دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی | به زبان ساده

توابع نمایی و لگاریتمی در ریاضیات و سایر علوم کاربردهای فراوانی دارند و به همین دلیل است که شناخت این توابع ضروری است. در این آموزش، با دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی آشنا میشویم و با ارائه مثالهایی نحوه تعیین دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی را بیان میکنیم.

تعریف دامنه یک تابع

دامنه تابعی مانند $$f$$ که به صورت عبارتی برحسب متغیر $$x$$ تعریف شده است، برابر است با مجموعه اعداد حقیقی متغیر $$x$$ که به ازای آنها مقدار تابع حقیقی است.

تعریف برد یک تابع

برد تابع $$f$$ برابر است با مجموعه مقادیری که به ازای قرار دادن مقادیر دامنه در متغیر $$x$$ برای تابع حاصل میشود.

تعیین دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

برای به دست آوردن دامنه و برد یک تابع ابتدا باید نوع آن تابع را تشخیص دهیم، زیرا توابع گوناگون از جمله توابع جبری، لگاریتمی، گویا، مثلثاتی و… دامنه و برد متفاوتی دارند. در ادامه این مطلب، به منظور آشنایی با نحوه تعیین دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی مثالهایی را ارائه خواهیم کرد.

دامنه و برد تعدادی از توابع نمایی و لگاریتمی به شرح زیر است:

برد	دامنه	تابع
$$ ( 0 , + ∞ ) $$	$$ ( – ∞ , + ∞ ) $$	$$ f ( x ) = a ^ x $$
$$ ( ± k , + ∞ ) $$	$$ ( – ∞ , + ∞ ) $$	($$ k$$ ثابت) $$ f ( x ) = a ^ x ± k $$
$$ ( – ∞ , + ∞ ) $$	$$ ( 0 , + ∞ ) $$	$$ f ( x ) = log _ a u2061 ( x ) $$
$$ ( – ∞ , + ∞ ) $$	$$ ( ∓ frac k m , + ∞ ) $$	($$m$$ و $$k$$ ثابت) $$ f ( x ) = log_ a u2061 ( m x ± k ) $$

نکته:

• اگر $$ log_ a u2061 x ≥ y $$و $$ a > 1 $$ باشد، آنگاه $$ x ≥ a ^ y $$.
• اگر $$ log _ a u2061 x ≥ y $$ و $$ a < 1 $$ باشد، آنگاه $$ x ≤ a ^ y $$.

برای آشنایی بیشتر با مفاهیم توابع، پیشنهاد میکنیم به مجموعه آموزشهای دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی مراجعه کنید که توسط فرادرس تهیه شده و لینک آن در ادامه آورده شده است:

• برای مشاهده فیلم آموزشهای دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی + اینجا کلیک کنید.

مثال های تعیین دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

در این بخش، چند مثال را از تعیین دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی بیان میکنیم.

مثال اول دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

دامنه تابع $$ f ( x ) = log_3u2061 ( x – 1 ) $$ را به دست آورید.

حل: طبق جدول فوق، اگر آرگومان $$ log _ 3 u2061 ( x – 1 ) $$ یعنی $$ x – 1 $$ مثبت باشد، مقادیر $$ f ( x ) $$ حقیقی خواهد بود:

$$ large x – 1 > 0 $$

بنابراین، دامنه این تابع برابر است با $$ x > 1 $$ یا $$ ( 1 , + ∞ ) $$.

مثال دوم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

دامنه تابع $$ f ( x ) = log _ 2 u2061 ( x ^ 2 + 5 ) $$ را بیابید.

حل: آرگومان این تابع، یعنی $$ x ^ 2 + 5 $$ همواره بزرگتر از صفر و مثبت است. بنابراین، دامنه این تابع تمام اعداد حقیقی است، یعنی $$ ( – ∞ , + ∞ ) $$.

مثال سوم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

دامنه تابع $$ f ( x ) = lnu2061 ( 9 – x ^ 2 ) $$ را تعیین کنید.

حل: برای اینکه $$ lnu2061( 9 – x ^ 2 ) $$ حقیقی باشد، $$ 9 – x ^ 2 $$ باید مثبت باشد:

$$ large 9 – x ^ 2 > 0 , \
large x ^ 2 < 9 , \
large – 3 < x < 3 $$

مثال چهارم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

دامنه تابع $$ f ( x ) = log _ 4 u2061 | x – 3 | $$ را مشخص کنید.

حل: مانند مثالهای قبل، آرگومان تابع باید مثبت باشد، یعنی:

$$ large | x – 3 | > 0 $$

همانطور که میدانیم، خروجی قدر مطلق، همواره یک مقدار مثبت است. بنابراین، دامنه این تابع برابر است با تمام اعداد حقیقی به جز $$3$$.

