نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول – به زبان ساده؛ با جواب

اولین فصل از کتاب ریاضی پایه نهم در مورد مجموعه‌ها و احتمال است. در این فصل یاد می‌گیرید مجموعه چیست، چگونه نمایش داده می‌شود و اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه‌ها چه مشخصه‌هایی دارند. در ادامه با احتمال و فرمول‌های آن نیز آشنا می‌شوید. این مطلب از مجله فرادرس به حل و ارزیابی چندین نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول اختصاص داده شده است تا به این مباحث جامعا مسلط شوید.

فصل اول ریاضی نهم شامل چهار درس است که در ادامه فهرست شده‌اند:

پیش از اینکه به ارزیابی شرحات و حل انواع نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول بپردازیم، در این بخش با استفاده از فلش‌کارت‌های زیر می‌توانید مروری داشته باشید بر مهم‌ترین نکات و فرمول‌های این فصل. با کلیک دوم روی هر فلش‌کارت، محتوای پشت آن قابل‌مشاهده است:

به دسته‌ای از اشیاء، اعداد یا موجودات مشخص و جامعا متمایز که قابل‌شمارش یا تشخیص باشند، مجموعه می‌گوییم. دو شرط اصلی برای مجموعه بودن به این صورت است که:

منظور از شرط اول این است که عضویت هر عضو در آن مجموعه مشخص باشد و سلایق شخصی در آن دخیل نباشد. برای نمونه، «اعداد طبیعی یک‌رقمی» یا «پایتخت‌های کشورهای آسیا» مجموعه‌هایی هستند که در آن‌ها اعضا جامعا مشخص و بدون ابهام‌اند. اما «شاعر بزرگ ایران» یا «چند عدد زوج» مجموعه محسوب نمی‌شوند، چون کلماتی مانند بزرگ، خوب یا چند مبهم و سلیقه‌ای هستند. در مورد دومین شرط نیز اگر عضوی در یک مجموعه چند بار نوشته شود، فقط یک‌ بار حساب می‌شود. برای مثال، مجموعه حروف کلمه «دانا» برابر است با:

{د, ا, ن}

مجموعه‌ها را معمولا با حروف بزرگ انگلیسی مانند $$A, B, C$$ نمایش می‌دهند. در ادامه اعضای مجموعه داخل دو آکولاد { } قرار می‌گیرند و با کاما یا ویرگول از هم جدا می‌شوند. برای مثال، مجموعه اعداد اول یک رقمی را اگر $$A$$ بنامیم، به شکل زیر نمایش داده می‌شود:

$$ A = {2, 3,5, 7}$$

از سوی دیگر اگر $$x$$ عضوی از مجموعه $$A$$ باشد، می‌نویسیم $$x in A$$ که خوانده می‌شود:

$$x$$ عضو $$A$$ است.

اما اگر $$x$$ عضوی از مجموعه $$A$$ نباشد، می‌نویسیم $$x notin A$$  که خوانده می‌شود:

$$x$$ عضو $$A$$ نیست.

ترتیب نوشتن اعضا داخل آکولاد هیچ تاثیری در ماهیت مجموعه ندارد. یعنی داریم:

$${1, 2, 3} = {3, 1, 2}$$

مجموعه‌ای که هیچ عضوی نداشته باشد را مجموعه تهی می‌نامیم. این مجموعه معمولا با نماد $$emptyset$$ یا $${}$$ نشان داده می‌شود. دقت کنید مجموعه‌هایی مانند $${emptyset}$$ یا $${0}$$ مجموعه تهی نیستند، بلکه مجموعه‌هایی تک‌عضوی هستند که اولی دارای یک عضو به نام نماد تهی و دومی دارای عضوی به نام عدد صفر است.

نمایش تصویری مجموعه‌ها به کمک یک منحنی بسته‌ (دایره یا بیضی) را نمودار ون می‌گوییم. برای رسم نمودار ون کافی است اسم مجموعه را در کنار منحنی بنویسیم و هر عضو را با یک نقطه داخل منحنی مشخص کنیم. در حالت کلی یک مجموعه مانند مجموعه اعداد طبیعی فرد کمتر از $$6$$ را می‌توان به سه روش اصلی نشان داد:

در این بخش به تحلیل چند نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول با تمرکز بر قابلیت‌های مجموعه خواهیم پرداخت.

