اتحاد مکعب | به زبان ساده — با اثبات و مثال

در آموزشهای پیشین مجله فرادس، با اتحاد و تجزیه آشنا شدیم و اتحادهای مهم را معرفی کردیم. همچنین در مطلب «نمونه سوال اتحاد و تجزیه — همراه با جواب» چند مثال را درباره اتحادها حل کردیم. در این آموزش، به یکی از اتحادهای مهم و کاربردی، به نام اتحاد مکعب میپردازیم و مثالهایی از آن را حل خواهیم کرد.

اتحاد مکعب مجموع

همانطور که میدانیم مکعب یک حجم هندسی است که حجم آن از به توان ۳ رساندن طول هر ضلع آن به دست میآید. در اینجا هم مکعب به معنای توان ۳ است. اتحاد مکعب مجموع یعنی اتحاد مجموع دو جمله به توان ۳. به بیان ریاضی، فرض کنید دو جمله $$ x $$ و $$ y $$ را داریم. اتحاد مکعب مجموع این دو جمله به صورت زیر خواهد بود:

$$ boxed { begin {aligned} ( x + y ) ^ 3 & = x ^ 3 + 3 x ^ 2 y + 3 x y ^ 2 + y ^ 3 end {aligned} } $$

دقت کنید که اتحاد مکعب مجموع را با اتحاد چاق و لاغر اشتباه نگیرید:

$$ { begin {aligned} x ^ 3 + y ^ 3 & = ( x + y ) ( x ^ 2 – x y + y ^ 2 ) end {aligned} } $$

اتحاد مکعب تفاضل

اتحاد مکعب تفاضل، همانگونه که از نامش مشخص است، برای تفاضل دو جمله بیان میشود و به صورت زیر است:

$$ boxed { begin {aligned} ( x – y ) ^ 3 & = x ^ 3 – 3 x ^ 2 y + 3 x y ^ 2 – y ^ 3 end {aligned} } $$

توجه کنید که اتحاد چاق و لاغر زیر را با این اتحاد اشتباه نگیرید:

$$ { begin {aligned} x ^ 3 – y ^ 3 & = ( x – y ) ( x ^ 2 + x y + y ^ 2 ) end {aligned} } $$

اتحاد مکعب دو جمله ای

آنچه در بخشهای قبل گفتیم، چون مربوط به دو جمله بود، به آنها اتحاد مکعب دو جمله ای میگوییم که به صورت زیر هستند:

$$ boxed { begin {aligned} ( x + y ) ^ 3 & = x ^ 3 + 3 x ^ 2 y + 3 x y ^ 2 + y ^ 3 \ ( x – y ) ^ 3 & = x ^ 3 – 3 x ^ 2 y + 3 x y ^ 2 – y ^ 3 end {aligned} } $$

برای آشنایی با مباحث ریاضیات دبیرستان، پیشنهاد میکنیم به مجموعه آموزشهای دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی فرادرس مراجعه کنید که لینک آن در ادامه آورده شده است.

• برای مشاهده مجموعه آموزشهای دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی + اینجا کلیک کنید.

اثبات اتحاد مکعب دو جمله ای

اثبات اتحاد مکعب مجموع دو جمله $$a$$ و $$ b $$ را میتوان به روش جبری در سه گام ساده انجام داد.

گام ۱. نخست، دوجملهای $$a+b$$ را در سه بار در خودش ضرب میکنیم که از نظر ریاضی به معنی همان مکعب دوجملهای است. بنابراین، مکعب مجموع دو جمله $$a$$ و $$b$$ را میتوان به فرم زیر بیان کرد:

$$ ( a + b ) ^ { 3 } = ( a + b ) times ( a + b ) times ( a + b ) $$

گام ۲. نمیتوانیم همزمان سه دوجملهای را در یکدیگر ضرب کنیم. بنابراین، ابتدا دو تا از آنها را در یکدیگر ضرب میکنیم و سپس حاصل آنها را در دوجملهای سوم ضرب میکنیم. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ begin {array} { l }
;;;;;;,( a + b ) ^ { 3 } = ( a + b ) times ( ( a + b ) times ( a + b ) ) \
Longrightarrow ( a + b ) ^ { 3 } = ( a + b ) times ( a times ( a + b ) + b times ( a + b ) ) \
Longrightarrow ( a + b ) ^ { 3 } = ( a +b ) times ( a times a + a times b + b times a + b times b ) \
Longrightarrow ( a + b ) ^ { 3 } = ( a + b ) times left ( a ^ { 2 } + a b + b a + b ^ { 2 } right ) \
Longrightarrow ( a + b ) ^ { 3 } = ( a + b ) times left ( a ^ { 2 } + a b + a b + b ^ { 2 } right ) \
Longrightarrow ( a + b ) ^ { 3 } = ( a + b ) times left ( a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } right )
end {array} $$

