فرمول های فیزیک نهم در یک نگاه + مثال و تمرین

گزینه اول درست است. حرکت از حال سکون یعنی سرعت اولیه صفر است، یعنی داریم:

$$v_1 = 0$$

با استفاده از فرمول شتاب داریم:

$$a = frac{v_2 - v_1}{Delta t} implies 4 = frac{v_2 - 0}{6} implies v_2 = 4 times 6 = 24 text{ m/s}$$

برای تبدیل به کیلومتر بر ساعت نیز از محاسبه زیر استفاده می‌کنیم:

$$v_2 = 24 times 3.6 = 86.4 text{ km/h}$$

در چه نوع حرکتی، اندازه جابجایی و مسافت طی شده توسط یک متحرک دقیقا با هم برابر هستند؟

حرکت روی خط راست

حرکت روی خط راست بدون تغییر جهت

حرکت روی مسیر دایره‌ای

حرکت روی خط راست با تغییر جهت

گزینه دوم درست است. برای اینکه مسافت یا طول مسیر پیموده شده که می‌تواند یک مسیر خمیده یا مستقیم باشد با جابجایی که همواره یک خط مستقیم است، برابر شوند، متحرک باید روی یک خط راست حرکت کند و هرگز تغییر جهت ندهد یا دور نزند.

اگر متحرک روی خط راست حرکت کند و سپس برگردد، مسافت آن افزایش پیدا می‌کند اما جابجایی کاهش یافته است. پس شرط برابری، حرکت روی خط راست بدون تغییر جهت است.

توپی با سرعت $$10 text{ m/s}$$ به سمت دیواری حرکت کرده و پس از برخورد، با همان تندی $$10 text{ m/s}$$ و روی همان خط راست بازمی‌گردد. اگر مدت زمان برخورد توپ با دیوار $$0.1$$ ثانیه باشد، شتاب متوسط توپ در این بازه چند $$text{m/s}^2$$ است؟

$$ -200 text{ m/s}^2$$

$$200 text{ m/s}^2$$

$$ -400 text{ m/s}^2$$

$$400 text{ m/s}^2$$

گزینه اول درست است. می‌دانیم سرعت یک کمیت برداری است، پس جهت آن مهم است. اگر جهت رفت را مثبت فرض کنیم، جهت برگشت منفی خواهد بود:

$$v_1 = +10 text{ m/s} quad , quad v_2 = -10 text{ m/s}$$$$Delta t = 0.1 text{ s}$$

حالا فرمول شتاب متوسط را می‌نویسیم:

$$a_{avg} = frac{v_2 - v_1}{Delta t} = frac{-10 - (+10)}{0.1} = frac{-20}{0.1} = -200 text{ m/s}^2$$

پس اندازه شتاب توپ $$200 text{ m/s}^2$$ و در خلاف جهت حرکت اولیه است.

پیش از اینکه به بررسی سایر فرمول های فیزیک نهم بپردازیم، در این بخش مروری داریم بر مهم‌ترین فیلم‌های آموزشی مجموعه فرادرس که می‌توانند در یادگیری مباحث ریاضی و فیزیک دوره متوسطه به شما کمک کنند:

مباحث فیزیکی بعدی در کتاب علوم پایه نهم مربوط می‌شوند به موضوع نیرو که شامل سرفصل‌های زیر است:

جدول زیر تمام فرمول‌ های فیزیک نهم فصل دوم را نشان می‌دهد:

در این بخش با استفاده از فلش‌کارت‌های زیر می‌توانید مروری داشته باشید بر مهم‌ترین نکات و فرمول‌های فیزیک نهم فصل دوم. با کلیک دوم روی هر فلش‌کارت، محتوای پشت آن قابل‌مشاهده است:

به هر گونه عامل ایجاد کننده تغییر شکل یا تغییر جهت در حرکت یک جسم، نیرو گفته می‌شود. در واقع نیرو بر اثر برهم‌کنش یا تاثیر متقابل بین دو جسم به وجود می‌آید. بنابراین یک جسم به تنهایی نمی‌تواند نیرو تولید کند. نیرو یک کمیت برداری است، یعنی هم اندازه آن مهم است و هم جهت آن و با نماد $$F$$ نشان داده می‌شود. واحد استاندارد نیرو، نیوتون ($$text{N}$$) است.

نیروها به دو دسته کلی تقسیم می‌شوند:

وارد شدن نیرو به یک جسم می‌تواند پیامدهای مختلفی داشته باشد. در فهرست زیر برخی از این پیامدها را توضیح داده‌ایم:

جرم هر جسمی مقدار ماده تشکیل‌ دهنده آن جسم است. جرم یک کمیت نرده‌ای است که واحد آن کیلوگرم ($$text{kg}$$) است و در تمام نقاط جهان مقدار ثابت و تغییرناپذیری دارد. اما وزن یا $$W$$، یک نیروی گرانشی است که از سمت کره زمین (یا هر جرم آسمانی دیگر) به جرم جسم وارد می‌شود. وزن یک کمیت برداری است که جهت آن همواره به سمت مرکز زمین است و با ترازوهای فنری اندازه‌گیری می‌شود. فرمول نیروی وزن به شکل زیر است:

$$W = m cdot g$$

در این فرمول $$g$$ شتاب گرانش یا شتاب جاذبه است که روی سطح زمین تقریبا برابر می‌شود با $$9.8 text{ m/s}^2$$. در محاسبات و هنگام استفاده از فرمول های فیزیک نهم، معمولا این مقدار را $$10 text{ N/kg}$$ در نظر می‌گیریم. در این زمینه می‌توانید فیلم آموزش رایگان جرم چیست؟ + اندازه‌ گیری و تفاوت با وزن فرادرس را نیز مشاهده کنید.

مهم‌ترین مبحثی که در مورد نیرو و آثار آن وجود دارد، قوانین نیوتن است. در این بخش توضیح می‌دهیم این قوانین چه هستند و فرمول های فیزیک نهم مرتبط با هر کدام چیست.