کدامیک از گزینه‌های زیر حتما یک مجموعه را مشخص می‌کند؟

پاسخ

فقط دومین مورد یعنی اعداد طبیعی بین $$2$$ و $$3$$، یک مجموعه است. مورد اول عبارت یعنی سه عدد صحیح و زوج متوالی مشخص نیست و ابهام دارد، چون بی‌نهایت دسته سه‌تایی از اعداد زوج متوالی وجود دارد مانند دو مورد زیر:

$${2, 4, 6}$$

$${10, 12, 14}$$

بنابراین مشخص نبودن دقیق اعضا باعث می‌شود مورد اول مجموعه نباشد. در دومین مورد، عددی بین $$2$$ و $$3$$ وجود ندارد که عدد طبیعی باشد. بنابراین اعضای این مجموعه هیچ است. مجموعه تهی ($$emptyset$$) یک مجموعه جامعا مشخص و معتبر در درس ریاضی است. در سومین مورد عبارت چند عدد اول کوچکتر از $$20$$، سلیقه‌ای و مبهم است، چون تعداد و مشخصات اعداد تعیین نشده است. در نهایت در آخرین مورد کلمه معروف یک صفت کیفی و سلیقه‌ای است و از نظر افراد مختلف معیارهای متفاوتی دارد. پس نمی‌توان این عبارت را یک مجموعه دانست.

مجموعه $$A = {x mid x^2 = 9 , x in mathbb{W}}$$ چند عضو دارد؟

پاسخ

برای تعیین اعضای مجموعه $$A = {x mid x^2 = 9 , x in mathbb{W}}$$، ابتدا معادله درجه دوم زیر را حل می‌کنیم:

$$x^2 = 9 implies x = pm sqrt{9} $$

$$implies x = 3 text{ یا } x = -3$$

شرط دوم سوال این است که $$x in mathbb{W}$$ باشد. می‌دانیم $$mathbb{W}$$ مجموعه اعداد حسابی یعنی $${0, 1, 2, 3, dots}$$ است. پس $$3 in mathbb{W}$$ است، اما در مورد ریشه دیگر داریم $$-3 notin mathbb{W}$$. بنابراین این مجموعه تنها دارای یک عضو است، یعنی $$A = {3}$$ و تعداد اعضای آن برابر با $$1$$ است یا $$n(A) = 1$$.

اگر مجموعه‌ای به شکل $$B = {a, {b}, emptyset}$$ باشد، کدامیک از عبارت‌های زیر نادرست است؟

پاسخ

اعضای مجموعه $$B = {a, {b}, emptyset}$$ دقیقا شامل سه عنصر زیر هستند:

حالا به تحلیل درستی یا نادرستی گزینه‌های داده شده می‌پردازیم:

تعداد اعضای مجموعه $$C = {x in mathbb{N} mid -2 < x le 3}$$ چقدر است؟

پاسخ

ابتدا شرط مجموعه را تحلیل می‌کنیم. مجموعه $$C = {x in mathbb{N} mid -2 < x le 3}$$ شامل اعدادی است که دو شرط را همزمان داشته باشند:

اعداد صحیحی که در بازه نامعادله بالا (شرط دوم) قرار دارند عبارت‌اند از:

$${-1, 0, 1, 2, 3}$$

از بین این اعداد، فقط اعداد مثبت طبیعی هستند:

$${1, 2, 3}$$

پس مجموعه $$C = {1, 2, 3}$$ دارای سه عضو است.

کدامیک از مجموعه‌های زیر تهی است؟

پاسخ

برای هر کدام از چهار گزینه بالا داریم:

مجموعه‌ای دارای چهار عضو متمایز است. اگر دو عضو به‌روز که تکراری هستند به آن اضافه کنیم، تعداد اعضای مجموعه نوین چقدر می‌شود؟

پاسخ

در بخش‌های قبل شرح دادیم که عضو تکراری در مجموعه نوشته نمی‌شود و اگر نوشته شود، فقط یکبار شمرده خواهد شد. تعداد اعضای اولیه مجموعه چهار عضو است که با اضافه کردن دو عضو نوین که خودشان تکراری هستند (یعنی قبلا در مجموعه وجود داشته‌اند یا با هم برابرند)، هیچ عضو نوین و متمایزی به مجموعه اضافه نمی‌شود. بنابراین تعداد اعضای مجموعه پس از این تغییر، بدون تغییر باقی می‌ماند و برابر با چهار خواهد بود.

