مجذور چیست؟ – به زبان ساده + تفاوت با جذر و مکعب

مجذور یا مربع یک عدد به معنای ضرب یک عدد در خودش است. وقتی یک عدد را دو بار در خودش ضرب کنیم، می‌گوییم آن عدد را به توان دو رسانده‌ایم یا آن را مجذور کرده‌ایم. در این مطلب از مجله فرادرس ابتدا توضیح می‌دهیم مجذور چیست. سپس با مفهوم مجذور کامل آشنا می‌شوید و یاد می‌گیرید روش‌های تشخیص آن چیست و با چه روش‌هایی می‌توانیم مجذور اعداد دو رقمی را سریع پیدا کنیم. همچنین تفاوت مجذور با جذر و مکعب را نیز فراخواهید گرفت.

مجذور چیست؟

مجذور در ریاضی به معنای ضرب کردن یک عدد در خودش است. اگر عددی در خودش ضرب شود، می‌توانیم حاصل را معادل توان دوم آن عدد در نظر بگیریم. بنابراین اگر برای $$a$$ و $$b$$ رابطه $$b=a\times a$$ برقرار باشد، در این صورت می‌گوییم:

مجذور $$a$$ برابر است با $$b$$

یا

$$a^2$$ برابر است با $$b$$

برای اینکه بهتر متوجه شوید مجذور چیست، به مثال‌های ساده زیر توجه کنید:

پس اعداد $$4$$ و $$25$$ به ترتیب مجذور اعداد $$2$$ و $$5$$ هستند. $$4$$ و $$25$$ را مجذور کامل یا مربع کامل می‌نامیم.

نکته: مجذور هر عدد منفی، همیشه یک عدد مثبت است، چون حاصل‌ضرب منفی در منفی، مثبت است ($$-5\times -5=25$$).

به مجذور، مربع هم گفته می‌شود. دلیل این نامگذاری این است که اگر شما یک مربع واقعی داشته باشید که طول هر ضلع آن $$4$$ سانتی‌متر باشد، برای محاسبه‌ مساحت آن باید یک ضلع را در خودش ضرب کنید ($$4\times 4$$). پس مساحت این مربع $$16$$ سانتی‌متر مربع خواهد بود. به همین علت در ریاضی به توان دوم یک عدد، مربع یا مجذور می‌گویند.

مجذور کامل چیست؟

درک مفهوم مجذور کامل یا مربع کامل به شما کمک می‌کند تا بهتر متوجه شوید که منظور از مجذور چیست. یک عدد طبیعی را زمانی مربع کامل می‌نامیم که مجذور یک عدد طبیعی دیگر باشد. برای نمونه اعداد زیر همگی مربع کامل هستند:

$$1^2=1$$

$$2^2=4$$

$$3^2=9$$

$$4^2=16$$

$$5^2=25$$

جدول مربع‌ کامل

مربع‌های کامل را می‌توان در قطر اصلی جدول ضرب مشاهده کرد، جایی که هر عدد در خودش ضرب می‌شود. جدول زیر نشان می‌دهد برای اعداد یک تا ده مجذورها یا مربع‌های کامل چه هستند:

یادگیری جذر و مجذور با فرادرس

مبحث جذر و مجذور در درس ریاضی پایه‌های هفتم و هشتم به‌طور کامل توضیح داده می‌شود. در این بخش با معرفی چند فیلم آموزشی برای این کتاب‌های درسی به شما کمک می‌کنیم تا بتوانید با حل تمرین‌های بیشتر در کنار آموزش تصویری تسلط خود را به این موضوع تکمیل کنید:

چگونه تشخیص دهیم یک عدد مجذور کامل است؟

برای اینکه بتوانیم مربع کامل بودن یک عدد را تشخیص دهیم، کافی است آن عدد را به شمارنده‌ها یا عوامل اول تجزیه کنیم. اگر تمام عوامل اول یک عدد را بتوان به صورت جفت‌های مساوی گروه‌بندی کرد، آن عدد مربع کامل است. برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم ببینیم عدد $$576$$ یک مربع کامل است یا خیر. ابتدا آن را به شکل زیر به عوامل اول تجزیه می‌کنیم:

$$576=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 3\times 3$$

پس عدد $$576$$ از $$6$$ تا عدد $$2$$ و $$2$$ تا عدد $$3$$ تشکیل شده و به شکل زیر ساده می‌شود:

$$576=2^6\times 3^2$$

به عبارت دیگر، می‌توانیم تمام عوامل این عدد را به‌صورت جفت‌های زیر دسته‌بندی کنیم:

$$2\times 2$$

$$2\times 2$$

$$2\times 2$$

$$3\times 3$$

$$576=2^2\times 2^2\times 2^2\times 3^2$$

این تقسیم‌بندی جفتی به ما نشان می‌دهد که $$576$$ یک مربع کامل است. حالا اگر از هر جفت یک عامل برداریم یا اگر توان‌ها را نصف کنیم، جذر یا ریشه دوم $$576$$ به‌دست می‌آید:

$$576=(2\times 2\times 2\times 3{)}^2$$

$$2\times 2\times 2\times 3=24$$

$$24^2=576$$

بنابراین $$576$$ مجذور عدد $$24$$ است.

به این ترتیب مراحل تشخیص مربع کامل بودن یک عدد را می‌توانیم به شکل زیر در نظر بگیریم:

ویژگی‌ های اعداد مجذور کامل چیست؟

در بخش‌های قبل یاد گرفتیم مجذور چیست و چگونه می‌توانیم تشخیص دهیم یک عدد مربع یا مجذور کامل است. در این بخش با ویژگی‌های اعداد مربع کامل آشنا می‌شویم:

در ادامه این بخش به توضیح بیشتر و بررسی مثال‌های عددی مختلف در مورد این ویژگی‌ها می‌پردازیم تا بهتر متوجه شوید منظور از مجذور چیست و مجذورهای کامل چه ویژگی‌هایی دارند. برای شروع، در ویژگی سوم گفتیم که اگر یک مربع کامل به صفر ختم شود، تعداد صفرهای انتهایی آن همیشه زوج است. این نکته در جدول زیر نشان داده شده است:

همچنین طبق جدول بالا می‌توانیم نتیجه بگیریم که تعداد صفرهای انتهای مجذور همیشه دو برابر تعداد صفرهای انتهای عدد اولیه است. در نتیجه هیچ مربع کاملی نمی‌تواند تعداد فردی صفر در انتهای خود داشته باشد. در مورد چهارمین ویژگی به مثال زیر توجه کنید:

$$8^2=64$$

$$7^2=49$$

ملاحظه می‌کنید که مجذور عدد $$8$$ که یک عدد زوج است، $$64$$ می‌شود (زوج)، در حالی که مجذور عدد فردی مانند $$7$$، عدد فرد دیگری ($$49$$) است.

در مورد ویژگی‌های پنجم و ششم نیز عدد $$35$$ را در نظر بگیرید. می‌خواهیم ببینیم آیا این عدد یک مربع کامل است یا نه. کافی است آن را بر $$3$$ تقسیم کرده و ببینیم باقیمانده این تقسیم چه می‌شود:

$$35÷3$$

باقیمانده = $$2$$

بنابراین $$35$$ مربع کامل نیست. نکته مهم در مورد این دو ویژگی این است که عکس آن‌ها همیشه درست نیست. برای مثال، می‌دانیم حاصل‌تقسیم $$18$$ بر $$3$$ برابر است با $$6$$ و باقیمانده $$0$$ است. اما صفر شدن باقیمانده به این معنا نیست که $$18$$ یک مربع کامل است! بنابراین این نکته که هر مربع کاملی هنگام تقسیم بر $$3$$ فقط می‌تواند باقیمانده $$0$$ یا $$1$$ داشته باشد، به این معنا نیست که هرگاه باقیمانده $$0$$ یا $$1$$ به‌دست آمد، لزوما مربع کامل داریم.

در مورد ویژگی بعدی عدد $$147$$ را در نظر بگیرید:

$$147÷5$$

باقیمانده = $$2$$

پس $$147$$ مربع کامل نیست.