قانون اول نیوتن یا قانون لختی یا قانون اینرسی بیان می‌کند که یک جسم حالت سکون یا حرکت یکنواخت خود روی خط راست را حفظ می‌کند، مگر آنکه تحت اثر نیروی خالص و نامتوازنی قرار بگیرد. بنابراین لختی (اینرسی) همان تمایل اجسام به حفظ حرکت اولیه خودشان است. هر چه جرم یک جسم بیشتر باشد، لختی آن نیز بیشتر است.

قانون دوم نیوتن یا قانون شتاب بیان می‌کند هرگاه به جسمی نیروی خالصی وارد شود، جسم در جهت آن نیرو، شتاب می‌گیرد. اندازه این شتاب با نیروی خالص رابطه مستقیم و با جرم جسم رابطه عکس دارد. فرمول قانون دوم نیوتن به شکل زیر است:

$$F_{net} = m cdot a implies a = frac{F_{net}}{m}$$

قانون سوم نیوتن یا قانون کنش و واکنش بیان می‌کند هرگاه جسم $$A$$ به جسم $$B$$ نیرو وارد کند، جسم $$B$$ نیز نیرویی هم‌اندازه، در همان راستا ولی در جهت مخالف به جسم $$A$$ وارد می‌کند. پس رابطه بین این دو نیرو به شکل زیر است:

$$F_{A to B} = -F_{B to A}$$

نکته مهم: نیروهای کنش و واکنش هرگز اثر یکدیگر را خنثی نمی‌کنند، زیرا هر کدام به دو جسم متفاوت وارد می‌شوند.

در بخش‌های قبل با نیرو و مهم‌ترین آثار آن آشنا شدید. در این بخش از بررسی فرمول های فیزیک نهم، توضیح می‌دهیم منظور از نیروهای متوازن و نامتوازن چیست. اگر به یک جسم چندین نیرو وارد شود و این نیروها اثر هم را خنثی کنند، طوری که نیروی خالص برآیند یا $$F_{net} = 0$$ شود، می‌گوییم نیروها متوازن هستند.

در این حالت طبق قانون اول نیوتن، اگر جسم ساکن باشد، ساکن می‌ماند و اگر در حال حرکت باشد، به حرکت یکنواخت خود با سرعت ثابت روی خط راست ادامه می‌دهد. در مقابل، اگر برآیند نیروهای وارد بر جسم صفر نباشد، یعنی داشته باشیم $$F_{net} neq 0$$، در این صورت نیروها نامتوازن هستند. در چنین شرایطی نوع حرکت جسم تغییر می‌کند و شتاب می‌گیرد.

در این بخش برای اینکه با کاربردهای فرمول های فیزیک نهم فصل دوم بیشتر آشنا شوید، چند نمونه سوال را در قالب مثال و سوالات چهار گزینه‌ای برای شما آماده کرد‌ه‌ایم. پیشنهاد می‌کنیم مطلب «فرمول اصطکاک جنبشی و اصطکاک ایستایی + نمونه سوال با جواب» را نیز در این زمینه مطالعه کنید.

به جعبه‌ای به جرم $$5 text{ kg}$$ که روی سطح افقی بدون اصطکاکی قرار دارد، دو نیروی افقی $$F_1 = 30 text{ N}$$ به سمت راست و $$F_2 = 10 text{ N}$$ به سمت چپ وارد می‌شود. شتاب حرکت جعبه را حساب کنید:

پاسخ

ابتدا برآیند نیروهای افقی یا نیروی خالص را حساب می‌کنیم، با این فرض که جهت راست مثبت است:

$$F_{net} = F_1 - F_2 = 30 - 10 = 20 text{ N} quad$$

حالا با استفاده از قانون دوم نیوتن شتاب را به‌دست می‌آوریم:

$$F_{net} = m cdot a implies 20 = 5 times a implies a = frac{20}{5} = 4 text{ m/s}^2$$

جرم فضانوردی به همراه تجهیزاتش $$120 text{ kg}$$ است. وزن این فضانورد را روی سطح زمین ($$g_E approx 10 text{ N/kg}$$) و روی سطح ماه ($$g_M approx 1.6 text{ N/kg}$$) حساب کنید:

پاسخ

نیروی وزن روی زمین برابر است با:

$$W_E = m cdot g_E = 120 times 10 = 1200 text{ N}$$

در حالی که وزن روی ماه می‌شود:

$$W_M = m cdot g_M = 120 times 1.6 = 192 text{ N}$$

نکته مهم در حل این سوال این است که جرم فضانورد در هر دو مکان برابر با همان $$120 text{ kg}$$ باقی می‌ماند.

خودرویی به جرم $$1000 text{ kg}$$ با سرعت $$20 text{ m/s}$$ در حال حرکت است. اگر راننده ترمز کند و خودرو پس از طی مسافت $$50$$ متر به‌طور کامل متوقف شود، نیروی اصطکاک خالص وارد شده بر خودرو چند نیوتون بوده است؟

پاسخ

ابتدا با کمک گرفتن از فرمول‌های حرکت، شتاب متوقف‌ کننده را حساب می‌کنیم. سرعت متوسط در این حرکت کندشونده عبارت است از:

$$v_{avg} = frac{v_1 + v_2}{2} = frac{20 + 0}{2} = 10 text{ m/s}$$

زمان توقف نیز برابر است با:

$$Delta t = frac{Delta x}{v_{avg}} = frac{50}{10} = 5 text{ s}$$

بنابراین شتاب خودرو برابر می‌شود با:

$$a = frac{v_2 - v_1}{Delta t} = frac{0 - 20}{5} = -4 text{ m/s}^2$$

حالا با استفاده از قانون دوم نیوتن، نیروی خالص (اصطکاک) را به‌دست می‌آوریم:

$$F_{net} = m cdot a = 1000 times (-4) = -4000 text{ N}$$

پس اندازه نیروی اصطکاک برابر با $$4000 text{ N}$$ و در خلاف جهت حرکت است.