در نمودار ون یک مجموعه، اگر پنج نقطه درون منحنی بسته رسم شده باشد و یکی از نقاط نشان‌دهنده کلمه تهی باشد، این مجموعه چند عضو دارد؟

پاسخ

در نمودار ون، هر نقطه داخل منحنی بسته نشان‌ دهنده یک عضو مجزا در مجموعه است. وجود پنج نقطه درون منحنی یعنی مجموعه دارای پنج عضو مستقل است. نوشته شدن کلمه تهی کنار یکی از نقاط به این معنی است که آن عضو خاص، مفهوم تهی دارد، نه اینکه مجموعه خالی باشد. بنابراین تعداد اعضا برابر با پنج است.

عبارت زیر مشخص‌ کننده چند عضو است؟

$$E = {(-1)^n mid n in mathbb{N}}$$

پاسخ

فرم کلی اعضای مجموعه $$E = {(-1)^n mid n in mathbb{N}}$$ به صورت $$(-1)^n$$ است که $$n$$ یک عدد طبیعی است ($$n in {1, 2, 3, 4, dots}$$):

با حذف اعضای تکراری، مقادیر خروجی به‌صورت متناوب فقط دو عدد $$-1$$ و $$1$$ هستند. پس مجموعه نهایی برابر است با: $$E = {-1, 1}$$ و این مجموعه دارای دو عضو است.

پیش از اینکه به سراغ انواع دیگر نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول برویم، در این بخش قصد داریم مروری داشته باشیم بر مهم‌ترین فیلم‌های آموزشی تهیه شده در مجموعه فرادرس با تمرکز بر کتاب‌های پایه نهم:

دومین درس برای حل نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول اختصاص دارد به شرح برابری و نمایش مجموعه‌ها. دو مجموعه $$A$$ و $$B$$ را برابر می‌گوییم، هرگاه هر عضو $$A$$ عضوی از $$B$$ باشد و هر عضو $$B$$ نیز عضوی از $$A$$ باشد. به زبان ریاضی برابری دو مجموعه را به شکل زیر می‌نویسیم:

$$A = B$$

در مورد برابر بودن مجموعه‌ها نکات زیر حتما توجه کنید:

مجموعه $$A$$ را زیرمجموعه $$B$$ می‌نامیم، هرگاه هر عضو $$A$$، عضوی از $$B$$ نیز باشد. زیر مجموعه را در ریاضیات به شکل $$A subseteq B$$ نشان می‌دهیم و خوانده می‌شود:

$$A$$ زیرمجموعه $$B$$ است.

اگر حداقل یک عضو در $$A$$ باشد که در $$B$$ نباشد، می‌نویسیم $$A nsubseteq B$$ و می‌خوانیم:

$$A$$ زیرمجموعه $$B$$ نیست.

خصوصیت‌های مهم زیرمجموعه عبارت‌اند از:

برای نمایش مجموعه‌های نامتناهی یا مجموعه اعدادی مانند $$mathbb{N}$$ و $$mathbb{Z}$$ و $$mathbb{R}$$، از نمادهای ریاضی به صورت زیر استفاده می‌شود:

$$A = {x in D mid P(x)}$$

که در آن $$x$$، متغیر عضوها، $$D$$ مجموعه مرجع مانند $$mathbb{N}$$ یا $$mathbb{Z}$$ و $$P(x)$$ شرط یا قابلیت اعضا است. برای مثال‌، دو مجموعه کاربردی زیر را ببینید:

مجموعه‌های مهم اعداد و رابطه زیرمجموعه‌ای آن‌ها نیز به شکل زیر است:

$$mathbb{N} subseteq mathbb{W} subseteq mathbb{Z} subseteq mathbb{Q} subseteq mathbb{R}$$

علاوه بر این پیشنهاد می‌کنیم برای آمادگی و جمع‌بندی بهتر، مطلب «نمونه سوال ریاضی هشتم با جواب – از صفر تا صد» از مجله فرادرس را مطالعه کنید.

در این بخش به تحلیل چند نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول با تمرکز بر درس دوم خواهیم پرداخت.

