نمونه سوال ریاضی دهم با جواب – به زبان ساده

کتاب ریاضی دهم یا ریاضی ۱ شامل هفت فصل است و مباحث متنوعی از درس ریاضی مانند مجموعه‌ها، دنباله‌ها، مثلثات، توان و عبارت‌های جبری، معادله و نامعادله، تابع، جایگشت و ترکیب و آمار و احتمال را پوشش می‌دهد. در این گزارش از مجله فرادرس پس از مرور تعریف‌ها، فرمول‌ها و نکات مهم هر فصل، به حل نمونه سوال ریاضی دهم با جواب خواهیم پرداخت.

ابتدا مروری داریم بر مهم‌ترین مباحثی که در کتاب ریاضی یک مطرح شده است:

در ادامه ابتدا به معرفی نکات مهم هر فصل می‌پردازیم و سپس چندین نمونه سوال ریاضی دهم را برای هر فصل حل خواهیم کرد.

پیش از اینکه به ارزیابی شرحات و نمونه سوال ریاضی دهم برای هر فصل بپردازیم، در این بخش با استفاده از فلش‌کارت‌های زیر می‌توانید مروری داشته باشید بر مهم‌ترین نکات و فرمول‌های این کتاب. با کلیک دوم روی هر فلش‌کارت، محتوای پشت آن قابل‌مشاهده است:

به گروهی از اشیا، اجزا یا اعداد مشخص و غیرتکراری، مجموعه گفته می‌شود. هر کدام از این اشیا، اجزا یا اعداد یک عضو مجموعه نام دارند. دقت کنید، روزهای هفته هم می‌توانند یک مجموعه بسازند. بنابراین لازم نیست اعضای مجموعه حتما اعداد باشند. برای نشان دادن یک مجموعه از آکولادهای باز و بسته به‌صورت $$left{right}$$ استفاده می‌شود و تمام اعضای مجموعه داخل این دو آکولاد قرار می‌گیرند.

هر مجموعه دارای یک اسم است که عموما با یک حرف انگلیسی بزرگ نشان داده می‌شود. برای مثال داریم:

$$mathbb{N}=left{ 1,2,3,…right}$$ = مجموعه اعداد طبیعی

$$mathbb{Z}=left{ …,-3,-2,-1,0,1,2,3,…right}$$ = مجموعه اعداد صحیح

مهم‌ترین مجموعه‌های اعداد در ریاضیات به شکل زیر طبقه‌بندی می‌شوند (تمام این مجموعه‌ها نامتناهی هستند):

$$mathbb{N} subset mathbb{Z} subset mathbb{Q} subset mathbb{R}$$

بخشی از مهم‌ترین تعریف‌های این بخش را در ادامه مشاهده می‌کنید:

تفاوت مجموعه متناهی و نامتناهی نیز به‌صورت زیر است:

در بخش بعدی این فصل، با مفهوم مجموعه مرجع و متمم آشنا می‌شوید:

خصوصیت‌های مهم مجموعه متمم عبارت‌اند از:

$$(A’)’ = A$$

$$A cap A’ = emptyset$$

$$A cup A’ = U$$

$$U’ = emptyset$$

$$emptyset’ = U$$

$$A – B = A cap B’$$

از سوی دیگر در مورد تعداد اعضای مجموعه‌ها روابط زیر برقرار است:

$$n(A cup B) = n(A) + n(B) – n(A cap B)$$

$$n(A – B) = n(A) – n(A cap B)$$

نکته: به هر دو مجموعه‌ای که فاقد عضو مشترک باشند، دو مجموعه مجزا یا جدا از هم می‌گوییم.