در مورد ویژگی نهم می‌خواهیم یک روش سریع را برای محاسبه مجذور اعدادی که به $$5$$ ختم می‌شوند، توضیح دهیم. فرض کنید عدد موردنظر ما $$35$$ است و دنبال محاسبه سریع مجذور این عدد هستیم. ابتدا این عدد را به دو بخش $$3$$ و $$5$$ تقسیم کنید. سپس مجذور بخش دوم را به‌دست آورید که می‌شود $$25$$. این عدد را بنویسید و بخش اول یعنی $$3$$ را در عدد بعد از خودش به شکل زیر ضرب کنید:

$$3\times 4=12$$

حالا عدد $$12$$ را قبل از $$25$$ قرار دهید:

$$1225$$

$$35^2=1225$$

بنابراین با این روش ساده، مجذور $$35$$ را به سرعت به‌دست آوردیم. در مثالی دیگر، فرض کنید می‌خواهیم مجذور $$205$$ را بدون ضرب این عدد در خودش که فرایندی پیچیده است، پیدا کنیم. چون $$205$$ به $$5$$ ختم شده است، پس از روش بالا استفاده می‌کنیم. دو بخش این عدد عبارت‌اند از $$20$$ و $$5$$:

$$20\times 21=420$$

و در انتها $$25$$ را قرار می‌دهیم:

$$42025$$

پس داریم:

$$205^2=42025$$

در ویژگی بعدی گفتیم از روی رقم یکان یک عدد می‌توان رقم یکان مجذور آن را تعیین کرد و از روی رقم یکان مجذور یک عدد نیز می‌توان حدس زد که رقم یکان عدد اولیه چه بوده است. به عبارت دیگر، آخرین رقم یک عدد رابطه مشخصی با آخرین رقم مجذور آن دارد. جدول زیر این رابطه را نشان می‌دهد و در نتیجه، بهتر متوجه خواهید شد که مفهوم مجذور چیست:

برای مثال اگر عددی به $$8$$ ختم شود، مجذور آن همیشه به $$4$$ ختم خواهد شد. به همین ترتیب، اگر مجذور عددی به $$9$$ ختم شود، رقم یکان عدد اولیه حتما $$3$$ یا $$7$$ بوده است. فهرست زیر چند مثال دیگر در این زمینه را نشان می‌دهد تا بهتر متوجه شوید منظور از این ویژگی اعداد مجذور کامل چیست:

همچنین در ویژگی یازدهم به این نکته اشاره شد که مجذور هر عدد طبیعی را می‌توان به‌صورت مجموع نخستین اعداد طبیعی فرد نوشت. مثال‌های زیر این ویژگی اعداد مجذور کامل را بیشتر توضیح می‌دهند:

$$1^2=1$$

$$2^2=1+3=4$$

$$3^2=1+3+5=9$$

$$4^2=1+3+5+7=16$$

$$5^2=1+3+5+7+9=25$$

این الگو به همین ترتیب ادامه پیدا می‌کند. پس می‌توانیم به این قاعده کلی برسیم که مجذور عدد $$n$$ برابر است با مجموع $$n$$ عدد طبیعی فرد اول. این ویژگی یکی از جالب‌ترین الگوهای موجود در نظریه اعداد است و نشان می‌دهد که اعداد مربع کامل را می‌توان تنها با جمع کردن اعداد فرد متوالی نیز به‌دست آورد.

در ویژگی بعدی به این نکته اشاره شده است که بین مجذور دو عدد طبیعی متوالی، دقیقا $$2n$$ عدد غیرمربع کامل وجود دارد. به عبارت دیگر، اگر دو مربع کامل متوالی برابر با $$n^2$$ و $$(n+1{)}^2$$ باشند، تعداد اعدادی که بین آن‌ها قرار دارند و مربع کامل نیستند، برابر است با $$2n$$. عدد $$5$$ را در نظر بگیرید. می‌دانیم:

$$5^2=25$$

$$6^2=36$$

طبق نکته بالا باید بین $$25$$ و $$36$$ دقیقا $$2n=2\times 5=10$$ عدد غیرمربع کامل وجود داشته باشد. اگر بخواهیم این اعداد را بشماریم، به نتیجه زیر می‌رسیم که تعداد آن‌ها برابر است با ده:

$$26\text{،}27\text{،}28\text{،}29\text{،}30\text{،}31\text{،}32\text{،}33\text{،}34\text{،}35$$

بنابراین این ویژگی به‌درستی برقرار است.