اکنون مجموع دو جمله $$a+b$$ را در بسط مربع مجموع دو جمله ضرب میکنیم:

$$ begin {array} {ll}
Longrightarrow & ( a + b ) ^ { 3 } = a times left ( a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } right ) + b times left ( a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } right ) \
Longrightarrow & ( a + b ) ^ { 3 } = a times a ^ { 2 } + a times 2 a b + a times b ^ { 2 } + b times a ^ { 2 } + b times 2 a b + b times b ^ { 2 } \
Longrightarrow & ( a + b ) ^ { 3 } = a ^ { 3 } + 2 a ^ { 2 } b + a b ^ { 2 } + b a ^ { 2 } + 2 a b ^ { 2 } + b ^ { 3 } \
Longrightarrow & ( a + b ) ^ { 3 } = a ^ { 3 } + 2 a ^ { 2 } b + a b ^ { 2 } + a ^ { 2 } b + 2 a b ^ { 2 } + b ^ { 3 } \
Longrightarrow & ( a + b ) ^ { 3 } = a ^ { 3 } + b ^ { 3 } + 2 a ^ { 2 } b + a ^ { 2 } b + a b ^ { 2 } + 2 a b ^ { 2 } \
therefore quad & ( a + b ) ^ { 3 } = a ^ { 3 } + b ^ { 3 } + 3 a ^ { 2 } b + 3 a b ^ { 2 }
end {array} $$

بنابراین به عبارت مورد نظر میرسیم و اثبات کامل میشود.

با سادهسازی جبری، تساوی را میتوان به صورت زیر نیز نوشت:

$$ ( a + b ) ^ { 3 } = a ^ 3 + b ^ 3 + 3 a b ( a + b ) $$

شکل زیر تعبیر هندسی اتحاد مکعب را نشان میدهد.

اتحاد مکعب سه جمله ای

اتحاد مکعب سه جمله ای با استفاده از اتحاد مکعب دو جمله ای و به صورت زیر محاسبه میشود:

$$ begin{array}{l}
(a+b+c)^{3} \
=[a+(b+c)]^{3} \
=a^{3}+3 a(b+c)[a+(b+c)]+(b+c)^{3} \
=a^{3}+3 a(b+c)[a+(b+c)]+b^{3}+3 b c(b+c)+c^{3} \
=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3 a(b+c)[a+(b+c)]+3 b c(b+c) \
=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(b+c)left[a^{2}+a b+a c+b cright] \
=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(b+c)[a(a+b)+c(a+b)] \
=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(b+c)(a+b)(a+c)
end{array} $$

این فرمول را میتوان به صورت زیر نیز نوشت:

$$(a+b+c)^{3}-a^{3}-b^{3}-c^{3}=3(b+c)(a+b)(a+c) $$

مثال های اتحاد مکعب

در این بخش، چند مثال را از اتحاد مکعب حل میکنیم.

مثال اول اتحاد مکعب

بسط عبارت $$(x+1)^3$$ را بنویسید.

حل: با در نظر گرفتن دو جمله $$1$$ و $$ x$$، از اتحاد مکعب مجموع دو جمله استفاده میکنیم و خواهیم داشت:

$$ ( x + 1 ) ^ 3 = x ^ 3 + 3 times x ^ 2 times 1 + 3 times x times 1 ^ 2 + 1 ^ 3 = x ^ 3 + 3 x ^ 2 + 3 x + 1 $$

مثال دوم اتحاد مکعب

حاصل عبارت $$(a-2b)^3$$ را بنویسید.

حل: با استفاده از اتحاد مکعب، میتوان نوشت:

$$ begin {aligned} ( a – 2 b ) ^ 3 & = a ^ 3 – 3 times a ^ 2 times ( 2 b ) + 3 times a times ( 2 b ) ^ 2 – ( 2 b ) ^ 3 \ & = a ^ 3 – 6 a ^ 2 b + 12 a b ^ 2 – 8 b ^ 3 end {aligned} $$

مثال سوم اتحاد مکعب

عبارت $$x^3 + 8$$ را تجزیه کنید.

