پاسخنامهٔ تشریحی آزمون ورودی مدارس سمپاد و نمونه دولتی – پرسش ۷۲

آزمون ورودی تیزهوشان و نمونه دولتی. ۱۱ خرداد ۹۷. پرسش ۷۲. میخواهیم جدول زیر را طوری پر کنیم که جمع اعداد هر سطر، هر ستون، و هر قطر، عددی ثابت باشد. در مورد $x$ چه میتوان گفت؟
۱) میتواند هر عددی باشد.
۲) تنها میتواند صفر باشد.
۳) عددی بزرگتر از ۷ است.
۴) حتماً عددی بین ۵ و ۷ است.

ایدهٔ طرح این مسئله از مسئلهٔ ۳ صفحهٔ ۲۴ کتاب ریاضیات تکمیلی هشتم گرفته شده است. در این کتاب چند تمرین از مربعهای جادویی داده شده است.

راهنمای حل

عدد خانهٔ وسط جدول را $y$ در نظر میگیریم.
چون مجموع اعداد هر قطر با مجموع اعداد هر سطر برابر است، پس داریم:
[begin{split}
&x+y+7=2+y+5\
&Rightarrow x+y+7=y+7\
&Rightarrow x=0
end{split}]
بنابراین گزینهٔ ۲ درست است.

پرسش. جدول زیر، با قانون گفته شده در بالا، پر شده است. آیا این جدول را فقط بهصورت زیر میتوان پر کرد؟