مجموعه $$A = {3x – 1 mid x in mathbb{W} , x < 4}$$ را با نوشتن اعضا مشخص کنید و تعداد اعضای آن را به‌دست آورید:

پاسخ 

طبق شرط داخل مجموعه، مقادیر $$x$$ باید متعلق به مجموعه اعداد حسابی ($$mathbb{W} = {0, 1, 2, 3, dots}$$) و کوچکتر از $$4$$ باشند. پس داریم:

$$x in {0, 1, 2, 3}$$

در مرحله دوم باید جایگذاری در فرمول $$3x – 1$$ را انجام دهیم:

$$x = 0 implies 3(0) – 1 = -1$$

$$x = 1 implies 3(1) – 1 = $$2

$$x = 2 implies 3(2) – 1 = 5$$

$$x = 3 implies 3(3) – 1 = 8$$

بنابراین $$A = {-1, 2, 5, 8}$$ و تعداد اعضای آن برابر با چهار است ($$n(A) = 4$$).

مجموعه $$B = {5, 10, 15, 20, dots}$$ را با نمادهای ریاضی (نمایش نمادین) بنویسید:

پاسخ

اعضای مجموعه $$B$$ مضارب مثبت عدد $$5$$ هستند. پس الگوی اعضا به صورت $$5k$$ است که در آن $$k$$ یک عدد طبیعی است:

$$B = {5k mid k in mathbb{N}}$$

اگر مجموعه $$C$$ دارای $$64$$ زیرمجموعه باشد، این مجموعه چند عضو دارد؟ اگر دو عضو به‌روز به این مجموعه اضافه شود، تعداد زیرمجموعه‌های مجموعه تازه چقدر خواهد بود؟

پاسخ

می‌دانیم فرمول تعداد زیرمجموعه‌ها $$2^n$$ است که در آن $$n$$ تعداد اعضاست. پس داریم:

$$2^n = 64 implies 2^n = 2^6 implies n = 6$$

بنابراین مجموعه اولیه دارای $$6$$ عضو است. در مرحله بعدی با اضافه شدن دو عضو به‌روز، تعداد اعضا برابر با $$6 + 2 = 8$$ می‌شود. بنابراین تعداد زیرمجموعه‌های مجموعه نوین عبارت است از:

$$2^8 = 256$$

با توجه به مجموعه‌های $$A = {x in mathbb{Z} mid -3 le x < 2}$$ و $$B = {x in mathbb{W} mid x le 3}$$، مشخص کنید رابطه $$A subseteq B$$ درست است یا نه؟ چرا؟

پاسخ

ابتدا به تعیین اعضای $$A$$ می‌پردازیم. اعداد صحیح در بازه $$[-3, 2)$$ عبارت‌اند از:

$$A = {-3, -2, -1, 0, 1}$$

سپس تعیین اعضای $$B$$ را داریم. تمام اعداد حسابی کوچکتر یا مساوی $$3$$ عبارت‌اند از:

$$B = {0, 1, 2, 3}$$

برای اینکه $$A subseteq B$$ باشد، باید تمام اعضای $$A$$ در $$B$$ حضور داشته باشند. اما اعضایی مانند $$-3 in A$$ وجود دارند که در $$B$$ نیستند، چون $$-3 notin mathbb{W}$$. پس رابطه $$A subseteq B$$ نادرست است.

اگر $$A = {2, {3}, emptyset}$$ باشد، درست یا نادرست بودن گزاره‌های زیر را مشخص کنید:

پاسخ

به ترتیب به مرور چهار گزاره بالا می‌پردازیم:

سومین درس از فصل اول ریاضی نهم در مورد اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه‌‌ها است. در این بخش ابتدا مروری داریم بر تعریف و نکات مهم در مورد این مباحث و سپس به ادامه حل نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول خواهیم پرداخت. اشتراک دو مجموعه $$A$$ و $$B$$ مجموعه‌ای است شامل تمام اعضایی که هم در $$A$$ و هم در $$B$$ وجود دارند (اعضای مشترک). نماد $$A cap B$$ که خوانده می‌شود $$A$$ اشتراک $$B$$ برای نشان دادن اشتراک دو مجموعه استفاده می‌شود:

$$A cap B = {x mid x in A text{ و } x in B}$$

دقت کنید در نمودار ون، اشتراک دو مجموعه برابر است با بخش هم‌پوشانی یا اشتراک دو دایره. اما اجتماع دو مجموعه $$A$$ و $$B$$ مجموعه‌ای است شامل تمام اعضایی که حداقل در یکی از دو مجموعه حضور دارند (همه اعضا بدون تکرار). نماد این اجتماع به شکل $$A cup B$$ است که خوانده می‌شود $$A$$ اجتماع $$B$$:

$$A cup B = {x mid x in A text{ یا } x in B}$$

در نمودار ون نیز اجتماع یعنی کل فضای داخل هر دو دایره با هم. تفاضل مجموعه $$A$$ از $$B$$ یعنی $$A – B$$ نیز مجموعه‌ای است شامل اعضایی که در $$A$$ هستند ولی در $$B$$ نیستند. نماد ریاضیاتی تفاضل دو مجموعه به‌صورت $$A – B$$ است که خوانده می‌شود $$A$$ منهای $$B$$:

$$A – B = {x mid x in A text{ و } x notin B}$$

نکته مهم این است که تفاضل خاصیت جابجایی ندارد، یعنی $$A – B neq B – A$$ است. در ادامه مهم‌ترین فرمول‌های مربوط به این بخش را ملاحظه می‌کنید:

$$A – B = A – (A cap B)$$

اگر $$A subseteq B$$ باشد، رابطه زیر برقرار است:

$$A cap B = A quad text{و} quad A cup B = B$$

در ادامه در این حالت داریم:

$$A – B = emptyset$$

فرمول تعداد اعضای اجتماع نیز به شکل زیر است:

$$n(A cup B) = n(A) + n(B) – n(A cap B)$$

در این بخش به مرور چند نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول با تمرکز بر سومین مبحث خواهیم پرداخت.

اگر مجموعه‌های $$A$$ و $$B$$ و $$C$$ به‌صورت زیر تعریف شده باشند:

$$A = {x in mathbb{Z} mid -2 le x < 3}$$

$$B = {x in mathbb{W} mid x le 4}$$

$$C = {2x mid x in mathbb{N} , x le 3}$$

مجموعه‌های زیر را با نوشتن اعضا مشخص کنید:

پاسخ

اعضای $$A$$ همان اعداد صحیح از $$-2$$ تا قبل از $$3$$ هستند. پس داریم:

$$A = {-2, -1, 0, 1, 2}$$

اعضای $$B$$ نیز اعداد حسابی کوچکتر یا مساوی $$4$$ هستند:

$$B = {0, 1, 2, 3, 4}$$

اعضای $$C$$ عبارت‌اند از زوج‌های حاصل از ضرب اعداد طبیعی $$1$$ تا $$3$$ در $$2$$:

$$x = 1 implies 2(1) = 2$$

$$x = 2 implies 2(2) = 4$$

$$x = 3 implies 2(3) = 6$$

$$C = {2, 4, 6}$$

حالا ابتدا اشتراک $$A$$ و $$B$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$A cap B = {0, 1, 2}$$

سپس تفاضل آن از $$C$$ را به‌دست می‌آوریم. دقت کنید اعضایی که در $$A cap B$$ هستند ولی در $$C$$ نیستند، این مجموعه را تشکیل می‌دهند:

$$(A cap B) – C = {0, 1, 2} – {2, 4, 6} = {0, 1}$$

در دومین مورد، ابتدا اجتماع $$A$$ و $$C$$ را به‌دست می‌آوریم:

$$A cup C = {-2, -1, 0, 1, 2, 4, 6}$$

سپس تفاضل آن را از $$B$$ حساب می‌کنیم. پس اعضایی از $$A cup C$$ که در $$B$$ حضور ندارند، عبارت‌اند از:

$$(A cup C) – B = {-2, -1, 0, 1, 2, 4, 6} – {0, 1, 2, 3, 4} = {-2, -1, 6}$$

اگر در یک کلاس $$30$$ نفره، تعداد $$18$$ نفر در گروه فوتبال، $$15$$ نفر در گروه والیبال و $$5$$ نفر در هیچ‌کدام از گروه‌ها عضو نباشند، چند نفر فقط در گروه فوتبال عضو هستند؟