مثال پنجم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

دامنه تابع $$ f ( x ) = lnu2061( 2 x ^ 2 – 3 x – 5 ) $$ را به دست آورید.

حل: برای تعیین دامنه این تابع، باید نامعادله زیر را حل کنیم:

$$ large 2 x ^ 2 – 3 x – 5 > 0 $$

با تجزیه عبارت سمت چپ به صورت زیر، میتوان مجموعه جواب نامعادله را به دست آورد:

$$ large ( 2 x – 5 ) ( x + 1 ) > 0 $$

اگر این نامساوی را تعیین علامت کنیم، خواهیم داشت:

$$ large ( – ∞ , – 1 ) cup ( frac 5 2 , + ∞ ) $$

مثال ششم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

برد تابع $$ f ( x ) = e ^ { – x + 2 } $$ را به دست آورید.

حل: ابتدا $$ f ( x ) $$ را به صورت زیر مینویسیم:

$$ large y = e ^ { – x + 2 } $$

سپس، تابع را برای $$x$$ حل میکنیم:

$$ large – x + 2 = ln u2061 ( y ) Rightarrow x = 2 – lnu2061 ( y ) $$

اگر $$ y > 0 $$ باشد، $$x$$ یک مقدار حقیقی خواهد بود. بنابراین، همانطور که در نمودار زیر مشاهده میکنید، برد این تابع در بازه $$ ( 0 , + ∞ ) $$ قرار دارد.

مثال هفتم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

برد تابع $$ f ( x ) = e ^ { 2 x + 1 } + 3 $$ را مشخص کنید.

حل: مانند مثال قبل، تابع را برای $$x$$ حل میکنیم:

$$ large y = e ^ { 2 x + 1 } + 3 Rightarrow y – 3 = e ^ {2 x + 1 }, \ large 2 x + 1 = ln u2061 ( y – 3 ) , Rightarrow 2 x = ln u2061 ( y – 3 ) – 1 \ large
large x = frac 1 2 [lnu2061 ( y – 3 ) – 1 ] $$

مقدار $$x$$ در صورتی یک عدد حقیقی است که $$ y – 3 > 0 $$ باشد. بنابراین، برد تابع مفروض $$ ( 3 , + ∞ ) $$ خواهد بود.

مثال هشتم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

برد تابع $$ f ( x ) = e ^ { x ^ 2 } + 1 $$ را بیابید.

حل: برای به دست آوردن برد این تابع نمایی به صورت زیر عمل میکنیم:

$$ large y = e ^ { x ^ 2 } + 1 Rightarrow y – 1 = e ^ { x ^ 2 } , \ large x ^ 2 = ln u2061 ( y – 1 ) , x=±sqrt {ln u2061 ( y – 1 ) } $$

این جوابها در صورتی حقیقی هستند که

$$ large lnu2061 ( y – 1 ) ≥ 0 Rightarrow lnu2061 ( y – 1 ) ≥ ln u2061( 1 ) ,\ large Rightarrow y – 1 ≥ 1 Rightarrow y ≥ 2 $$

مثال نهم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

برد تابع $$ f ( x ) = – 2 e ^ {- x ^2 } + 3 $$ را تعیین کنید.

حل:

$$ large y = – 2 e ^ { – x ^ 2 } + 3 Rightarrow y – 3 = – 2 e ^ {-x ^ 2 } , \ large e ^ {- x ^2 } = frac { y – 3 } { – 2 } Rightarrow – x ^ 2 = lnu2061{ frac { y – 3 }{ -2} }, \
large x = ± sqrt { – lnu2061(frac {y-3}{-2}) } $$

اگر آرگومان $$ln$$ مثبت و عبارت زیر رادیکال مثبت یا صفر باشد، مقدار $$x$$ حقیقی خواهد بود. پس در اینجا دو شرط خواهیم داشت:

$$ large frac { y – 3 } { – 2 } >0 \
large – lnu2061(frac { y – 3 }{-2} ) ≥ 0 $$

مجموعه جواب نامعادله اول به صورت زیر است:

$$ large frac {y-3}{-2}>0 Rightarrow y – 3 < 0 Rightarrow y < 3 $$

و برای جواب معادله دوم، داریم:

$$ large – lnu2061(frac {y-3}{-2 } ) ≥ 0 Rightarrow ln u2061 ( frac { y – 3 } {-2} ) ≤ 0 , \ large lnu2061(frac {y-3}{-2}) ≤ ln u2061 ( 1 ) , Rightarrow frac {y-3} {-2}≤1 Rightarrow y – 3 ≥ – 2 Rightarrow y ≥ 1 $$

بنابراین، برد تابع در بازه بسته $$ [ 1 , 3 ) $$ قرار دارد.

مثال دهم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

دامنه تابع $$ f ( x ) = sqrt { log _ { 1 0 } u2061frac { 6 x – x ^ 2 } { 8 } } $$ را تعیین کنید.