در سیزدهمین ویژگی، برای هر عدد طبیعی $$n$$ مجموع دو عدد متوالی برابر می‌شود با اختلاف مجذورهای آن دو عدد. به بیان دیگر داریم:

$$n+(n+1)=(n+1{)}^2-n^2$$

برای نمونه، اعداد طبیعی و پشت سر هم $$10$$ و $$11$$ را در نظر بگیرید. می‌دانیم مجموع این دو عدد می‌شود $$10+11=21$$. از طرفی اختلاف مجذور این دو عدد برابر است با:

$$11^2-10^2=121-100=21$$

ملاحظه می‌کنید که این دو مقدار با هم برابر هستند.

در ویژگی بعدی اعداد مربع کامل، یاد می‌گیریم که حاصل‌ضرب هر دو مربع کامل همیشه یک مربع کامل دیگر خواهد بود. دو مربع کامل مانند $$16$$ و $$25$$ را در نظر بگیرید. حاصل‌ضرب این دو مربع کامل برابر است با $$16\times 25=400$$ که یک مربع کامل دیگر است:

$$16=4^2$$

$$25=5^2$$

$$16\times 25=(4^2)(5^2)=(20{)}^2=400$$

مثال دیگر این ویژگی به شکل زیر است:

$$9\times 49=441$$

و چون داریم:

$$441=21^2$$

پس حاصل‌ضرب دو مربع کامل یک مربع کامل دیگر شده است.

ارتباط سه‌ تایی فیثاغورثی و مجذور کامل

می‌دانیم بر اساس قضیه فیثاغورس، در هر مثلث قائم‌الزاویه اگر طول دو ضلع عمود بر هم برابر با $$a$$ و $$b$$ و طول وتر برابر با $$c$$ باشد، رابطه زیر برقرار است:

$$a^2+b^2=c^2$$

هر مجموعه‌ سه عددی که در این رابطه صادق باشند، سه‌تایی فیثاغورثی نامیده می‌شوند. به عبارت دیگر، برای هر عدد طبیعی $$n$$ بزرگتر از $$1$$، سه عدد زیر یک سه‌تایی فیثاغورثی تشکیل می‌دهند:

$$2n$$

$$n^2-1$$

$$n^2+1$$

برای مثال، فرض کنید می‌خواهید سه‌تایی فیثاغورثی‌ای را بیابید که کوچک‌ترین عضو آن $$22$$ باشد. چون کوچکترین عدد برابر $$22$$ است، بنابراین داریم:

$$2n=22$$

پس نتیجه می‌شود:

$$n=11$$

$$n^2-1=121-1=120$$

$$n^2+1=121+1=122$$

بنابراین $$(22\text{،}120\text{،}122)$$ یک سه‌تایی فیثاغورثی است، چون قضیه فیثاغورث در مورد این سه عدد به شکل $$22^2+120^2=122^2$$ برقرار است. پس از بیان این مقدمه، در ادامه به معرفی چند الگو می‌پردازیم که در مورد اعداد مربع کامل بکار می‌روند.

مجموع دو عدد مثلثی متوالی، همیشه یک مربع کامل است. دقت کنید عدد مثلثی به عددی گفته می‌شود که از مجموع چند عدد طبیعی متوالی و از $$1$$ شروع می‌شود، مانند $$1\text{،}3\text{،}6\text{،}10\text{،}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$$.

مجموع $$n$$ عدد طبیعی فرد اول برابر است با $$n^2$$:

برای مثال، به مجموع پنج عدد طبیعی فرد اول زیر توجه کنید که برابر شده است با مجذور پنج:

$$1+3+5+7+9=25=5^2$$

اگر عدد $$1$$ را به حاصل‌ضرب دو عدد فرد متوالی اضافه کنیم، حاصل برابر با مجذور عدد زوجی خواهد بود که بین آن دو عدد قرار دارد:

به همین ترتیب، اگر عدد $$1$$ را به حاصل‌ضرب دو عدد زوج متوالی اضافه کنیم، حاصل برابر با مجذور عدد فردی خواهد بود که بین آن دو قرار گرفته است:

مجذور هر عدد فرد به جز عدد $$1$$ را می‌توان به صورت مجموع دو عدد طبیعی متوالی نوشت:

تفاوت جذر و مجذور چیست؟

جذر و مجذور دو مفهوم عکس هم هستند مانند مثل ضرب و تقسیم یا جمع و تفریق. برای اینکه بهتر متوجه شوید تفاوت جذر و مجذور چیست، جدول زیر را بررسی کنید:

پس زمانی که یک عدد را دو بار در خودش ضرب می‌کنید، آن را مجذور کرده‌اید. همان‌طور که در بخش‌های قبل گفتیم، نام دیگر مجذور، مربع یا توان دوم است. اما جذر یعنی پیدا کردن ریشه یا عدد اولیه‌ای که ضرب در خودش شده است. به زبان ساده، وقتی به شما می‌گویند جذر یک عدد را بگیرید، یعنی  از خود بپرسید که چه عددی در خودش ضرب شده است تا این عدد به‌دست آید. نماد ریاضی ریشه دوم یا جذر رادیکال است.

تفاوت مکعب و مجذور چیست؟

مجذور و مکعب دو مفهوم متفاوت در ریاضی هستند که نشان می‌دهند یک عدد چند بار در خودش ضرب شده است. تفاوت اصلی این دو مفهوم، در تعداد دفعات ضرب یک عدد در خودش است:

جدول زیر نشان می‌دهد تفاوت مکعب و مجذور چیست:

روش های محاسبه مجذور یک عدد

پس از اینکه آموختید مجذور چیست و مربع کامل بودن یک عدد چه ویژگی‌هایی دارد، در این قسمت می‌خواهیم روش‌هایی را به شما آموزش دهیم که با استفاده از آن‌ها بتوانید به سرعت مجذور یک عدد دو رقمی را پیدا کنید. پیش از شروع این بخش پیشنهاد می‌کنیم اگر می‌خواهید به انواع محاسبات سریع ریاضی مسلط شوید، فیلم آموزش محاسبات سریع ریاضی – به زبان ساده + گواهینامه فرادرس را مشاهده کنید که لینک آن نیز در ادامه برای دسترسی راحتتر شما قرار داده شده است:

روش ستونی

در روش ستونی برای محاسبه مجذور یک عدد، اگر عدد مورد نظر یک عدد دو رقمی به صورت $$ab$$ باشد، ابتدا سه ستون به شکل زیر تشکیل دهید:

در این جدول مقدار مربع رقم دهگان را در ستون اول، مقدار دو برابر حاصل‌ضرب رقم دهگان و یکان را در ستون دوم و مربع رقم یکان را در ستون سوم قرار داده‌ایم. حالا مراحل زیر را قدم به قدم اجرا کنید:

برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم بدانیم در مورد عدد $$38$$، مقدار مجذور چیست. رقم یکان این عدد $$8$$ و رقم دهگان آن $$3$$‌ است. پس داریم:

طبق این روش، نتیجه برابر می‌شود با $$38^2=1444$$.

روش قطری

دومین روش محاسبه سریع مجذور یک عدد، استفاده از روش قطری است که شامل مراحل زیر است:

دقت کنید در مورد مرحله اول، اگر عدد موردنظر ما دو رقمی باشد، چهار و اگر سه رقمی باشد، نه زیرمربع لازم داریم. برای مثال، فرض کنید می‌خواهیم مجذور عدد $$86$$ را به روش قطری محاسبه کنیم. ابتدا یک مربع رسم می‌کنیم. سپس گام به گام به شکل زیر پیش می‌رویم تا مشخص شود مجذور چیست:

$$86^2=7396$$

حل مثال و تمرین از مجذور

در انتهای این مطلب از مجله فرادرس و پس از اینکه یاد گرفتید تفاوت مکعب، جذر و مجذور چیست، به حل و بررسی چند نمونه سوال می‌پردازیم تا به تسلط کاملی در این موضوع دست پیدا کنید.