جسمی به جرم $$4 text{ kg}$$ روی یک سطح افقی ساکن است. ضریب اصطکاک ایستایی بین جسم و سطح $$mu_s = 0.5$$ است ($$g = 10 text{ N/kg}$$). حداکثر نیروی اصطکاک ایستایی را حساب کنید و پاسخ دهید که اگر نیروی افقی $$F = 15 text{ N}$$ به جسم وارد شود، آیا جسم حرکت می‌کند؟ نیروی اصطکاک چقدر خواهد بود؟

پاسخ

دقت کنید در این نوع سوالات، نیروی عمودی تکیه‌گاه برابر با وزن جسم است:

$$N = W = m cdot g = 4 times 10 = 40 text{ N}$$

$$f_{s,max} = mu_s cdot N = 0.5 times 40 = 20 text{ N}$$

چون نیروی اعمال شده ($$15 text{ N}$$) از حداکثر نیروی اصطکاک ایستایی ($$20 text{ N}$$) کمتر است، پس جسم حرکت نمی‌کند. در حالت سکون، نیروی اصطکاک ایستایی دقیقا برابر با نیروی وارد شده است:

$$f_s = F = 15 text{ N}$$

جسمی به جرم $$3 text{ kg}$$ روی کف یک آسانسور قرار دارد. اگر این آسانسور با شتاب $$2 text{ m/s}^2$$ و به سمت بالا تند شونده حرکت کند، نیرویی که کف آسانسور به جسم وارد می‌کند چند نیوتون است ($$g = 10 text{ m/s}^2$$)؟

پاسخ

دقت کنید نیروهای وارد بر جسم در این سوال عبارت‌اند از:

چون جهت شتاب به سمت بالا است، پس برآیند نیروها در جهت بالا و مثبت خواهد بود:

$$F_{net} = N - W = m cdot a$$

$$N - 30 = 3 times 2$$

$$N - 30 = 6 implies N = 36 text{ N}$$

توضیح دهید یک شناگر چگونه با استفاده از قانون سوم نیوتن در آب به سمت جلو حرکت می‌کند؟

پاسخ

شناگر با دست‌ها و پاهای خود آب را به سمت عقب می‌راند (نیروی کنش). طبق قانون سوم نیوتن، آب نیز نیرویی هم‌اندازه و در جهت مخالف به شناگر وارد کرده و او را به سمت جلو می‌راند (نیروی واکنش). پس این نیروی واکنش آب، باعث پیشروی شناگر می‌شود.

دو جسم به جرم‌های $$m_1 = 2 text{ kg}$$ و $$m_2 = 3 text{ kg}$$ با طنابی سبک به هم متصل هستند و روی سطح صافی قرار دارند. اگر نیروی افقی $$F = 20 text{ N}$$ به جسم $$m_2$$ وارد شود، شتاب حرکت مجموعه برابر با کدام گزینه است؟

$$ 4 text{ m/s}^2$$

$$ -4 text{ m/s}^2$$

$$ 2 text{ m/s}^2$$

$$ -2 text{ m/s}^2$$

گزینه اول درست است. برای به دست آوردن شتاب کل سیستم، هر دو جسم را به عنوان یک سیستم واحد به جرم کل $$M = m_1 + m_2$$ در نظر می‌گیریم:

$$M_{total} = 2 + 3 = 5 text{ kg}$$

طبق قانون دوم نیوتن داریم:

$$F = M_{total} cdot a implies 20 = 5 times a implies a = 4 text{ m/s}^2$$

جسمی به جرم $$10 text{ kg}$$ با سرعت ثابت روی یک سطح افقی کشیده می‌شود. اگر نیروی افقی کشش برابر $$30 text{ N}$$ باشد، ضریب اصطکاک جنبشی ($$mu_k$$) سطح چقدر است ($$g = 10 text{ N/kg}$$)؟

$$ 0.6$$

$$ 0.3$$

$$ 0.2$$

$$ 0.9$$

گزینه دوم صحیح است. عبارت سرعت ثابت به معنای این است که شتاب صفر است ($$a = 0$$) و نیروها متوازن هستند ($$F_{net} = 0$$). پس نیروی کشش افقی با نیروی اصطکاک جنبشی برابر است:

$$f_k = F = 30 text{ N}$$

نیروی عمودی تکیه‌گاه نیز برابر می‌شود با:

$$N = m cdot g = 10 times 10 = 100 text{ N}$$

در نهایت محاسبه ضریب اصطکاک جنبشی را انجام می‌دهیم:

$$f_k = mu_k cdot N implies 30 = mu_k times 100 implies mu_k = frac{30}{100} = 0.3$$

در فصل فشار و آثار آن مباحث زیر را خواهید آموخت:

همچنین مهم‌ترین فرمول‌های فیزیک نهم فصل سوم را در جدول زیر مرور می‌کنیم:

در این بخش با استفاده از فلش‌کارت‌های زیر می‌توانید مروری داشته باشید بر مهم‌ترین نکات و فرمول‌های فیزیک نهم فصل سوم. با کلیک دوم روی هر فلش‌کارت، محتوای پشت آن قابل‌مشاهده است:

فشار به معنای اندازه نیروی عمودی وارد شده بر واحد سطح است. بنابراین اثر یک نیرو همیشه فقط به اندازه آن نیرو بستگی ندارد، بلکه به مساحتی که نیرو روی آن پخش می‌شود نیز وابسته است. به عنوان مثال، وقتی که با یک کفش پاشنه‌بلند روی برف راه می‌روید، به دلیل کوچک بودن سطح تماس شما با برف یا $$ A $$، فشار بسیار زیادی وارد شده و پاشنه در برف فرو می‌رود. اما اگر با استفاده از چوب اسکی (سطح تماس بزرگتر) راه بروید، فشار کمتری به برف وارد کرده و روی آن سر می‌خورید.

فرمول اصلی فشار به شکل زیر است:

$$P = frac{F}{A}$$

که در آن $$P $$ فشار بر حسب پاسکال، $$A$$ مساحت سطح بر حسب متر مربع و $$F$$ نیرو بر حسب نیوتن است. طبق این فرمول می‌توانیم رابطه فشار را با نیرو و سطح به شکل زیر در نظر بگیریم:

جامدات به دلیل داشتن شکل و حجم مشخص فقط به سطحی که روی آن قرار گرفته‌اند، نیرو و فشار وارد می‌کنند. نیروی وارد شده از طرف یک جسم جامد و ساکن بر سطح زیر آن معمولا برابر است با وزن آن جسم.