پاسخ

اگر $$F$$ مجموعه فوتبالیست‌ها، $$V$$ مجموعه والیبالیست‌ها و $$U$$ کل دانش‌آموزان باشند، طبق صورت سوال $$n(U) = 30 $$ است. چون $$5$$ نفر در هیچ‌کدام از دو گروه ورزشی نیستند، پس تعداد کسانی که حداقل در یک رشته حضور دارند برابر می‌شود با:

$$n(F cup V) = 30 – 5 = 25$$

حالا طبق فرمول $$n(A cup B) = n(A) + n(B) – n(A cap B)$$، داریم:

$$n(F cup V) = n(F) + n(V) – n(F cap V)$$

$$25 = 18 + 15 – n(F cap V) $$

$$implies 25 = 33 – n(F cap V) implies n(F cap V) = 33 – 25 = 8$$

بنابراین $$8$$ نفر در هر دو رشته عضو هستند. حالا برای محاسبه کسانی که فقط فوتبال بازی می‌کنند، به این شکل عمل می‌کنیم:

$$n(F – V) = n(F) – n(F cap V) = 18 – 8 = 10$$

اگر داشته باشیم $$A subseteq B$$، حاصل عبارت زیر را پیدا کنید:

$$[(A cup B) – (A cap B)] cap A$$

پاسخ

دقت کنید وقتی که $$A subseteq B$$ باشد، اجتماع دو مجموعه برابر با مجموعه بزرگتر است:

$$A cup B = B$$

در ادامه اشتراک دو مجموعه نیز برابر با مجموعه کوچکتر است:

$$A cap B = A$$

دو برآیند بالا را در عبارت صورت سوال جایگذاری می‌کنیم:

$$(A cup B) – (A cap B) = B – A$$

حالا باید اشتراک $$(B – A)$$ و $$A$$ را بگیریم:

$$(B – A) cap A$$

طبق تعریف تفاضل، مجموعه $$B – A$$ هیچ عضو مشترکی با مجموعه $$A$$ ندارد، چون شامل اعضایی است که در $$A$$ نیستند. پس اشتراک آن‌ها با $$A$$ تهی است:

اگر $$A = {1, 2, 3, 4, 5}$$ و $$B = {3, 4, 6, 7}$$ باشند، نشان دهید که رابطه زیر همواره برقرار است:

$$(A – B) cup (B – A) = (A cup B) – (A cap B)$$

پاسخ

ابتدا سمت چپ یعنی تفاضل‌های قرینه را محاسبه می‌کنیم:

$$A – B = {1, 2, 3, 4, 5} – {3, 4, 6, 7} = {1, 2, 5}$$

$$B – A = {3, 4, 6, 7} – {1, 2, 3, 4, 5} = {6, 7}$$

اجتماع آن‌ها برابر است با:

$$(A – B) cup (B – A) = {1, 2, 5} cup {6, 7} = {1, 2, 5, 6, 7}$$

محاسبه سمت راست نیز به شکل زیر است:

$$A cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$$

$$A cap B = {3, 4}$$

تفاضل آن‌ها برابر می‌شود با:

$$(A cup B) – (A cap B) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} – {3, 4} = {1, 2, 5, 6, 7}$$

پس مقادیر هر دو طرف با هم برابر و رابطه اثبات شد.

اگر مجموعه $$A$$ دارای $$5$$ عضو، مجموعه $$B$$ دارای $$7$$ عضو و اشتراک آن‌ها $$A cap B$$ دارای $$2$$ عضو باشد، تعداد زیرمجموعه‌های مجموعه $$B – A$$ چقدر است

پاسخ

ابتدا تعداد اعضای $$B – A$$ را حساب می‌کنیم. طبق فرمول تعداد اعضای تفاضل داریم:

$$n(B – A) = n(B) – n(A cap B)$$

$$n(B – A) = 7 – 2 = 5$$

می‌دانیم تعداد زیرمجموعه‌های یک مجموعه $$k$$ عضوی برابر با $$2^k$$ است. پس داریم:

$$ 2^{n(B – A)} = 2^5 = 32$$

در آخرین درس فصل اول ریاضی نهم به مرور مفهوم احتمال می‌پردازیم. اولین قدم در یادگیری احتمال آشنایی با چند پارامتر مهم آن است. برای مثال به آزمایشی که قبل از انجام آن، حالت‌های ممکن را می‌شناسیم، اما نمی‌توانیم با قطعیت بگوییم کدام‌ رخ خواهد داد، آزمایش تصادفی می‌گوییم. پرتاب تاس یا سکه دو نمونه از معروف‌ترین آزمایش‌های تصادفی در دنیای احتمال هستند.