مثال ۱

آیا عدد $$500$$ یک مربع کامل است؟ اگر پاسخ منفی است، به سوالات زیر پاسخ دهید:

پاسخ

با استفاده از روش تجزیه به عوامل اول، خواهیم داشت:

$$500=2\times 2\times 5\times 5\times 5$$

در این تجزیه، دو عامل اول و دو عامل آخر را می‌توان به‌صورت جفت‌هایی از عوامل مساوی گروه‌بندی کرد، اما عامل $$5$$ آخر را نمی‌توان با هیچ عامل دیگری جفت کرد. بنابراین عدد $$500$$ یک مربع کامل نیست. در ادامه برای پاسخ به اولین سوال، از آنجا که عامل $$5$$ بدون جفت باقیمانده است، پس باید عدد $$500$$ را در $$5$$ ضرب کنیم تا حاصل یک مربع کامل شود:

$$500\times 5=2\times 2\times 5\times 5\times 5\times 5$$

ملاحظه می‌کنید که حالا تمام عوامل به‌صورت جفت‌های مساوی گروه‌بندی شده‌اند. بنابراین، عدد موردنیاز برابر است با $$5$$. در دومین سوال، چون عامل $$5$$ بدون جفت باقیمانده است، باید عدد $$500$$ را بر $$5$$ تقسیم کنیم تا خارج‌قسمت، یک مربع کامل شود:

$$500÷5=2\times 2\times 5\times 5$$

حالا تمام عوامل به‌صورت جفت‌های مساوی گروه‌بندی شده‌اند. بنابراین، عدد موردنیاز در این سوال نیز برابر با $$5$$ است.

مثال ۲

یک سه‌تایی فیثاغورثی بنویسید که یکی از اعضای آن عدد $$36$$ باشد:

پاسخ

در این سوال داریم:

$$2n=36$$

$$n=18$$

بنابراین طبق توضیحاتی که در بخش‌های قبل داشتیم، دو بخش دیگر از سه‌تایی به شکل زیر محاسبه خواهند شد:

$$n^2-1=18^2-1=323$$

$$n^2+1=18^2+1=325$$

بنابراین سه‌تایی فیثاغورثی برابر است با $$(36\text{،}323\text{،}325)$$.

مثال ۳

بدون انجام عمل جمع، حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید:

$$1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27$$

پاسخ

عبارت بالا مجموع $$14$$ عدد طبیعی فرد اول است. با استفاده از ویژگی اعداد مربع کامل می‌دانیم که مجموع $$n$$ عدد طبیعی فرد اول برابر با $$n^2$$. چون در این عبارت $$14$$ عدد فرد وجود دارد، بنابراین داریم:

$$1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27=14^2$$

پس کافی است مجذور $$14$$ را محاسبه کنیم:

$$1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27=196$$

مثال ۴

اعداد زیر را به‌صورت مجموع اعداد طبیعی فرد بیان کنید.

پاسخ

ابتدا عدد $$64$$ را به‌صورت مجموع اعداد طبیعی فرد نمایش می‌دهیم. می‌دانیم که مجموع $$n$$ عدد طبیعی فرد اول برابر است با $$n^2$$ و چون $$64=8^2$$ پس عدد $$64$$ برابر است با مجموع $$8$$ عدد طبیعی فرد اول. یعنی داریم:

$$64=1+3+5+7+9+11+13+15$$

به همین شکل در مورد نمایش عدد $$144$$ به‌صورت مجموع اعداد طبیعی فرد نیز داریم $$12^2=144$$. پس $$144$$ برابر است با مجموع $$12$$ عدد طبیعی فرد اول:

$$144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23$$

مثال ۵

چه تعداد عدد طبیعی غیرمربع کامل بین مجذور اعداد زیر قرار دارد؟

پاسخ

می‌دانیم که بین مجذور دو عدد طبیعی متوالی یعنی بین $$n^2$$ و $$(n+1{)}^2$$ دقیقا $$2n$$ عدد غیرمربع کامل وجود دارد. بنابراین بین مجذورهای $$14$$ و $$15$$ تعداد $$2\times 14=28$$ عدد طبیعی غیرمربع کامل وجود دارد و بین مجذورهای دو عدد $$60$$ و $$61$$ نیز $$2\times 60=120$$ عدد طبیعی غیرمربع کامل وجود دارد.

تمرین ۱

تمرین ۲

تمرین ۳