حل: این تابع، جذر یک عبارت لگاریتمی است. از طرف دیگر، آرگومان تابع لگاریتمی نیز یک تابع گویا است. از این رو، برای تعیین دامنه این تابع، ابتدا مقادیری از $$x$$ را که در تابع لگاریتمی صدق میکنند، مییابیم:

$$ large frac { 6 x – x ^ 2 } {8}>0 Rightarrow 6 x – x ^ 2 > 0 $$

طرفین نامعادله را در $$-1$$ ضرب میکنیم:

$$ large x ^ 2 – 6x < 0 Rightarrow x ( x – 6 ) < 0 $$

ریشههای عبارت سمت چپ نامعادله، برابر است با $$ x=0,6 $$. در نتیجه، به ازای $$x$$های بین $$0$$ و $$6$$، این عبارت منفی خواهد بود.

اکنون شرط عبارت زیر رادیکال که باید مثبت یا صفر باشد را اعمال کنیم:

$$ large log _ { 1 0 } u2061 { frac { 6 x – x ^ 2 } { 8 } } ≥0Rightarrow
log_{10}u2061{frac {6x-x^2}{8}}≥log_{10}u20611
\ large frac { 6 x – x ^ 2 } { 8 } ≥ 1 Rightarrow 6 x – x ^ 2 – 8 ≥ 0
\ large x ^ 2 – 6 x + 8 ≤ 0 → ( x – 2 ) ( x – 4 ) ≤ 0 $$

واضح است که ریشههای عبارت سمت چپ نامعادله $$x=2,4$$ است. بنابراین، داریم:

$$ large 2 ≤ x ≤ 4 $$

برای تعیین دامنه تابع مفروض کافی است اشتراک بازههای به دست آمده برای $$x$$ را به دست آوریم:

دامنه $$f(x)$$ برابر است با $$[2,4]$$.

مثال یازدهم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

دامنه تابع $$ f ( x ) = log _ 2 u2061 log _ 3 log_ 4 u2061x $$ را تعیین کنید.

حل: با توجه به اینکه این تابع شامل سه تابع لگاریتمی تودرتو با مبناهای مختلف است، ابتدا دامنه $$ log_4u2061x $$ را مشخص میکنیم. آرگومان این تابع لگاریتمی باید مثبت باشد. یعنی $$x>0$$.

برای حقیقی بودن عبارت $$ log_3u2061log_4u2061 x $$ نیز برقرار بودن شرط زیر لازم است:

$$ large log_4 u2061 x > 0 $$

با توجه به اینکه مبنای لگاریتم بزرگتر از صفر است (به نکتهای که در ابتدای مطلب ذکر شده است، رجوع کنید)، داریم:

$$ large log _ 4 u2061 x > 0 Rightarrow x > 4 ^ 0 Rightarrow x > 1 $$

برای اینکه تابع $$f(x)$$ حقیقی باشد، باید $$log_ 3 log _ 4 u2061 x $$ مثبت باشد:

$$ large log _ 3 u2061 (log _ 4 u2061 x ) > 0 Rightarrow log_4u2061 x > 3 ^{ 0 } \ large Rightarrow log_4u2061x>1 Rightarrow x>4^1 Rightarrow x >
4 $$

با ترکیب این سه بازه و به دست آورد اشتراک آنها خواهیم داشت:

دامنه $$f(x)$$ در بازه $$ ( 4 , + ∞ ) $$ قرار دارد.

مثال دوازدهم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

برد تابع $$ f ( x ) = log _ {10u2061} ( x ^ 2 – 3 x + 4 ) $$ را به دست آورید.

حل: آرگومان این تابع، یک تابع درجه دوم است، پس برای به دست آوردن برد تابع $$f(x)$$ باید ابتدا مقدار اکسترمم آرگومان تابع لگاریتمی را به ازای مقادیری از $$x$$ که در دامنه تابع قرار دارد، تعیین کنیم. برای تعیین اکسترمم آرگومان تابع باید مشتق اول و دوم آن را به دست آوریم:

$$ large frac { d } { d x } ( x ^ 2 – 3 x + 4 ) = 2 x – 3 ,\ large frac { d ^ 2 } { d x ^2 } ( x ^ 2 – 3 x + 4 ) = 2 $$

با توجه به اینکه مشتق دوم بزرگتر از صفر است، $$ x ^ 2 – 3 x + 4 $$ دارای یک مینیمم است. برای به دست آوردن نقطه مینیمم، کافی است مشتق اول را برابر با صفر قرار دهیم:

$$ large 2 x – 3 = 0 Rightarrow x = frac 3 2 $$

حال مقدار به دست آمده را در $$f(x)$$ جایگذاری میکنیم تا مختصات نقطه مینیمم و در نتیجه برد تابع مشخص شود:

$$ large f ( frac 32 ) = log_{10} u2061 ( ( frac 32 ) ^ 2 -3 ( frac 32 ) + 4 ) = log _ {10} ( frac 7 4 ) \ large f ( x → ∞ ) → ∞
$$

واضح است که برد تابع برابر است با $$ [log_{10}u2061(frac 74) ,+ ∞) $$.