حل: این عبارت را میتوان به صورت $$x^ 3 + 2 ^ 3 $$ نوشت. در نتیجه، میتوان از اتحاد چاق و لاغر جمله استفاده کرد و نوشت:

$$ x ^ 3 + 8 = ( x + 2 ) ( x ^ 2 – 2 x + 2 ^ 2 ) = ( x + 2 ) ( x ^ 2 – 2 x + 4 ) $$

مثال چهارم اتحاد مکعب

حاصل عبارت زیر را به دست آورید:

$$ ( x + y ) ^ 3 + ( x – y ) ^ 3 $$

حل: اگر به بسط این عبارت دقت کنیم، میبینیم که جملات دوم و چهارم حذف میشوند و میتوان جملات اول و سوم را با هم ترکیب کرد. یعنی اگر داشته باشیم:

$$ begin {aligned} ( x + y ) ^ 3 & = x ^ 3 + 3 x ^ 2 y + 3 x y ^ 2 + y ^ 3 \ ( x – y ) ^ 3 & = x ^ 3 – 3 x ^ 2 y + 3 x y ^ 2 – y ^ 3 end {aligned} $$

مجموع آنها برابر خواهد بود با:

$$ ( x + y ) ^ 3 + ( x – y ) ^ 3 = 2 x ^ 3 + 6 x y ^ 2 $$

یک روش دیگر برای حل مثال، این است که از اتحاد مجموع دو مکعب استفاده کنیم:

$$ begin {aligned} ( x + y ) ^ 3 + ( x – y ) ^ 3 & = big [ ( x + y ) + ( x – y ) big ] big [ ( x + y ) ^ 2 – ( x + y ) ( x – y ) + ( x – y ) ^ 2 big] \ & = 2 x times big [ x ^ 2 + 3 y ^ 2 big ] \ & = 2 x ^ 3 + 6 x y ^ 2 end {aligned} $$

مثال پنجم اتحاد مکعب

دو عدد حقیقی $$x$$ و $$y$$ را در نظر بگیرید که مجموع آنها $$x+y=7$$ و مجموع مکعب آنها $$ x ^ 3 + y ^ 3 = 133 $$ است. مقدار $$xy$$ را محاسبه کنید.

حل: تساوی زیر را از قبل میدانیم:

$$ x ^ 3 + y ^ 3 = ( x + y ) ( x ^ 2 + y ^ 2 -x y ) $$

با قرار دادن اطلاعات مسئله در این رابطه، خواهیم داشت:

$$ 133 = 7 ( x ^ 2 + y ^ 2 + 2 x y -3 x y) \
19 = (x + y)^2 – 3xy \
19 = 49 − 3 xy \
30 = 3xy \
10=xy $$

بنابراین، $$xy = 10 $$ به دست میآید.

مثال ششم اتحاد مکعب

حاصل عبارت زیر را به دست آورید:

حل: عدد ۶۴۰۰۰ را میتوان به صورت زیر نوشت:

$$ 64000 = 6 4 times { 1 0 } ^{ 3 } = {2 } ^ { 6 } times { 1 0 } ^ { 3 } = { { left ( { { 2 } ^ { 2 } } right ) } ^ { 3 } } times { { 1 0 } ^ { 3 } } \ Rightarrow
sqrt [ 3 ] { 6 4 0 0 0 } = sqrt [ 3 ] { { { left ( { { 2 } ^ { 2 } } right ) } ^ { 3 } } times { { 1 0 } ^ { 3 } } } = { 2 } ^ { 2 } times 10 = 40 $$

همچنین، داریم:

$$sqrt[3]{64000+3(1640)+1}= sqrt[3]{68921}=sqrt[3]{{41}^{3}}=41 $$

در نتیجه، حاصل عبارت برابر است با:

$$ sqrt {sqrt{40+41}}=sqrt{sqrt {81}}=sqrt {9} = 3 $$

مثال هفتم اتحاد مکعب

یکی از جوابهای معادله زیر به فرم $$frac ab $$ است که در آن، $$ a $$ و $$b$$ اعدادی صحیح و نسبت به هم اول هستند. مقدار $$a+b$$ را بیابید.