بر خلاف جامدات، مایعات به دلیل روان بودن و نداشتن شکل مشخص نه تنها به کف ظرفی که در آن قرار دارند، فشار وارد می‌کنند، بلکه به دیواره‌های آن ظرف و هر جسمی که در داخل آن‌ها غوطه‌ور باشد نیز فشار وارد می‌کنند. فرمول فشار یک ستون از مایع به شکل زیر است:

$$P = rho cdot g cdot h$$

که در آن $$P $$ فشار بر حسب پاسکال، $$h$$ عمق مایع بر حسب متر، $$rho$$ چگالی بر حسب کیلوگرم بر متر مکعب و $$ g $$ شتاب جاذبه زمین است. طبق این فرمول می‌توانیم اثر پارامترهای زیر را در فشار مایعات مهم در نظر بگیریم:

نکته مهم این است که فشار در یک عمق مشخص از یک مایع ساکن، به شکل ظرف، حجم کل مایع یا مساحت کف ظرف بستگی ندارد.

طبق اصل پاسکال، هرگاه به بخشی از یک مایع محصور یا محبوس در یک ظرف بسته فشاری وارد شود، این فشار بدون کاهش به تمام بخش‌های مایع و دیواره‌های ظرف منتقل می‌شود. کاربرد اصلی این اصل در اهرم‌های هیدرولیکی، جک‌های هیدرولیک خودرو، ترمز ماشین و صندلی‌های دندان‌پزشکی است که با اعمال یک نیروی کوچک روی سطح کوچک، می‌توان نیروی بسیار بزرگی روی سطح بزرگتر ایجاد کرد. فرمول قضیه پاسکال به شکل زیر است:

$$frac{F_1}{A_1} = frac{F_2}{A_2}$$

در بخش حل مثال‌ها با نحوه استفاده از این بخش از فرمول های فیزیک نهم بیشتر آشنا خواهید شد.

می‌دانیم هوا نیز دارای جرم است و کره زمین را لایه‌ای از ضخامت گازی به نام جو یا اتمسفر احاطه کرده است. بنابراین فشار هوا بر اثر وزن ستون هوای بالای سر ما ایجاد می‌شود. هر چه از سطح دریاهای آزاد به سمت ارتفاعات بالا برویم، ضخامت ستون هوای بالای سر ما و چگالی هوا کاهش می‌یابد. بنابراین فشار هوا با افزایش ارتفاع، کاهش پیدا می‌کند.

فشار هوا در سطح دریا برابر با ارتفاع ستون جیوه‌ای به طول $$76 text{ cm} =760 text{ mmHg}$$ یا حدود $$100000 text{ Pa} =10^5 text{ Pa} $$ اندازه‌گیری می‌شود. دانشمند ایتالیایی به نام «اوانجلیستا توریچلی» (Torricelli) راهی برای اندازه‌گیری دقیق فشار هوا ابداع کرد. او مطابق شکل زیر، لوله‌ای شیشه‌ای به طول یک متر که یک سر آن بسته بود را پر از جیوه کرد. سپس انگشت خود را روی سر باز لوله گذاشت، آن را وارونه کرد و درون ظرفی پر از جیوه قرار داد.

او مشاهده کرد که جیوه کمی پایین می‌آید، اما در ارتفاع $$760 text{ mm}$$ متوقف می‌شود. علت تخلیه نشدن جیوه این بود که فشار هوای بیرون روی سطح آزاد جیوه‌ درون ظرف نیرو وارد می‌کرد و مانع از پایین آمدن بیشتر ستون جیوه درون لوله می‌شد. پس می‌توانیم نتیجه‌گیری کنیم که فشار هوا دقیقا با فشار ستون جیوه‌ای به ارتفاع ۷۶ سانتی‌متر برابری می‌کند.

در این بخش برای اینکه با کاربردهای فرمول های فیزیک نهم مبحث فشار بیشتر آشنا شوید، چند نمونه سوال را در قالب مثال و سوالات چهار گزینه‌ای برای شما آماده کرد‌ه‌ایم.

مکعبی فلزی به جرم $$12 text{ kg}$$ و ابعاد $$10 text{ cm} times 20 text{ cm} times 30 text{ cm}$$ روی یک میز قرار دارد. کمترین فشار و بیشترین فشاری که این مکعب می‌تواند به سطح میز وارد کند چند پاسکال است ($$g = 10 text{ N/kg}$$)؟

پاسخ

نیروی وارد شده از سمت مکعب به سطح برابر با وزن آن است:

$$F = W = m cdot g = 12 times 10 = 120 text{ N}$$

کمترین فشار زمانی رخ می‌دهد که جسم روی بزرگترین سطح قرار بگیرد:

$$A_{max} = 0.2 text{ m} times 0.3 text{ m} = 0.06 text{ m}^2$$

$$P_{min} = frac{F}{A_{max}} = frac{120}{0.06} = 2000 text{ Pa}$$

بیشترین فشار نیز زمانی رخ می‌دهد که جسم روی کوچکترین سطح قرار بگیرد:

$$A_{min} = 0.1 text{ m} times 0.2 text{ m} = 0.02 text{ m}^2$$

$$P_{max} = frac{F}{A_{min}} = frac{120}{0.02} = 6000 text{ Pa}$$

عمق استخر پر از آبی برابر با $$4 text{ m}$$ است. فشار ناشی از خود آب در کف استخر چند پاسکال و چند کیلو پاسکال است، اگر داشته باشیم $$rho_{water} = 1000 text{ kg/m}^3$$ و $$g = 10 text{ N/kg}$$؟