مثال سیزدهم دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی

دامنه تساوی $$ e ^ { f ( x ) } = e ^ x – e $$ را تعیین کنید.

حل: برای به دست آوردن دامنه کافی است از دو طرف تساوی لگاریتم بر مبنای $$e$$ بگیریم:

$$ large y = f ( x ) = log _ e u2061 ( e ^ x – e ) \ large
→ e ^ x – e > 0 → e ^ x > e → x > 1 $$

بنابراین، دامنه در بازه $$ ( 1 , + ∞ ) $$ قرار دارد.

معرفی فیلمهای آموزشهای دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی فرادرس

برای آشنایی بیشتر با مباحث ریاضی دبیرستان، پیشنهاد میکنیم به مجموعه آموزش دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی مراجعه کنید که توسط فرادرس تهیه شده است. این مجموعه، شامل دروس مقاطع مختلف تحصیلی متوسطه اول و دوم است که مطابق سرفصلهای کتابهای درسی و با کیفیتی بالا توسط معلمان و دبیران کارآزموده تدوین شدهاند.

• برای مشاهده فیلمهای آموزشهای دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی + اینجا کلیک کنید.

معرفی فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی

برای آشنایی بیشتر با مبحث دامنه و برد توابع، پیشنهاد میکنیم به فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی مراجعه کنید که توسط فرادرس و در ۱۲ ساعت و ۴۶ دقیقه تدوین شده است. در درس یکم این فیلم آموزشی که از ۱۰ درس تشکیل شده، مبحث مجموعهها، مجموعه اعداد، توان، ب.م.م و ک.م.م بیان شده است. موضوع درس دوم چندجملهایها و اتحاد و تجزیه است. در درس سوم به موضوع نامساویها، نامعادلات، طول پارهخط، ضریب زاویه و معادله خط پرداخته شده است. درس چهارم درباره مثلثات است و در درس پنجم تصاعد حسابی و هندسی معرفی شدهاند. موضوع مهم درس ششم تابع، دامنه و برد است. در ادامه، در درس هفتم، تساوی دو تابع، اعمال جبری روی تابع و ترکیب توابع بیان شدهاند. توابع زوج و فرد، تابع یک به یک و تابع وارون موضوعات درس هشتم هستند. انواع تابع، شامل تابع ثابت، تابع همانی، تابع علامت، تابع قدر مطلق و تابع جزء صحیح در درس نهم معرفی شدهاند و در نهایت، در درس دهم به توابع نمایی و لگاریتمی پرداخته شده است.

• برای مشاهده فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی + اینجا کلیک کنید.

معرفی فیلم آموزش ریاضی پایه (مرور و حل تست کنکور ارشد)

فیلم آموزش ریاضی پایه (مرور و حل تست کنکور ارشد) در ۵ ساعت و ۱۶ دقیقه و در قالب ۴ درس تهیه شده است. درس یکم این آموزش درباره مجموعهها، چندجملهایها، اتحاد و تجزیه، نامساوی و نامعادلات است. در درس دوم، معادله درجه 2 مورد بررسی قرار گرفته است. موضوع درس سوم مثلثات است. در نهایت، در درس چهارم به تابع، دامنه و برد آن، تساوی دو تابع، اعمال جبری روی تابع، ترکیب توابع، توابع زوج و فرد، توابع یک به یک، وارون تابع، تابع ثابت، تابع همانی، تابع علامت، تابع قدر مطلق، تابع جزء صحیح، تابع نمایی و تابع لگاریتمی پرداخته شده است.

• برای مشاهده فیلم آموزش ریاضی پایه (مرور و حل تست کنکور ارشد) + اینجا کلیک کنید.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزشها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد میشوند:

• مجموعه آموزشهای دروس ریاضیات
• آموزش ریاضی عمومی ۱ (همراه با حل مثال و تست کنکور کارشناسی ارشد)
• مجموعه آموزشهای دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی
• آموزش ریاضیات و کاربرد آن در حسابداری، مدیریت و اقتصاد – 1
• مشتق پذیری و تابع مشتق پذیر | به زبان ساده
• تابع هموگرافیک — از صفر تا صد
• نامساوی نمایی — به زبان ساده

نوشته دامنه و برد توابع نمایی و لگاریتمی | به زبان ساده اولین بار در مجله فرادرس. پدیدار شد.

مطالب درسی...