حل: دو عبارت $$ alpha = sqrt [ 3 ] { 1 + sqrt { x } } $$ و $$ beta = sqrt [ 3 ] { 1 – sqrt { x } } $$ را در نظر بگیرید. بنابراین، داریم:

$$ ( alpha + beta ) ^ 3 = 5 \ Rightarrow
alpha ^ 3 + 3 alpha ^ 2 beta + 3 alpha beta ^ 2 + beta ^ 3 = 5 $$

از طرفی، داریم:

$$ alpha ^ 3 + beta ^ 3 = 1 + sqrt { x } + 1 – sqrt { x } = 2 $$

بنابراین، میتوان نوشت:

$$ 2 + 3 alpha beta ( alpha + beta ) = 5 \ Rightarrow 3 alpha beta ( alpha + beta ) = 3 \ Rightarrow alpha beta ( alpha + beta ) = 1 $$

اکنون دو طرف تساوی اخیر را به توان ۳ میرسانیم:

$$ alpha ^ 3 beta ^ 3 ( alpha + beta ) ^ 3 = 1 $$

در نتیجه، خواهیم داشت:

$$ ( 1 + sqrt { x } ) ( 1 – sqrt { x } ) ( 5 ) = 1
Rightarrow 5(1-x) = 1 \ Rightarrow 1 – x = dfrac {1}{5} Rightarrow x = frac {4}{5} = frac {a}{b} Rightarrow a + b = boxed {9} $$

مثال هشتم اتحاد مکعب

مقدار $$107 ^ 3 $$ را به دست آورید.

حل: این عبارت را میتوان به صورت زیر نوشت:

$$107^ 3 = (100+7)^ 3 $$

از اتحاد مکعب دوجملهای استفاده میکنیم:

$$ (a+b)^3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3 a b (a+b)$$

با قرار دادن $$ a = 100$$ و $$ b = 7 $$، خواهیم داشت:

$$ ( 100 + 7 ) ^ 3 = 100 ^ 3 + 7^ 3 + 3(100)(7)(100 + 7)\
(100 + 7)^ 3 = 1000000 + 343 + 3(100)(7)(107) \
(100 + 7)^ 3 = 1000000 + 343 + 224700 \
(107 ) ^ 3 = 1225043 $$

بنابراین، مقدار $$107^ 3$$ برابر است با $$1,225,043$$.

معرفی فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی

یکی از آموزشهایی که برای آشنایی بیشتر با مبحث اتحاد و تجزیه میتوانید به آن مراجعه کنید، آموزش ریاضی پایه دانشگاهی است. این آموزش که مدت آن ۱۲ ساعت و ۴۶ دقیقه است، در قالب ۱۰ درس تهیه شده است.

در درس اول، مجموعهها، مجموعه اعداد، توان، ب.م.م و ک.م.م معرفی شدهاند. موضوعات درس دوم، چندجملهایها و اتحاد و تجزیه است. در درس سوم، نامساویها، نامعادلات، طول پارهخط، ضریب زاویه و معادله خط مورد بحث قرار گرفتهاند. مثلثات موضوع مهم درس چهارم است. تصاعد حسابی و هندسی در درس پنجم بررسی شدهاند. تابع و دامنه و برد آن موضوعات مهم درس ششم هستند. در درس هفتم، تساوی دو تابع، اعمال جبری روی تابع و ترکیب توابع ارائه شدهاند. در درس هشتم به توابع زوج و فرد، تابع یک به یک و تابع وارون پرداخته شده است. انواع توابع از قبیل تابع ثابت، تابع همانی، تابع علامت، تابع قدر مطلق و تابع جزء صحیح موضوع درس نهم هستند. در نهایت، در درس دهم توابع نمایی و لگاریتمی مورد بحث قرار گرفتهاند.

• برای مشاهده فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی + اینجا کلیک کنید.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزشها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد میشوند:

• مجموعه آموزشهای دروس دبیرستان و پیشدانشگاهی
• آموزش ریاضی و آمار (۱) – پایه دهم علوم انسانی
• مجموعه آموزشهای دروس ریاضیات
• آموزش ریاضی پایه دانشگاهی
• تقلب نامه (Cheat Sheet) فرمول های جبری
• تجزیه اعداد — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
• اعداد با توان کسری | به زبان ساده

نوشته اتحاد مکعب | به زبان ساده — با اثبات و مثال اولین بار در مجله فرادرس. پدیدار شد.

مطالب درسی...