begin {array} { c }
{ y = x ^ { 2 } + 1 } \
{ d y = 2 x d x }
end {array} right | \
&= frac { 1 } { 2 } int frac { d y } { y } + operatorname {arctg} ( x ) + 2 int frac { d y } { y ^ { 3 } } = frac { 1 } { 2 } ln | y | + operatorname {arctg} ( x ) – frac { 1 } { y ^ { 2 } } \
& = frac { 1 } { 2 } ln left | x ^ { 2 } + 1 right | + operatorname {arctg} ( x ) – frac { 1 } { left ( x ^{ 2 }+ 1 right ) ^ { 2 } }
end {aligned} $$

اکنون باید انتگرال چهارم را حساب کنیم:

$$ large begin {aligned}
8 int frac { d x } { left ( x ^ { 2 } + 1 right ) ^ { 3 } } =& 8 left [ frac { 1 } { 4 } frac { x } { left ( x ^{ 2 } + 1 right ) ^ { 2 } } + frac { 3 } { 4 } int frac { d x }{ left ( x ^ { 2 } + 1 right ) ^ { 2 } } right ] & \
= & frac { 2 x } { left ( x ^ { 2 } + 1 right ) ^ { 2 } } + 6 int frac { d x } { left ( x ^ { 2 } + 1 right ) ^ { 2 } } \
= & frac { 2 x } { left ( x ^ { 2 }+ 1 right ) ^ { 2 } } + 6 left [ frac { 1 } { 2 } frac { x } { x ^ { 2 } + 1 } + frac { 1 } { 2 } int frac { d x } { x ^ { 2 } + 1 } right ] \
= & frac { 2 x } { left ( x ^ { 2 } + 1 right ) ^ { 2 } } + frac { 3 x } { x ^ { 2 } + 1 } + 3 operatorname {arctg} ( x )
end {aligned} $$

و در نهایت، حاصل انتگرال به صورت زیر است:

$$ large begin {array} { l }
{ int frac { x ^ { 5 } +x ^ { 4 } + 2 x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } +5 x + 9 } { left ( x ^ { 2 } + 1 right ) ^ {3 } } d x} \
{ = frac { 2 x } { left ( x ^ { 2 } + 1 right ) ^ { 2 } } – frac { 1 } { left ( x ^ { 2 } + 1 right ) ^ { 2 } } + frac { 3 x } { x ^ { 2 } + 1 } + frac { 1 } { 2 } ln left | x ^ { 2 } + 1 right | + 4 operatorname {arctg} ( x ) + C , x in mathbb { R } }
end {array} $$

مثال ۷

انتگرال زیر را حل کنید.

$$ large int _ { 0 } ^ { 4 }( | 2 – 2 x | + 1 ) d x $$

حل مثال ۷: در این مثال، انتگرالده شامل تابع قدر مطلق است و باید آن را به صورت زیر ساده کنیم:

$$ large | 2 – 2 x | + 1 = left { begin {array} { r l }
{ ( 2 – 2 x ) + 1 , } & { ( 2 – 2 x ) geq 0 ; } \
{ – ( 2 – 2 x ) + 1 , } & { ( 2 – 2 x ) leq 0 }
end {array} = left { begin {array} { l l }
{ 3 – 2 x , } & { x leq 1 } \
{ 2 x – 1 , } & { x geq 1 }
end {array} right . right . $$

بنابراین، اگر بخواهیم انتگرال نامعین را به دست آوریم، خواهیم داشت:

$$ large begin {aligned}
& x leq 1 : quad int | 2 – 2 x | + 1 d x = int 3 – 2 x d x = 3 x – x ^ { 2 } + C \
& x geq 1 : quad int | 2 – 2 x | + 1 d x = int 2 x – 1 d x = x ^ { 2 } – x + C
end {aligned} $$

در نتیجه:

$$ large int | 2 – 2 x | + 1 d x = left { begin {array} { c c }
{ 3 x – x ^ { 2 } + C , } & { x leq 1 } \
{ x ^ { 2 } – x + C , } & { x geq 1 }
end {array} right . $$