در ادامه مجموعه تمام حالت‌های ممکن در یک آزمایش تصادفی، فضای نمونه‌ای یا $$ S $$ نامیده می‌شود و هر زیرمجموعه از این فضا را یک پیشامد تصادفی یا $$A$$ می‌نامند. پس داریم $$A subseteq S$$. برای حل شتابان‌تر انواع نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول در مورد مبحث احتمال، فرمول‌هایی وجود دارد که برای به‌دست آوردن اعضای فضای نمونه‌ای یا $$n(S)$$ به شما کمک می‌کند. در ادامه این روابط را شرح می‌دهیم:

$$n(S) = 2^k times 6^m$$

$$n(S) = 2^n$$

علاوه بر این پیشامدهای مهم و فرمول‌های تکمیلی این بخش به شکل زیر است:

$$A’ = S – A$$

$$P(A’) = 1 – P(A)$$

$$P(A cup B) = P(A) + P(B) – P(A cap B)$$

$$P(A cap B) = 0 implies P(A cup B) = P(A) + P(B)$$

در این بخش به ارزیابی چند نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول با تمرکز بر مبحث احتمال خواهیم پرداخت.

سکه و تاسی را با هم می‌اندازیم. احتمال اینکه سکه «رو» و شماره تاس «عدد اول» باشد چقدر است؟

پاسخ

ابتدا به محاسبه فضای نمونه‌ای می‌پردازیم. سکه دو حالت و تاس شش حالت دارد:

$$n(S) = 2 times 6 = 12$$

حالا اعضای پیشامد $$A$$ را حساب می‌کنیم. اعداد اول روی تاس شامل $${2, 3, 5}$$ هستند. پس حالات مطلوب عبارت‌اند از:

$$A = {(text{رو}, 2), (text{رو}, 3), (text{رو}, 5)} implies n(A) = 3$$

و در نهایت محاسبه احتمال را داریم:

$$P(A) = frac{n(A)}{n(S)} = frac{3}{12} = frac{1}{4}$$

در یک خانواده با سه فرزند، چقدر احتمال دارد که حداقل یک فرزند دختر باشد؟

پاسخ

محاسبه فضای نمونه‌ای به‌صورت زیر انجام می‌شود:

$$n(S) = 2^3 = 8$$

می‌دانیم متمم پیشامد «حداقل یک دختر»، پیشامد $$A’$$ یعنی «هیچ دختری نباشد (هر سه پسر باشند)» است. پس داریم:

$$A’ = {(text{پسر}, text{پسر}, text{پسر})} implies n(A’) = 1$$

$$P(A’) = frac{1}{8}$$

پس محاسبه احتمال پیشامد اصلی به شکل زیر است:

$$P(A) = 1 – P(A’) = 1 – frac{1}{8} = frac{7}{8}$$

دو تاس سالم را با هم می‌اندازیم:

پاسخ

فضای نمونه‌ای در این سوال به صورت زیر است:

$$n(S) = 6 times 6 = 36 $$

در بخش اول باید مجموع برابر با $$8$$ باشد:

$$A = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)} implies n(A) = 5$$

$$P(A) = frac{5}{36}$$

در بخش بعدی، لازم است اعداد دو تاس مساوی باشند:

$$B = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} implies n(B) = 6$$

$$P(B) = frac{6}{36} = frac{1}{6}$$

در کیسه‌ای $$4$$ مهره قرمز، $$5$$ مهره آبی و $$3$$ مهره سبز وجود دارد. یک مهره به تصادف خارج می‌کنیم. احتمال اینکه مهره خارج شده قرمز یا سبز باشد چقدر است؟

پاسخ

فضای نمونه‌ای برای این سوال به شکل زیر است:

$$n(S) = 4 + 5 + 3 = 12 $$

در نهایت تحلیل پیشامد به این صورت انجام می‌شود که چون یک مهره نمی‌تواند همزمان هم قرمز و هم سبز باشد، پس دو پیشامد $$R$$ (قرمز) و $$G$$ (سبز) ناسازگار هستند. تعداد اعضای مطلوب برابر است با:

$$n(R cup G) = 4 + 3 = 7 $$

و احتمال می‌شود:

$$P(R cup G) = frac{7}{12}$$

مجموعه $$A = {1, 2, 3, 4, 5}$$ داده شده است. یکی از زیرمجموعه‌های $$A$$ را به تصادف انتخاب می‌کنیم. احتمال اینکه زیرمجموعه انتخاب‌شده حداقل دارای سه عضو باشد، چقدر است؟