پاسخ

دقت کنید در این سوال فقط فشار ناشی از خود مایع یعنی فشار پیمانه‌ای خواسته شده است:

$$P = rho cdot g cdot h = 1000 times 10 times 4 = 40000 text{ Pa}$$

برای تبدیل به کیلوپاسکال ($$text{kPa}$$)، عدد به دست آمده را بر $$1000$$ تقسیم می‌کنیم:

$$P = frac{40000}{1000} = 40 text{ kPa}$$

غواصی در عمق $$15$$ متری یک دریاچه مشغول غواصی است. اگر فشار هوا در سطح آب برابر با $$100 text{ kPa}$$ باشد، فشار کل وارد شده به بدن غواص چند پاسکال است ($$rho_{water} = 1000 text{ kg/m}^3$$)؟

پاسخ

فشار کل یا فشار مطلق برابر است با مجموع فشار جو روی سطح آب و فشار ستون آب بالای سر غواص:

$$P_{water} = rho cdot g cdot h = 1000 times 10 times 15 = 150000 text{ Pa} = 150 text{ kPa}$$

$$P_{total} = P_0 + P_{water} = 100 text{ kPa} + 150 text{ kPa} = 250 text{ kPa} = 250000 text{ Pa}$$

در یک بالابر هیدرولیکی، مساحت پیستون کوچک $$20 text{ cm}^2$$ و مساحت پیستون بزرگ $$1000 text{ cm}^2$$ است. اگر نیرویی برابر با $$150 text{ N}$$ به پیستون کوچک وارد شود، پیستون بزرگ چه نیرویی بر حسب نیوتون می‌تواند ایجاد کند؟

پاسخ

طبق اصل پاسکال، فشار در دو طرف چنین سیستمی برابر است با:

دقت کنید نیاز به تبدیل واحد مساحت‌ها نیست، چون نسبت آن‌ها مدنظر است. پس با جایگذاری مقادیر داریم:

$$frac{150}{20} = frac{F_2}{1000} implies 7.5 = frac{F_2}{1000} implies F_2 = 7.5 times 1000 = 7500 text{ N}$$

در یک لوله U شکل، دو مایع مخلوط‌نشدنی در حال تعادل قرار دارند. اگر ارتفاع ستون مایع اول با چگالی $$rho_1 = 0.8 text{ g/cm}^3$$ برابر با $$20 text{ cm}$$ باشد، ارتفاع ستون مایع دوم با چگالی $$rho_2 = 1.6 text{ g/cm}^3$$ چقدر خواهد بود؟

پاسخ

دقت کنید در یک لوله U شکل و در هم‌سطح‌ترین نقاط مایع یکسان، فشار دو طرف برابر است. پس داریم:

$$P_1 = P_2 implies rho_1 cdot g cdot h_1 = rho_2 cdot g cdot h_2$$

عامل $$g$$ از دو طرف ساده می‌شود:

$$rho_1 cdot h_1 = rho_2 cdot h_2$$

و با جایگذاری مقادیر خواهیم داشت:

$$0.8 times 20 = 1.6 times h_2 implies 16 = 1.6 times h_2 implies h_2 = frac{16}{1.6} = 10 text{ cm}$$

اگر خروجی یک سرنگ را با انگشت محکم ببندیم و پیستون آن را به داخل فشار دهیم، فشار هوای داخل سرنگ چه تغییری می‌کند؟ دلیل آن را با قانون فشار بیان کنید:

پاسخ

با فشردن پیستون به سمت داخل، حجم هوای محبوس کاهش پیدا می‌کند. این کاهش حجم باعث می‌شود مولکول‌های گاز مسافت کمتری برای برخورد با دیواره‌ها طی کنند و تعداد برخورد مولکول‌های گاز در واحد سطح افزایش یابد. در نتیجه، فشار هوای داخل سرنگ افزایش پیدا می‌کند.

اگر به ازای هر $$10$$ متر افزایش ارتفاع از سطح دریا، فشار هوا حدود $$100 text{ Pa}$$ کاهش یابد، فشار هوا در بالای کوهی به ارتفاع $$2500$$ متر چند پاسکال است (فشار در سطح دریا را $$100000 text{ Pa}$$ فرض کنید)؟

$$100000 text{ Pa}$$

$$25000 text{ Pa}$$

$$175000 text{ Pa}$$

$$75000 text{ Pa}$$

گزینه آخر صحیح است. برای محاسبه مقدار کاهش فشار به شکل زیر عمل می‌کنیم:

$$ = left( frac{2500}{10} right) times 100 = 250 times 100 = 25000 text{ Pa}$$

و محاسبه فشار نهایی در بالای کوه به صورت زیر خواهد شد:

$$100000 - 25000 = 75000 text{ Pa}$$

دو ظرف با شکل‌های متفاوت (یکی استوانه‌ای و دیگری مخروطی) دارای مساحت کف یکسان هستند و تا ارتفاع یکسان $$20 text{ cm}$$ از روغن پر شده‌اند. فشار روغن در کف کدام ظرف بیشتر است؟

هر دو ظرف فشار برابری دارند.

ظرف استوانه‌ای

ظرف مخروطی

هیچ‌کدام

گزینه اول صحیح است. طبق فرمول $$P = rho cdot g cdot h$$، فشار مایعات فقط و فقط به چگالی مایع ($$rho$$)، شتاب گرانش ($$g$$) و ارتفاع مایع ($$h$$) بستگی دارد. از آنجا که هر دو ظرف حاوی مایعی یکسان (روغن) بوده و ارتفاع روغن در آن‌ها برابر است، پس فشار در کف هر دو ظرف کاملا یکسان است و شکل ظرف یا جرم کل مایع هیچ تاثیری روی فشار کف ظرف ندارد.

آخرین فصلی از کتاب علوم نهم که به یک مبحث فیزیکی اختصاص داده شده است، فصل ماشین‌ها و انواع آن با عناوین زیر است:

مهم‌ترین فرمول‌های فیزیک نهم فصل چهارم در جدول زیر نشان داده شده است:

در این بخش با استفاده از فلش‌کارت‌های زیر می‌توانید مروری داشته باشید بر مهم‌ترین نکات و فرمول‌های فیزیک نهم فصل ماشین‌ها و انواع آن. با کلیک دوم روی هر فلش‌کارت، محتوای پشت آن قابل‌مشاهده است:

به هر وسیله‌ای که با تغییر اندازه، جهت، مسافت یا سرعت انتقال نیرو، انجام کارها را برای انسان‌ها ساده‌تر و راحت‌تر می‌کند، ماشین گفته می‌شود. ماشین‌ها به خودی خود کار اضافه تولید نمی‌کنند، چون طبق قانون پایستگی انرژی، کار خروجی هرگز نمی‌تواند از کار ورودی بیشتر باشد. بنابراین ماشین‌ها نحوه انجام کار را تغییر می‌دهند.