اکنون انتگرال را به دو بازه تقسیم میکنیم:

$$ large int _ { 0 } ^ { 4 } (| 2 – 2 x | + 1 ) d x = int _ { 0 } ^ { 1 }( |2 – 2 x | + 1 ) d x + int _ { 1 } ^ {4 } (| 2 -2 x| + 1 ) d x $$

دو تابع $$ G ( x ) = 3 x – x ^ 2 $$ و $$ H ( x ) = x ^ 2 – x $$ را در نظر گرفته و در نهایت جواب انتگرال را محاسبه میکنیم:

$$ large int _ { 0 } ^ { 4 } | 2 – 2 x | + 1 d x =[ G ( x ) ] _ { 0 } ^ { 1 } + [ H ( x ) ] _ { 1 } ^ { 4 } = [ 2 – 0 ] + [ 1 2 – 0] = 1 4 $$

مثال ۸

انتگرال زیر را حل کنید.

$$ large int {z ^ 2 ( 3 – 2 z ) ^ 9 d z } $$

حل مثال ۸: به سادگی از تغییر متغیر استفاده میکنیم و حاصل انتگرال را به دست میآوریم:

$$ large begin {aligned}
int z ^ { 2 } ( 3 – 2 z ) ^ { 9 } d z = & left | begin {array} { c }
{ w } & { = 3 – 2 z } \
{ z } & { = frac { 3 – w } { 2 } } \
{ d z } & { = – frac { 1 } { 2 } d w }
end {array} right | = int left ( frac { 3 – w } { 2 } right ) ^ { 2 } w ^ { 9 } left ( – frac { 1 } { 2 } right ) d w \
= & – frac { 1 } { 2 } int left ( frac { 9 } { 4 } – frac { 3 } { 2 } w + frac { 1 } { 4 } w^ { 2 } right ) w ^ { 9 } d w = int – frac { 9 } { 8 } w ^ { 9 } + frac { 3 } { 4 } w ^ { 1 0 } – frac { 1 } { 8 } w ^ { 1 1 } d w \
= & – frac { 9 } { 8 0 } w ^ { 1 0 } + frac { 3 } { 4 4 } w ^ { 1 1 } – frac { 1 } { 9 6 } w ^ { 1 2 } + C \
= & frac { 3 } { 4 4 }( 3 – 2 z ) ^ { 1 1 } – frac { 9 }{ 8 0 } ( 3 -2 z ) ^ { 1 0 } – frac { 1 } { 9 6 } ( 3 – 2 z) ^{ 1 2 } + C , z in mathbb { R }
end {aligned} $$

مثال ۹

جواب انتگرال زیر را به دست آورید.

$$large int _ { 0} ^ { 1 } 2 x ^ { 3 } ln left ( x ^ { 2 } + 1 right ) d x $$

حل مثال ۹: در حل این مثال از انتگرالگیری جزء به جزء استفاده میکنیم:

$$ large begin {aligned}
int _ { 0 } ^ { 1 } 2 x ^{ 3 } ln left ( x ^ { 2 } + 1 right ) d x & = left | begin {array} { c c }
{ f = ln left ( x ^ { 2 } + 1 right ) } & { g ^ { prime } = 2 x ^ { 3 } } \
{ f ^ { prime } = frac { 2 x } { x ^ { 2 } + 1 } } & { g } { = frac { 1 } { 2 } x ^ { 4 } }
end {array} right | \
& = left [ ln left ( x ^ { 2 } + 1 right ) cdot frac { 1 } { 2 } x ^ { 4 } right ] _ { 0 } ^ { 1 } – int _ { 0 } ^ { 1 } frac { 1 } { 2 } x ^ { 4 } frac { 2 x } { x ^ { 2 } + 1 } d x \
& = left [ frac { 1 } { 2 } ln ( 2 ) – 0 right ] – int _ { 0 } ^ { 1 } frac { x ^ { 5} } { x ^ { 2 } + 1 } d x
end {aligned} $$