پاسخ

ابتدا تعداد کل حالت‌های ممکن یعنی $$n(S)$$ را محاسبه می‌کنیم. تعداد کل حالت‌های انتخاب یک زیرمجموعه برابر است با تعداد کل زیرمجموعه‌های مجموعه $$A$$:

$$n(S) = 2^n = 2^5 = 32 $$

سپس تعداد حالت‌های مطلوب یعنی $$n(E)$$ را پیدا می‌کنیم. در سوال گفته شده که زیرمجموعه‌های مطلوب باید حداقل سه عضو داشته باشند. پس باید زیرمجموعه‌های سه عضوی، چهار عضوی یا پنج عضوی را بشماریم:

پس مجموع حالات مطلوب برابر‌اند با:

$$n(E) = 10 + 5 + 1 = 16$$

در گام بعدی احتمال به دست می‌آید:

$$P(E) = frac{n(E)}{n(S)} = frac{16}{32} = frac{1}{2}$$

دو تاس را با هم می‌اندازیم. احتمال اینکه حاصل‌ضرب اعداد رو شده عددی زوج باشد به شرطی که مجموع آن‌ها اول نباشد، کدام است؟

پاسخ

می‌دانیم پرتاب دو تاس $$n(S) = 36 $$ حالت دارد. ابتدا حالاتی که مجموع دو تاس عدد اول می‌شود را حذف می‌کنیم. مجموع دو تاس عددی بین $$2$$ تا $$12$$ است. اعداد اول در این بازه عبارت‌اند از:

$${2, 3, 5, 7, 11}$$

بنابراین تعداد کل حالت‌هایی که مجموع آن‌ها اول است می‌شود $$= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$$ حالت. پس تعداد حالت‌هایی که مجموع دو تاس اول نیست، برابر است با:

$$n(S_{text{تازه}}) = 36 – 15 = 21$$

علاوه بر این می‌دانیم حاصل‌ضرب دو عدد زمانی فرد است که هر دو عدد فرد باشند. حالت‌هایی که هر دو فرد باشند، به شکل زیر است:

$$3 times 3 = 9$$

پس حالت‌های زوج بودن می‌شود:

$$  36 – 9 =  27 $$

حالا از این بیست و هفت حالت، حالت‌هایی را که مجموع‌شان اول بود کم می‌کنیم. زوج بودن ضرب و اول بودن مجموع را در نظر می‌گیریم و داریم:

$$(1,2), (2,1), (1,4), (4,1), (1,6), (6,1), (5,6), (6,5)$$

که می‌شود $$8$$ حالت. پس حالت‌های مطلوب به‌روز $$ 27 – 8 = 19$$ است. در آخرین گام، احتمال را حساب می‌کنیم:

$$P(E) = frac{19}{21}$$

در این بخش مروری داریم بر مهم‌ترین فیلم‌های آموزشی فرادرس در زمینه یادگیری و تسلط بیشتر بر ریاضیات متوسطه دوم:

در انتهای این مطلب از مجله فرادرس آزمون جامعی برای شما تنظیم شده است تا با پاسخ‌دهی به این مجموعه از نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول، بتوانید میزان یادگیری خود را بسنجید. برای مشاهده نمره خود، کافی است در انتها روی بخش «مشاهده برآیند آزمون» کلیک کنید.

از سوی دیگر جدول زیر تمامی فرمول‌ها، نمادها و روابط کلیدی فصل اول کتاب ریاضی نهم را به شکل خلاصه مشخص می‌کند:

نوشته نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول – به زبان ساده + با جواب اولین بار در فرادرس - مجله‌. پدیدار شد.

سوالات متداول

آخرین اطلاعات درباره مجموعه چیست؟

جدیدترین اطلاعات و تغییرات مربوط به مجموعه در این گزارش ارائه شده است.

نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول – به زبان ساده + با جواب چیست؟

در این مطلب اطلاعات، جزئیات و نکات مرتبط با نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول – به زبان ساده + با جواب بررسی شده است.

چرا نمونه سوال ریاضی نهم فصل اول – به زبان ساده + با جواب اهمیت دارد؟

این موضوع به دلیل اطلاعات و کاربردهای مرتبط، مورد توجه کاربران قرار گرفته است.