کمکی که یک ماشین به راحت‌تر شدن انجام کارها برای ما می‌کند، به یکی از این روش‌ها انجام می‌شود:

اولین قدم برای درک بهتر عملکرد ماشین‌های ساده و فرمول‌های فیزیک نهم مربوط به این ابزارها این است که با مفاهیم بنیادی مانند کار ورودی، کار خروجی و مزیت مکانیکی آشنا شوید. به فهرست زیر توجه کنید:

فرمول مزیت مکانیکی بر اساس این تعریف‌ها به شکل زیر است:

$$A = frac{F_R}{F_E}$$

طبق فرمول بالا برای مزیت مکانیکی سه حالت ممکن است پیش بیاید که توضیح هر کدام به شکل زیر است:

اهرم میله‌ای صلب است که حول نقطه‌ای به نام تکیه‌گاه می‌چرخد. در اهرم‌ها، فاصله تکیه‌گاه تا محل اعمال نیروی محرک را بازوی محرک ($$L_E$$) و فاصله تکیه‌گاه تا نیروی مقاوم را بازوی مقاوم ($$L_R$$) می‌نامیم. اهرم‌ها بر اساس محل قرارگیری تکیه‌گاه، نیروی محرک و نیروی مقاوم به سه دسته تقسیم می‌شوند:

قرقره یک چرخ شیاردار است که حول محوری می‌چرخد و طنابی از روی شیار آن می‌گذرد. سه نوع قرقره داریم:

در انتهای این فصل، توضیح می‌دهیم سایر ماشین‌های ساده یعنی گوه، سطح‌ شیبدار و پیچ چگونه تعریف می‌شوند:

در این بخش برای اینکه با کاربردهای فرمول های فیزیک نهم مبحث انواع ماشین بیشتر آشنا شوید، چند نمونه سوال را در قالب مثال و سوالات چهار گزینه‌ای برای شما آماده کرد‌ه‌ایم.

با استفاده از یک اهرم، با اعمال نیروی محرک $$200 text{ N}$$ توانسته‌ایم صخره‌ای به وزن $$1000 text{ N}$$ را جابجا کنیم. مزیت مکانیکی واقعی این اهرم چقدر است؟

پاسخ

نیروی مقاوم همان وزن صخره ($$F_R = 1000 text{ N}$$) و نیروی محرک $$F_E = 200 text{ N}$$ است:

$$A = frac{F_R}{F_E} = frac{1000}{200} = 5$$

نتیجه می‌گیریم که این اهرم نیروی ورودی ما را پنج برابر کرده است.

در یک اهرم نوع اول، طول بازوی مقاوم $$30 text{ cm}$$ است. برای اینکه با نیروی $$50 text{ N}$$ بتوانیم وزنه $$250 text{ N}$$ را به حالت تعادل درآوریم، طول بازوی محرک باید چند سانتی‌متر باشد؟

پاسخ

می‌دانیم در حالت تعادل، طبق رابطه مزیت مکانیکی ایده‌آل و واقعی به شکل زیر است:

$$frac{F_R}{F_E} = frac{L_E}{L_R} implies frac{250}{50} = frac{L_E}{30}$$

$$5 = frac{L_E}{30} implies L_E = 5 times 30 = 150 text{ cm}$$

جابجایی یک جعبه $$600 text{ N}$$ روی یک سطح شیبدار بی‌اصطکاک به طول $$12 text{ m}$$ و ارتفاع $$3 text{ m}$$ صورت می‌گیرد. مزیت مکانیکی این سطح شیبدار و نیروی افقی لازم برای بالا بردن جعبه چقدر است؟

پاسخ

مزیت مکانیکی سطح شیب‌دار به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$$A = frac{L}{h} = frac{12}{3} = 4$$

سپس محاسبه نیروی محرک را داریم:

$$A = frac{F_R}{F_E} implies 4 = frac{600}{F_E} implies F_E = frac{600}{4} = 150 text{ N}$$

فردی برای بالا بردن یک وزنه $$400 text{ N}$$ تا ارتفاع $$2 text{ m}$$ با استفاده از یک قرقره، طناب را به اندازه $$4 text{ m}$$ با نیروی $$250 text{ N}$$ می‌کشد. بازده (راندمان) این قرقره چند درصد است؟

پاسخ

کار مفید خروجی ($$W_{out}$$) عبارت‌ است از:

$$W_{out} = F_R cdot d_R = 400 times 2 = 800 text{ J}$$

همچنین کار کل ورودی ($$W_{in}$$) برابر می‌شود با:

$$W_{in} = F_E cdot d_E = 250 times 4 = 1000 text{ J}$$

بنابراین محاسبه بازده به شکل زیر است:

$$text{Efficiency} = left(frac{W_{out}}{W_{in}}right) times 100 = left(frac{800}{1000}right) times 100 = 80%$$

در یک سیستم قرقره مرکب، شامل دو قرقره متحرک و یک قرقره ثابت با طناب‌کشی استاندارد، برای بالا بردن یک وزنه $$120 text{ kg}$$ به اندازه $$1 text{ m}$$، چند نیوتون نیرو و چند متر کشیدن طناب لازم است ($$g = 10 text{ N/kg}$$ و ماشین بدون اصطکاک فرض می‌شود)؟