در نهایت، حاصل انتگرال با استفاده از تغییر متغیر و با کمک کسرهای جزئی به صورت زیر به دست خواهد آمد:

$$ large begin {aligned}
int _ { 0 } ^ { 1 } 2 x ^ { 3 } ln left ( x ^ { 2 } + 1 right ) d x & = frac { 1 } { 2 } ln ( 2 ) – int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 3 } – x + frac { x } { x ^ { 2 } + 1 } d x & \
& = frac { 1 } { 2 } ln ( 2 ) – left [ frac { 1 } { 4 } x ^ { 4 } – frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } right ] _ { 0 } ^ { 1 } -frac { 1 } { 2 } int _ { 0} ^ { 1 } frac { 2 x } { x ^ { 2 } + 1 } d x = left | begin {array} { c }
{ y = x ^ { 2 } + 1 } \
{ x = 0 } & { mapsto y = 1 } \
{ x = 0} & { mapsto y = 1 } \
{ x = 1 } & { mapsto y = 2 }
end {array} right | \
& = frac { 1 } { 2 } ln ( 2 ) – frac { 1 } { 4 } + frac { 1 } { 2 } – frac { 1 } { 2 } int _ { 1 } ^ { 2 } frac { d y }{ y } = frac { 1 } { 2 } ln ( 2 ) + frac { 1 } { 4 } – frac { 1} { 2 } [ ln | y | ] _ { 1 } ^ { 2 } \
& = frac { 1 } { 2 } ln ( 2 ) + frac { 1 } { 4 } – frac { 1 } { 2 } ln ( 2 ) + 0 = frac { 1 } { 4 }
end {aligned} $$

مثال ۱۰

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$$ large int _ { 2 } ^ { 7 } frac { x } { 1 – sqrt { 2 + x } } d x $$

حل مثال ۱۰: در این مثال نیز از تغییر متغیر و گسترش کسرهای جزئی کمک میگیریم:

$$ large int _ { 2 } ^ { 7 } frac { x } { 1 – sqrt { 2 + x } } d x = left |
begin {aligned}
y & = sqrt { 2 + x } \
x & = y ^ { 2 } – 2 \
d x & =2 y d y \
x = 2 & mapsto y = 2 \
x = 7 & mapsto y = 3
end {aligned} right | = int _ { 2 } ^ { 3 } frac { y ^ { 2 } – 2 } { 1 – y } 2 y d y = int _ { 2 } ^ { 3 } frac { 2 y ^ { 3 } – 4 y } { 1 – y } d y $$

یک بار دیگر نیز لازم است از تغییر متغیر و گسترش کسرهای جزئی استفاده کنیم:

$$ large int _ { 2 } ^ { 7 } frac { x } { 1 – sqrt { 2 + x } } d x = int _ { 2 } ^ { 3 } frac { 2 y ^ { 3 } – 4 y } { 1 – y } d y = int _ { 2 } ^ { 3 } – 2 y ^ { 2} -2 y + 2 – 2 frac { 1 } { 1 – y } d y $$

$$ large begin {aligned}
& = left | begin {array} { c }
{ z = 1 – y } \
{ d z = – d y } \
{ y = 2 } mapsto z = -1 \
{ y = 3 } mapsto z = – 2
end {array} right | = left [ – frac { 2 } { 3 } y ^ { 3 } -y ^ { 2 } + 2 y right ] _ { 2 } ^ { 3 } + 2 int _ { – 1 } ^ { – 2 } frac { 1 } { z } d z \
& = left [ – 1 8 – 9 + 6 + frac { 1 6 } { 3 } + 4 – 4 right ] + [ 2 ln | z | ] _ { – 1 } ^ { – 2 } \
& = – 1 5 – frac { 2 } { 3 } + 2 [ ln ( 2 ) – ln ( 1 ) ] = 2 ln ( 2 ) – frac { 4 7 } { 3 }
end {aligned} $$

مثال ۱۱

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$$large int x cos ( ax) d x $$

حل مثال ۱۱: از انتگرالگیری جزء به جزء استفاده میکنیم:

$$ large int x cos ( a x ) d x = left | begin {array} { l l }
{ f = x } & { g^ { prime } = cos ( a x ) } \
{ f ^ { prime } = 1 } & { g = int cos ( a x ) d x }
end {array} right | $$

با استفاده از یک تغییر متغیر بسیار ساده ابتدا $$ int cos (ax)dx$$ را حساب میکنیم:

$$ large int cos ( a x ) d x = left | begin {array} { c }
{ y = a x } \
{ d y = a d x } \
{ d x = frac { 1 } { a } d y }
end {array} right | = frac { 1 } { a } int cos ( y ) d y = frac { 1} { a } sin ( y ) = frac { 1 } { a } sin ( a x ) $$

و در نهایت، حاصل انتگرال برابر است با:

$$ large
int x cos ( a x ) d x = left | begin {array} { c c }
{ f = x } & { g ^ { prime } = cos ( a x ) } \
{ f ^ { prime } = 1 } & { g = frac { 1 } { a } sin ( a x ) }
end {array} right | = frac { 1 } { a } x sin ( a x ) – frac { 1 } { a } int sin ( a x ) d x \
= left | begin {array} { c }
{ y = a x } \ large
{ d y = a d x }
end {array} right | = frac { 1 } { a } x sin ( a x )- frac { 1 } { a } cdot frac { 1 } { a } int sin ( y ) d y \ large
= frac { 1 } { a } x sin ( a x ) + frac { 1 } { a ^ { 2 } } cos ( y ) + C = frac { 1 } { a } x sin ( a x ) + frac { 1 } { a ^ { 2 } } cos ( a x ) + C , x in mathbb { R } $$

اما اگر $$ a = 0 $$ باشد، انتگرال به صورت زیر است:

$$ large int x cos ( 0 cdot x ) d x = int x cos ( 0 ) d x = int x cdot 1 d x = int x d x = frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + C , x in mathbb { R } $$

و جواب نهایی به شکل دقیقتر زیر است:

$$ large int x cos ( a x ) d x = left { begin {array} { c c }
{ frac { 1 } { a } x sin ( a x ) + frac { 1 } { a ^ { 2 } } cos ( a x ) + C , } & { x in mathbb { R } text { for } a neq 0 } \
{ frac { 1 } { 2 } x ^ { 2} + C , } & { x in mathbb { R } text { for } a = 0 }
end {array} right . $$

مثال ۱۲

انتگرال زیر را حل کنید.

$$ large int frac { ln ( x ) } { x } d x $$

حل مثال ۱۲: در اینجا از روش انتگرالگیری جزء به جزء استفاده میکنیم:

$$ large int frac { ln ( x ) } { x } d x = left | begin {array} { l l }
{ f = ln ( x ) } & { g ^ { prime } = frac { 1 } { x } } \
{ f ^ { prime } = frac { 1 } { x } } & { g = ln ( x ) }
end {array} right | = ln ( x ) ln ( x ) – int ln ( x ) frac { d x } { x } $$

و خواهیم داشت:

$$ large begin {array} { l }
{ 2 int frac { ln ( x ) } { x } d x = ln ^ { 2 } ( x ) + D } \
{ int frac { ln ( x ) } { x } d x = frac { 1 } { 2 } ln ^ { 2 } ( x ) + C , x > 0 }
end {array} $$

یک راه ساده دیگر برای حل این انتگرال، استفاده از تغییر متغیر است:

$$ large int frac { ln ( x ) } { x } d x = left | begin {array} { c}
{ y = ln ( x ) } \
{ d y = frac { d x } { x } }
end {array} right | = int y d y = frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 } + C = frac { 1 } { 2 } ln ^ { 2 } ( x ) + C , x > 0 $$

مثال ۱۳

حاصل انتگرال زیر را به دست آورید.