پاسخ

در این سوال نیروی مقاوم برابر با وزن جسم است:

$$F_R = m cdot g = 120 times 10 = 1200 text{ N}$$

پس مزیت مکانیکی سیستمی با دو قرقره متحرک برابر است با (شمارش چهار رشته طناب متصل به قرقره‌های متحرک):

$$A = 2^2 = 4$$

$$F_E = frac{F_R}{A} = frac{1200}{4} = 300 text{ N}$$

بنابراین مقدار کشش طناب می‌شود:

$$A = frac{d_E}{d_R} implies 4 = frac{d_E}{1} implies d_E = 4 text{ m}$$

مکانیکی با استفاده از یک آچار به طول $$25 text{ cm}$$ نیروی عمودی $$80 text{ N}$$ را بر انتهای آچار وارد می‌کند تا پیچی را بچرخاند. گشتاور نیروی وارد شده چند نیوتون‌متر است؟

$$ 10 text{ N}cdottext{m}$$

$$ 20 text{ N}cdottext{m}$$

$$ 30 text{ N}cdottext{m}$$

$$ 40 text{ N}cdottext{m}$$

گزینه دوم درست است. ابتدا طول آچار را به واحد متر تبدیل می‌کنیم:

$$d = 25 text{ cm} = 0.25 text{ m}$$

حالا به محاسبه گشتاور نیرو می‌پردازیم:

$$tau = F cdot d = 80 times 0.25 = 20 text{ N}cdottext{m}$$

نوع اهرم در مورد هر یک از وسایل زیر به ترتیب در کدام گزینه درست آمده است؟

نوع یک، نوع سه، نوع دو

نوع دو، نوع یک، نوع سه

نوع دو، نوع سه، نوع یک

نوع یک، نوع دو، نوع سه

گزینه آخر درست است.

در انتهای این مطلب از مجله فرادرس، می‌توانید با پاسخ دادن به ده سوال چهار گزینه‌ای زیر میزان تسلط خود به فرمول های فیزیک نهم را بیازمایید.

خودرویی مسافت $$400$$ متر را در مدت زمان $$20$$ ثانیه با تندی ثابت طی می‌کند. شتاب متوسط خودرو در این بازه زمانی چقدر است؟

$$20 text{ m/s}^2$$

$$ -20 text{ m/s}^2$$

$$40 text{ m/s}^2$$

$$0 text{ m/s}^2$$

گزینه آخر صحیح است. چون در صورت مسئله ذکر شده است که خودرو با تندی ثابت حرکت می‌کند و مسیر نیز مستقیم فرض شده، پس سرعت اولیه و ثانویه با هم برابر هستند ($$v_1 = v_2$$):

$$Delta v = v_2 - v_1 = 0 implies a_{avg} = frac{0}{Delta t} = 0 text{ m/s}^2$$

دقت کنید هرگاه سرعت تغییر نکند، شتاب همواره صفر است.

چتربازی به جرم $$80 text{ kg}$$ از داخل یک هواپیما بیرون می‌پرد. هنگامی که به سرعت حد می‌رسد، نیروی مقاومت هوای وارد بر او چند نیوتون است ($$g = 10 text{ N/kg}$$)؟

$$ 200 text{ N}$$

$$ 400 text{ N}$$

$$ 600 text{ N}$$

$$ 800 text{ N}$$

گزینه آخر درست است. می‌دانیم سرعت حد زمانی رخ می‌دهد که نیروی مقاومت هوا (به سمت بالا) با نیروی وزن سقوط آزاد (به سمت پایین) برابر شود. در این حالت نیروی خالص صفر شده و شتاب چترباز صفر می‌شود، یعنی با سرعت ثابت سقوط می‌کند:

$$F_{air} = W = m cdot g = 80 times 10 = 800 text{ N}$$

به جسمی نیروی خالص $$F$$ وارد می‌شود و شتاب $$a$$ می‌گیرد. اگر جرم جسم را دو برابر کنیم و نیروی وارد بر آن را سه برابر کنیم، شتاب جدید چند برابر شتاب اولیه خواهد شد؟

دو برابر

یک و نیم برابر

سه برابر

مساوی هستند.

گزینه دوم صحیح است. با کمک گرفتن از فرمول $$a = frac{F}{m}$$، داریم:

$$a_1 = frac{F}{m}$$

در حالت جدید نیز با $$F_2 = 3F$$ و $$m_2 = 2m$$، خواهیم داشت:

$$a_2 = frac{F_2}{m_2} = frac{3F}{2m} = frac{3}{2} left(frac{F}{m}right) = 1.5 a_1$$

پس شتاب جدید $$1.5$$ برابر شتاب اولیه می‌شود.

در صورتی که فشار جو برابر با $$10^5 text{ Pa}$$ باشد، نیروی فشار هوا که به پنجره‌ای با ابعاد $$1.5 text{ m} times 2 text{ m}$$ وارد می‌شود، چند نیوتون است؟

$$ 3 times 10^5 text{ N}$$

$$ 2 times 10^5 text{ N}$$

$$ 3 times 10^7 text{ N}$$

$$ 2 times 10^7 text{ N}$$

گزینه اول درست است. ابتدا به محاسبه مساحت پنجره می‌پردازیم:

$$A = 1.5 times 2 = 3 text{ m}^2$$

سپس نیرو را با بازنویسی رابطه فشار ($$F = P cdot A$$) پیدا می‌کنیم:

$$F = 10^5 times 3 = 300,000 text{ N} = 3 times 10^5 text{ N}$$

چرا دیواره سدهای بتنی را در بخش‌های پایین‌تر و کف بسیار ضخیم‌تر از بخش‌های بالایی می‌سازند؟

چون فشار وارد شده از طرف آب در بخش‌های عمیق سد بسیار کمتر از بخش‌های سطحی است.

چون فشار وارد شده از طرف آب در بخش‌های عمیق سد مساوی فشار بخش‌های سطحی است.

چون فشار وارد شده از طرف آب در بخش‌های عمیق سد بسیار بیشتر از بخش‌های سطحی است.

هیچ‌کدام

گزینه سوم درست است. طبق رابطه $$P = rho cdot g cdot h$$، فشار آب با افزایش عمق به صورت خطی افزایش پیدا می‌کند. بنابراین فشار وارد شده از طرف آب در بخش‌های عمیق سد بسیار بیشتر از بخش‌های سطحی است. در نتیجه برای تحمل این فشار عظیم و جلوگیری از شکستن سد، دیواره‌های سد را در قسمت‌های پایینی بسیار ضخیم‌تر طراحی می‌کنند.