$$ large int _ { 3 } ^ { 4 } frac { 2 0 d x } { x ^ { 2 } left ( 2 + frac { 1 } { x } right ) left ( 2 – frac { 1 } { x } right ) left ( frac { 2} { x } – 1 right ) } $$

حل مثال ۱۳: تغییر متغیر زیر را به کار میبریم:

$$ large begin {aligned}
int frac { 2 0 d x } { x ^ { 2 } left ( 2 + frac { 1 } { x } right ) left ( 2 – frac { 1 } { x } – 1 right ) } & = left | begin {array} { c }
{ y = frac { 1} { x } } \
{ d y = frac { 1 } { x ^ { 2 } } d x }
end {array} right | = int frac { – 2 0 d y } { (2 + y) ( 2 – y ) ( 2 y – 1 ) } \
& = int frac { 2 0 d y } { ( y + 2 ) ( y – 2 ) ( 2 y – 1 ) }
end {aligned} $$

اکنون با کمک انتگرالهای مقدماتی میتوانیم حاصل این انتگرال را بنویسیم:

$$ large begin {array} { l }
{ int frac { 2 0 d x } { x ^ { 2 } left ( 2 + frac { 1 }{ x } right ) left ( 2 – frac { 1 } { x } right ) left ( frac { 2 } { x } – 1 right ) } = int frac { d y } { y + 2 } + frac { 5 } { 3 } int frac { d y } { y – 2 } – frac { 1 6 } { 3 } int frac { d y } { 2 y – 1 } } \
{ quad = ln | y + 2 | + frac { 5 } { 3 } ln | y – 2 | -frac { 1 6 } { 3 } frac { 1 } { 2 } ln | 2 y – 1 | + C } \
{ quad = ln left | frac { 1 } { x } + 2 right | + frac { 5 } { 3 } ln left | frac { 1 } { x } – 2 right | – frac { 8 } { 3 } ln left | frac { 2 } { x } – 1 right |+C, x neq 0, pm frac { 1 } { 2 } , 2 } end {array} $$

جواب انتگرال معین در بازه ۳ تا ۴ به صورت زیر محاسبه میشود:

$$ large begin {array} { l }
{ int _ { 3 } ^ { 4 } frac { 2 0 d x } { x ^ { 2 } left ( 2 + frac { 1 } { x } right ) left ( 2 – frac { 1 }{ x } right ) left ( frac { 2 } { x } – 1 right ) } } \
{ quad = ln left ( frac { 9 } { 4 } right ) + frac { 5 } { 3 } ln left ( frac { 7 } { 4 } right ) – frac { 8 } { 3 } ln left ( frac { 1 } { 2 } right ) – ln left ( frac { 7 } { 3 } right ) -frac { 5 } { 3 } ln left ( frac { 5 } { 3 } right ) + frac { 8 } { 3 } ln left ( frac { 1 } { 3 } right ) } \
{ quad = – frac { 8 } { 3 } ln ( 2 ) + 2 ln ( 3 ) – frac { 5 } { 3 } ln ( 5 ) + frac { 2 } { 3 } ln ( 7 ) }
end {array}
$$

مثال ۱۴

جواب انتگرال زیر را بیابید.

$$ large int frac { 6 sin ( x ) cos ^ { 2 } ( x ) + sin ( 2 x ) – 2 3 sin ( x ) } { ( cos ( x ) – 1 ) ^ { 2 } left ( 5 – sin ^ { 2 } ( x ) right ) } d x $$

حل مثال ۱۴: با انتگرال یک تابع کسری مثلثاتی روبهرو هستیم. ابتدا انتگرالده را ساده میکنیم:

$$ large int frac { 6 sin ( x ) cos ^ { 2 } ( x ) + 2 sin ( x ) cos ( x ) – 2 3 sin ( x ) } { ( cos ( x ) – 1 ) ^ { 2 } left ( 5 – sin ^ { 2 } ( x ) right ) } d x $$

اکنون یک انتگرال فقط با $$sin ( x ) $$ و $$ cos ( x ) $$ داریم و باید بهترین تصمیم را بگیریم و مسئله را حل کنیم. اگر بخواهیم از تغییر متغیر $$sin ( x ) $$ استفاده کنیم، باید یک $$ sin ( x) $$ در کنار $$ d x $$ داشته باشیم و برای تغییر متغیر $$ sin ( x ) $$ باید $$ cos ( x ) d x $$ داشته باشیم. در صورت انتگرالده میتوانیم از $$ sin ( x ) $$ فاکتور بگیریم. بنابراین، از تغییر متغیر $$ cos ( x ) $$ استفاده میکنیم. برای این کار مخرج را نیز برحسب $$ cos ( x ) $$ مینویسیم. در نتیجه، داریم:

$$ large begin {array} { c }
int frac { 6 cos ^ { 2 } ( x ) + 2 cos ( x ) – 2 3 } { ( cos ( x ) – 1 ) ^ { 2 } left ( 5 – left [ 1 – cos ^ { 2 }( x ) right ] right ) } sin ( x ) d x \
quad = int frac { 6 cos ^ { 2 } ( x ) + 2 cos ( x ) – 2 3 }{ ( cos ( x ) – 1 ) ^ { 2 } left ( cos ^ { 2 } ( x ) + 4 right ) } sin ( x ) d x
end {array} $$

اکنون میتوانیم به راحتی از تغییر متغیر زیر استفاده کنیم:

$$ large begin {aligned}
int frac { 6 cos ^ { 2 } ( x ) + 2 cos ( x ) – 2 3 } { ( cos ( x ) – 1 ) ^ { 2 } left ( cos ^ { 2 } ( x ) + 4 right ) } sin ( x ) d x & = left | begin {array} { c }
y = cos ( x ) \
d y = – sin ( x ) d x \
sin ( x ) d x = – d y
end {array} right | \
& = – int frac { 6 y ^ { 2 } + 2 y -2 3 } { ( y – 1 ) ^ { 2 } left ( y ^ { 2 } + 4 right ) } d y
end {aligned} $$

به کمک کسرهای جزئی، انتگرل به شکل زیر در میآید:

$$ large begin {array} { r }
– int frac { 6 y ^ { 2 } + 2 y + 9 } { ( y – 1 ) ^ { 2 } left ( y ^ { 2 }+ 4 right ) } d y = int – frac { 4 } { y – 1 } + frac { 3 } { ( y – 1 ) ^ { 2 } } – frac { – 4 y + 5 } { y ^ { 2 } + 4 } d y \
= – int frac { 4 d y } { y – 1 } + int 3 ( y – 1 ) ^ { – 2 } d y + int frac { 4 y d y } { y ^ { 2 } + 4 } – int frac { 5 d y } { y ^ { 2 } + 4 }
end {array} $$

برای حل این انتگرال از تغییر متغیر کمک میگیریم:

$$ large begin {array} { l }
– int frac { 6 y ^ { 2 } + 2 y + 9 } { ( y – 1 ) ^ { 2 } left ( y ^ { 2 } + 4 right ) } d y = left | begin {array} { c }
z = y ^ { 2 } + 4 \
d z = 2 y d y
end {array} right | left | begin {array} { c }
y = 2 t \
d y =2 d t
end {array} right | \
= – 4 ln | y – 1 | – 3 ( y – 1 ) ^ { – 1 } + int frac { 2 d z }{ z } – int frac { 1 0 d t } { 4 t ^ { 2 } + 4 } \
= – 4 ln | y – 1 | – frac { 3 } { y – 1 } + 2 ln | z | – frac { 5 } { 2 } int frac { d t } {t ^ { 2 } + 1 } \
= – 4 ln | y – 1 | – frac { 3 } { y – 1 } + 2 ln left | y ^ { 2 } + 4 right | – frac { 5 } { 2 } arctan left ( t ^ { 2 } right ) + C \
quad = 2 ln left | frac { y ^ { 2 } + 4 } { ( y – 1 ) ^ { 2 } } right | – frac { 3 } {y – 1 } – frac { 5 } { 2 } arctan left ( frac { y } { 2 } right ) + C
end {array} $$