چرا در ماشین‌های واقعی، مزیت مکانیکی واقعی همیشه از مزیت مکانیکی ایده‌آل کمتر است؟

چون در دنیای واقعی بخشی از نیروی ورودی همیشه صرف غلبه بر نیروی اصطکاک و وزن قطعات خود ماشین می‌شود.

چون در دنیای واقعی اصطکاک نداریم.

چون در دنیای واقعی بخشی از نیروی خروجی همیشه صرف غلبه بر نیروی اصطکاک و وزن قطعات خود ماشین می‌شود.

چون در دنیای واقعی نیروی خروجی مفید بیشتر از حالت تئوری و بدون اصطکاک خواهد بود.

گزینه اول درست است. چون در دنیای واقعی بخشی از نیروی ورودی ($$F_E$$) همیشه صرف غلبه بر نیروی اصطکاک و وزن قطعات خود ماشین می‌شود. بنابراین نیروی خروجی مفید ($$F_R$$) کمتر از حالت تئوری و بدون اصطکاک خواهد بود. در نتیجه داریم:

$$A_{text{واقعی}} = frac{F_R}{F_E} < frac{d_E}{d_R} = A_{text{ایده‌آل}}$$

جسمی به وزن $$400 text{ N}$$ روی سطح شیبداری به طول $$5 text{ m}$$ و ارتفاع $$2 text{ m}$$ قرار دارد و انتهای طناب آن به اهرمی با مزیت مکانیکی دو متصل است. نیروی محرک لازم برای نگه‌ داشتن سیستم در حال تعادل چقدر است (از اصطکاک صرف‌نظر کنید)؟

$$40 text{ N}$$

$$80 text{ N}$$

$$20 text{ N}$$

$$100 text{ N}$$

گزینه دوم صحیح است. مزیت مکانیکی سطح شیبدار برابر است با:

$$A_1 = frac{L}{h} = frac{5}{2} = 2.5$$

همچنین می‌دانیم مزیت مکانیکی کل ماشین‌های مرکب برابر با حاصل‌ضرب مزیت مکانیکی تک‌تک اجزا است. پس داریم:

$$A_{total} = A_1 times A_2 = 2.5 times 2 = 5$$

بنابراین محاسبه نیروی محرک ورودی به شکل زیر انجام می‌شود:

$$F_E = frac{F_R}{A_{total}} = frac{400}{5} = 80 text{ N}$$

اگر شیب یک سطح شیبدار را کاهش دهیم، طوری که ارتفاع ثابت بماند اما طول سطح افزایش یابد، نیروی لازم برای بالا بردن جسم و کار انجام شده چه تغییری می‌کنند؟

افزایش می‌یابد، ثابت می‌ماند.

کاهش می‌یابد، ثابت می‌ماند.

کاهش می‌یابد، افزایش می‌یابد.

افزایش می‌یابد، کاهش می‌یابد.

گزینه دوم درست است. با افزایش طول سطح ($$L$$)، طبق فرمول $$A = frac{L}{h}$$، مزیت مکانیکی بیشتر شده و نیروی لازم برای بالا بردن جسم کاهش می‌یابد. همچنین طبق قانون پایستگی انرژی، کار لازم برای انتقال جسم به ارتفاع مشخص $$h$$ برابر است با $$W = mgh$$ و به طول مسیر بستگی ندارد. پس مقدار کار انجام شده کاملا ثابت می‌ماند.

خودرویی به جرم $$1200 text{ kg}$$ که دارای چهار چرخ است، از حالت سکون با شتاب ثابت روی خط راست شروع به حرکت می‌کند. اگر پس از پنج ثانیه تندی آن به $$20 text{ m/s}$$ برسد، نیروی خالص وارد شده به خودرو برای ایجاد این حرکت چقدر است؟

$$ 8400 text{ N}$$

$$ 2800 text{ N}$$

$$ 4800 text{ N}$$

$$ 8200 text{ N}$$

گزینه سوم درست است. ابتدا با استفاده از فرمول شتاب متوسط، شتاب خودرو را حساب می‌کنیم:

$$a = frac{v_2 - v_1}{Delta t} = frac{20 - 0}{5} = 4 text{ m/s}^2$$

حالا با استفاده از قانون دوم نیوتن، نیروی خالص وارد بر خودرو را به‌دست می‌آوریم:

$$F_{net} = m cdot a = 1200 times 4 = 4800 text{ N}$$

یک بالابر هیدرولیکی را در نظر بگیرید که مساحت پیستون کوچک آن $$50 text{ cm}^2$$ و مساحت پیستون بزرگ آن $$2000 text{ cm}^2$$ است. اگر بخواهیم با اعمال نیرو به پیستون کوچک، جعبه‌ای به جرم $$800 text{ kg}$$ که روی پیستون بزرگ قرار گرفته را با سرعت ثابت بالا ببریم، چه نیروی محرکی ($$F_E$$) باید به پیستون کوچک وارد کنیم ($$g = 10 text{ N/kg}$$)؟

$$ 200 text{ N}$$

$$ 2000 text{ N}$$

$$ 400 text{ N}$$

$$ 8000 text{ N}$$

گزینه اول درست است. نیروی خروجی (مقاوم) روی پیستون بزرگ برابر با وزن جعبه است:

$$F_R = W = m cdot g = 800 times 10 = 8000 text{ N}$$

طبق اصل پاسکال، فشار روی هر دو پیستون برابر است:

$$frac{F_E}{A_1} = frac{F_R}{A_2} implies frac{F_E}{50} = frac{8000}{2000}$$

$$frac{F_E}{50} = 4 implies F_E = 4 times 50 = 200 text{ N}$$

ملاحظه می‌کنید که با اعمال نیروی کوچک $$200 text{ N}$$، نیروی بزرگ $$8000 text{ N}$$ ایجاد می‌شود.

نوشته فرمول های فیزیک نهم در یک نگاه + مثال و تمرین اولین بار در فرادرس - مجله‌. پدیدار شد.