و در نهایت، با قرار دادن مقادیر اصلی، حاصل انتگرال را به دست میآوریم:

$$ large begin {array} { l }
int frac { 6 sin ( x ) cos ^ { 2 } ( x ) + sin ( 2 x ) – 2 3 sin ( x ) } { ( cos ( x ) – 1 ) ^ { 2 } left (5 – sin ^ { 2 } ( x ) right ) } d x \
quad = 2 ln left | frac { cos ^ { 2 }( x ) + 4 } { ( cos ( x ) – 1 ) ^ { 2 } } right | – frac { 3 } { cos ( x ) – 1 } -frac { 5 } { 2 } arctan left ( frac { cos ( x ) } { 2 } right ) + C , x neq pi + 2 k pi
end {array} $$

مثال ۱۵

انتگرال زیر را حل کنید.

$$ int large frac { 1 } { sqrt { x – x ^ 2 } } d x $$

حل مثال ۱۵: ابتدا رادیکال را به شکل زیر مینویسیم تا بتوانیم از انتگرالهای مقدماتی استفاده کنیم:

$$ large sqrt { x – x ^ { 2 } } = sqrt { – left ( x ^ { 2 } – x right ) } = sqrt { – left ( x ^ { 2 } – 2 cdot frac { 1 } { 2 } x + frac { 1 } { 4 } – frac { 1 } { 4 } right ) } = sqrt { frac { 1 } { 4 } – left ( x – frac { 1 } { 2 } right ) ^ { 2 } } $$

و حاصل انتگرال را با کمک تغییر متغیر به دست میآوریم:

$$ large begin {aligned}
int frac { 1 } { sqrt { x – x ^ { 2 } } } d x & = int frac { 1 } { sqrt { left ( frac {1 } { 2 } right ) ^ { 2 } – left ( x – frac { 1 } { 2 } right ) ^ { 2 } } } d x = left | begin {array} { c }
x – frac { 1 } { 2 } = frac { 1 } { 2 } y \
d x = frac { 1 } { 2 } d y
end {array} right | \
& = int frac { 1 } { sqrt { frac { 1 } { 4 } – frac { 1 } { 4 } y ^ { 2 } } } frac { 1 } { 2 } d y = int frac { d y }{ sqrt { 1 – y ^ { 2 } } } \
& = arcsin ( y ) + C = arcsin ( 2 x – 1 ) + C , x in ( 0 , 1 ) end {aligned} $$

مثال ۱۶

انتگرال زیر را حل کنید.

$$ large int frac { x ^ { 2 } } { 1 + x ^ {6 } } d x $$

حل مثال ۱۶: با استفاده از تغییر متغیر ساده $$ u = x ^ 3 $$ و $$ d u = 3 x ^ 2 $$ به راحتی داریم:

$$ large int frac { x ^ { 2 } } { 1 + x ^ {6 } } d x = int frac { 1 } { 3 left ( 1 +u ^{ 2 } right ) } d u = frac { 1 } { 3 } arctan u + C = frac { 1 } { 3 } arctan left ( x ^ { 3 } right ) + C $$

مثال ۱۷

جواب انتگرال مثلثاتی زیر را به دست آورید.

$$ large int ( tan x + cot x ) ^ { 2 } d x $$

حل مثال ۱۷: با کمک اتحادهای مثلثاتی برای تانژانت و کتانژانت جواب انتگرال به راحتی به دست میآید:

$$ large begin {aligned}
int ( tan x + cot x ) ^ { 2 } d x & = int left ( tan ^ { 2 } x + 2 tan x cot x + cot ^ { 2 } x right ) d x \
& = int left ( sec ^ { 2 } x – 1 + 2 + csc ^ { 2 } x – 1 right ) d x \
& = int left ( sec ^ { 2 } x + csc ^ { 2 } x right ) d x \
& = tan x – cot x + C
end {aligned} $$

مثال ۱۸

انتگرال زیر را حل کنید.

$$ large int frac { t ^ { 3 } } { left ( 2 – t ^ { 2 } right ) ^ { frac { 3 } { 2 } } } d t $$

حل مثال ۱۸: تغییر متغیر $$ u = 2 – t ^ 2 $$ و در نتیجه، $$ du = – 2 t $$ را در نظر میگیریم و مسئله را حل میکنیم:

$$ large begin {aligned}
int frac { t ^ { 3 } } { left ( 2 – t ^ { 2 } right ) ^ { frac { 3 } { 2 } } } d t & = int frac { t ^ { 2 } } { left ( 2 – t ^ { 2 } right ) ^ { frac { 5 } { 2 } } } ( t d t ) = int -frac { 2 – u } { 2 u ^ { frac { 5 } { 2 } } } d u \
& = int left ( – u ^ { – frac { 5 } { 2 } } + frac { 1 } { 2 } u ^ { – frac { 3 } { 2 } } right ) d u \
& = frac { 2 } { 3 } u ^ { – frac { 3 } { 2 } } -u ^ { – frac { 1 } { 2 } } + C \
Rightarrow int frac { t ^ { 3 } } { left ( 2 -t ^ { 2 } right ) ^ { frac { 3} { 2 }} } d t & = frac {2 } { 3 } left ( 2 – t ^ { 2 } right ) ^ { – frac { 3 } {2 } } – left ( 2 – t ^ { 2 } right ) ^ { – frac { 1 } {2 } } + C
end {aligned} $$

مثال ۱۹

انتگرال زیر را حل کنید.

$$ large int ( 1 + cos theta ) ^ { 2 } d theta $$

حل مثال ۱۹: این انتگرال را میتوان به سادگی با استفاده از اتحادهای مثلثاتی حل کرد:

$$ large begin {aligned}
int ( 1 + cos theta ) ^ { 2 } d theta & = int left ( 1 + 2 cos theta + cos ^ { 2 } theta right ) d theta \
& = int d theta + 2 int cos theta d theta + int cos ^ { 2 } theta d theta \
& = theta + 2 sin theta + int left ( frac { 1 + cos ( 2 theta ) } { 2 } right ) d theta \
& = theta + 2 sin theta + frac { theta } { 2 } + frac { sin ( 2 theta ) } { 4 } + C \
Rightarrow int ( 1 + cos theta ) ^ { 2 } d theta & = frac { 3 } { 2 } theta + 2 sin theta + frac { 1 } { 4 } sin ( 2 theta ) + C
end {aligned} $$

مثال ۲۰

انتگرال زیر را حل کنید.

$$ large int frac { 1 } { k ^ { 2 } – 6 k + 9 } d k $$

حل مثال ۲۰: با توجه به تساوی $$ k ^ 2 – 6 k + 9 = ( k – 3 ) ^ 2 $$ و استفاده از تغییر متغیر $$ u = 3 – k $$ و در نتیجه $$ d u = d k $$، خواهیم داشت:

$$ large begin {aligned}
int frac { 1 } { k ^ { 2 } – 6 k + 9 } d k & = int frac { 1 } { ( k – 3 ) ^ { 2 } } d k = int frac { 1 } { u ^ { 2 } } d u = – frac { 1 } { u } + C \
Rightarrow int frac { 1 } { k ^ { 2 } – 6 k + 9 } d k & = – frac { 1 } { k – 3 } + C end{aligned} $$

اگر علاقهمند به یادگیری مباحث مشابه مطلب بالا هستید، آموزشهایی که در ادامه آمدهاند نیز به شما پیشنهاد میشوند:

• مجموعه آموزشهای دروس ریاضیات
• آموزش جامع ریاضی دبیرستان – ریاضی و فیزیک
• مجموعه آموزشهای دروس دبیرستان و پیشدانشگاهی
• آموزش ریاضیات عمومی 1
• نماد انتگرال — با سرگذشت جالب این علامت ریاضی آشنا شوید
• نمونه سوال اتحاد و تجزیه — همراه با جواب
• نمونه سوال مثلثات — همراه با جواب

^^