بخش بعدی فصل اول ریاضی دهم به مبحث دنباله‌ها اختصاص دارد. آرایشی از اعداد کنار هم به صورت $$a_1, a_2, a_3, dots, a_n$$ را یک دنباله می‌نامیم. دنباله‌ها دو نوع هستند، دنباله حسابی و دنباله هندسی. به نکات زیر در مورد دنباله‌ حسابی توجه کنید:

به نکات زیر در مورد دنباله‌ هندسی توجه کنید:

نکته: اگر اختلاف جملات ثابت باشد، دنباله درجه اول یا حسابی است ($$t_n = an + b$$)، اما اگر اختلاف اختلاف‌ها ثابت باشد، دنباله درجه دوم است ($$t_n = an^2 + bn + c$$).

در این بخش به حل و مرور چند نمونه سوال ریاضی دهم از فصل اول خواهیم پرداخت. پیش از آغاز، می‌توانید به کمک جدول زیر کلیه فرمول‌ها و روابط مهم این فصل را مرور کنید:

مشخص کنید کدام‌یک از مجموعه‌های زیر متناهی و کدام‌یک نامتناهی هستند؟

پاسخ

در ادامه ارزیابی هر کدام از مجموعه‌ها به ترتیب انجام شده است:

اگر $$A = (-2, 3]$$ و $$B = [1, 5)$$ دو بازه روی محور اعداد حقیقی باشند، مجموعه‌های $$A cap B$$ و $$A cup B$$ را به صورت بازه بنویسید:

پاسخ

روی محور اعداد بازه $$A$$ شامل اعداد از بزرگتر از $$-2$$ تا $$3$$ است. بازه $$B$$ نیز شامل اعداد از $$1$$ تا کوچکتر از $$5$$ است. پس بخش مشترک هر دو بازه به شکل زیر می‌شود:

$$Leftarrow A cap B = [1, 3]$$

علاوه بر این اجتماع نیز از کوچک‌ترین مقدار در $$A$$ تا بزرگ‌ترین مقدار در $$B$$ را شامل می‌شود:

$$Leftarrow A cup B = (-2, 5)$$

فرض کنید $$U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}$$ یک مجموعه مرجع باشد و $$A = {2, 3, 5, 7}$$ و $$B = {1, 3, 5, 7, 9}$$ باشند. مجموعه $$(A cup B)’$$ را به‌دست آورید:

پاسخ

ابتدا $$A cup B$$ را تشکیل می‌دهیم:

$$A cup B = {1, 2, 3, 5, 7, 9}$$

سپس متمم آن را از $$U$$ کم می‌کنیم:

در یک همایش $$50$$ نفره، $$30$$ نفر به زبان انگلیسی و $$25$$ نفر به زبان فرانسوی تسلط دارند. اگر $$10$$ نفر به هر دو زبان تسلط داشته باشند:

پاسخ

با استفاده از فرمول تعداد اعضای اجتماع، برای سوال اول داریم:

$$n(A cup B) = 30 + 25 – 10 = 45$$

افراد بدون تسلط برابر با متمم اجتماع ($$n((A cup B)’)$$) هستند:

$$n((A cup B)’) = n(U) – n(A cup B) = 50 – 45 = 5$$

در یک دنباله حسابی، جمله سوم برابر با $$11$$ و جمله هفتم برابر با $$27$$ است. جمله عمومی ($$a_n$$) این دنباله را بنویسید:

پاسخ

با استفاده از رابطه تفاضل دو جمله در دنباله حسابی ($$a_m – a_n = (m-n)d$$) داریم:

$$a_7 – a_3 = (7 – 3)d quad Rightarrow quad 27 – 11 = 4d $$

$$ quad Rightarrow quad 16 = 4d quad Rightarrow quad d = 4$$

برای به دست آوردن جمله اول یعنی $$a_1$$ نیز به شکل زیر عمل می‌کنیم:

$$a_3 = a_1 + 2d quad Rightarrow quad 11 = a_1 + 2(4) quad$$

$$ Rightarrow quad 11 = a_1 + 8 quad Rightarrow quad a_1 = 3$$

پس فرمول جمله عمومی به شکل زیر است:

$$a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1)4 = 4n – 1$$

در یک دنباله هندسی با جملات مثبت، جمله دوم برابر با $$6$$ و جمله چهارم برابر با $$24$$ است. قدرنسبت ($$r$$) و جمله عمومی دنباله را تعیین کنید:

پاسخ

از رابطه تقسیم دو جمله در دنباله هندسی ($$frac{a_m}{a_n} = r^{m-n}$$) داریم:

$$frac{a_4}{a_2} = r^{4-2} quad Rightarrow quad frac{24}{6} = r^2 quad$$

$$ Rightarrow quad r^2 = 4 quad Rightarrow quad r = 2$$

چون جملات مثبت هستند، پس محاسبه جمله اول به شکل زیر انجام می‌شود:

$$a_2 = a_1 cdot r quad Rightarrow quad 6 = a_1 cdot 2 quad Rightarrow quad a_1 = 3$$

و جمله عمومی برابر می‌شود با:

$$a_n = a_1 cdot r^{n-1} = 3 cdot 2^{n-1}$$

در بخش قبل به قسمتی از نمونه سوال ریاضی دهم پرداختیم. در این بخش قصد داریم چند فیلم آموزشی از مجموعه فرادرس را به شما معرفی کنیم که با هدف تسلط جامع بر کلیه مباحث ریاضی دهم و به تفکیک برای رشته‌های مختلف تنظیم شده است:

در یک مثلث قائم‌الزاویه، نسبت اضلاع به یکدیگر طبق اندازه زاویه‌ها نامگذاری می‌شود:

به این نسبت‌ها، نسبت‌های مثلثاتی می‌گوییم. در ادامه دایره‌ای به شعاع $$r = 1$$ که مرکز آن روی مبدا مختصات قرار دارد، دایره مثلثاتی نامیده می‌شود. محور افقی این دایره همان محور کسینوس‌ها و محور عمودی آن همان محور سینوس‌ها است. مختصات هر نقطه روی دایره مثلثاتی به‌صورت زیر نمایش داده می‌شود:

$$P(costheta, sintheta)$$

علامت نسبت‌های مثلثاتی در نواحی چهارگانه یا ربع‌ها به شکل زیر است:

به این ترتیب اگر خطی با جهت مثبت محور $$x$$ها زاویه $$theta$$ بسازد، شیب آن خط برابر با تانژانت آن زاویه است ($$m = tantheta$$). نسبت‌های مثلثاتی برخی از زاویه‌های خاص در جدول زیر نشان داده شده است:

نکته: برای هر زاویه دلخواه $$theta$$، همواره مقادیر سینوس و کسینوس در نامساوی زیر قرار می‌گیرند:

$$-1 le sintheta le 1$$

$$-1 le costheta le 1$$

پیشنهاد می‌کنیم برای تسلط بیشتر به فرمول‌‌های مثلثات، مطلب «روابط بین سینوس و کسینوس – تمام فرمول ها + مثال و تمرین» از مجله فرادرس را نیز مطالعه کنید. در ادامه اگر می‌خواهید با نحوه رسم نمودارهای توابع مثلثاتی بهتر آشنا شوید، مطالب زیر راهنمای مناسبی هستند:

در این بخش به حل و ارزیابی چند نمونه سوال ریاضی دهم با تمرکز بر بخش مثلثات خواهیم پرداخت. جدول اتحادها و روابط اصلی مثلثات در ادامه برای شما قرار داده شده است:

در یک مثلث قائم‌الزاویه طول وتر برابر با $$12 text{ cm}$$ است و یکی از زوایای حاده آن نیز $$60^circ$$ اندازه‌گیری شده است. طول اضلاع قائم این مثلث را به‌دست آورید:

پاسخ

فرض می‌کنیم وتر $$c = 12$$ و زاویه $$theta = 60^circ$$ باشد، در این صورت داریم:

$$sin(60^circ) = frac{text{ مقابل}}{c} $$

$$ implies frac{sqrt{3}}{2} = frac{text{مقابل}}{12}$$

$$implies text{مقابل} = frac{12sqrt{3}}{2} = 6sqrt{3} text{ cm}$$

$$cos(60^circ) = frac{text{مجاور}}{c} $$

$$implies frac{1}{2} = frac{text{مجاور}}{12} $$

$$implies text{مجاور} = 6 text{ cm}$$

اگر $$cosalpha = -frac{5}{13}$$ و زاویه $$alpha$$ در ناحیه سوم دایره مثلثاتی قرار داشته باشد، مقادیر $$sinalpha$$ و $$tanalpha$$ را محاسبه کنید:

پاسخ

$$sin^2alpha + cos^2alpha = 1 $$

$$implies sin^2alpha + left(-frac{5}{13}right)^2 = 1$$

$$sin^2alpha + frac{25}{169} = 1 $$

$$implies sin^2alpha = 1 – frac{25}{169} = frac{144}{169}$$

$$ implies sinalpha = pm frac{12}{13}$$

علامت حاصل عبارت زیر را تعیین کنید:

پاسخ

برای حل این سوال داریم:

حالا با ضرب علائم در یکدیگر خواهیم داشت:

معادله خطی را بنویسید که از نقطه $$A(2, -1)$$ می‌گذرد و با جهت مثبت محور $$x$$ها زاویه $$135^circ$$ می‌سازد:

پاسخ

برای محاسبه شیب خط یا $$m$$ به شکل زیر عمل می‌کنیم:

می‌دانیم نوشتن معادله خط با داشتن یک نقطه و شیب با استفاده از فرمول $$y – y_1 = m(x – x_1)$$ انجام می‌شود. پس داریم:

اگر $$tantheta = frac{3}{4}$$ باشد و زاویه $$theta$$ در ناحیه اول قرار داشته باشد، مقدار $$costheta$$ و $$sintheta$$ را بیابید:

پاسخ

$$1 + left(frac{3}{4}right)^2 = frac{1}{cos^2theta} $$

$$implies 1 + frac{9}{16} = frac{1}{cos^2theta} $$

$$ implies frac{25}{16} = frac{1}{cos^2theta}$$

$$cos^2theta = frac{16}{25} $$

$$implies costheta = pm frac{4}{5}$$

و چون $$theta$$ در ناحیه اول است، پس کسینوس مثبت است: $$ costheta = frac{4}{5}$$. برای سینوس نیز داریم:

درستی اتحاد زیر را ثابت کنید:

پاسخ

ابتدا سمت چپ عبارت را در نظر گرفته و مخرج‌مشترک می‌گیریم:

حالا صورت کسر را باز می‌کنیم:

با توجه به اینکه داریم $$sin^2theta + cos^2theta = 1$$، پس حاصل خواهد شد:

حالا عبارت را مجددا در کسر جایگذاری می‌کنیم:

در سومین فصل ریاضی یک به ارزیابی قابلیت‌های توان‌ و عبارت‌های جبری می‌پردازیم. فرض کنید $$a$$ و $$b$$ دو عدد حقیقی باشند و $$n$$ یک عدد طبیعی بزرگتر از $$1$$ باشد، طوری که $$b^n = a$$. در این صورت $$b$$ را ریشه $$n$$ام عدد $$a$$ می‌نامیم. قوانین ریشه‌گیری مطابق فرد یا زوج بودن $$n$$ به شکل زیر است:

حالا به تعریف توان گویا می‌پردازیم. اگر $$a > 0$$ یک عدد حقیقی و $$m$$ یک عدد صحیح و $$n$$ یک عدد طبیعی ($$n ge 2$$) باشند، توان گویا به‌صورت زیر به رادیکال تبدیل می‌شود:

$$a^{frac{m}{n}} = sqrt[n]{a^m} = (sqrt[n]{a})^m$$

خصوصیت‌ها و قوانین توان‌های گویا برای اعداد حقیقی و مثبت $$a$$ و $$b$$ و اعداد گویای $$r$$ و $$s$$ به‌صورت زیر است:

در ادامه این فصل، مهم‌ترین فرمول‌های اتحادها معرفی شده‌اند:

علاوه بر این روش‌های تجزیه عبارت‌های جبری به‌صورت خلاصه عبارت‌اند از:

در نهایت برای گویا کردن مخرج کسرها می‌توانید به شکل زیر عمل کنید:

$$frac{1}{sqrt[n]{a^m}} times frac{sqrt[n]{a^{n-m}}}{sqrt[n]{a^{n-m}}} = frac{sqrt[n]{a^{n-m}}}{a}$$

در این بخش به حل و مرور چند نمونه سوال ریاضی دهم از فصل سوم خواهیم پرداخت. پیشنهاد می‌کنیم پیش از آغاز مطلب «ساده کردن رادیکال ها – به زبان ساده با مثال و تمرین» از مجله فرادرس را در این زمینه مطالعه کنید.

حاصل عبارت زیر را ساده کنید:

$$A = sqrt[4]{(1 – sqrt{3})^4} + sqrt[3]{(1 – sqrt{3})^3}$$

پاسخ

برای رادیکال با فرجه زوج ($$n = 4$$) داریم:

$$sqrt[4]{(1 – sqrt{3})^4} = vert{}1 – sqrt{3}vert{}$$

چون $$sqrt{3} approx 1.73$$ است، پس $$1 – sqrt{3} < 0$$ می‌شود. در برآیند داریم:

$$vert{}1 – sqrt{3}vert{} = -(1 – sqrt{3}) = sqrt{3} – 1$$

برای رادیکال با فرجه فرد ($$n = 3$$) نیز داریم:

$$sqrt[3]{(1 – sqrt{3})^3} = 1 – sqrt{3}$$

پس مجموع دو عبارت خواهد شد:

$$A = (sqrt{3} – 1) + (1 – sqrt{3}) = 0$$

حاصل عبارت زیر را به‌صورت یک توان گویا بنویسید:

$$B = frac{8^{frac{2}{3}} cdot sqrt{32}}{2^{-frac{1}{2}}}$$

پاسخ

ابتدا همه اعداد را به پایه $$2$$ تبدیل می‌کنیم:

$$8^{frac{2}{3}} = (2^3)^{frac{2}{3}} = 2^{3 cdot frac{2}{3}} = 2^2$$

$$sqrt{32} = sqrt{2^5} = 2^{frac{5}{2}}$$

$$2^{-frac{1}{2}}$$

حالا با جایگذاری در عبارت اصلی داریم:

$$B = frac{2^2 cdot 2^{frac{5}{2}}}{2^{-frac{1}{2}}} $$

$$ 2^{2 + frac{5}{2} – (-frac{1}{2})} = 2^{2 + frac{5}{2} + frac{1}{2}} = 2^{2 + frac{6}{2}} = 2^{2 + 3} = 2^5 = 32$$

عبارت زیر را تا حد قابلیت ساده کنید:

$$C = sqrt{50x^3} – xsqrt{18x} + sqrt{2x^3} quad (x ge 0)$$

پاسخ

ابتدا عوامل مربع جامع را از زیر رادیکال خارج می‌کنیم:

$$sqrt{50x^3} = sqrt{25x^2 cdot 2x} = 5xsqrt{2x}$$

$$xsqrt{18x} = xsqrt{9 cdot 2x} = x cdot 3sqrt{2x} = 3xsqrt{2x}$$

$$sqrt{2x^3} = sqrt{x^2 cdot 2x} = xsqrt{2x}$$

حالا با جایگذاری در عبارت اصلی خواهیم داشت:

$$C = 5xsqrt{2x} – 3xsqrt{2x} + xsqrt{2x} = (5 – 3 + 1)xsqrt{2x} = 3xsqrt{2x}$$

عبارت $$x^6 – 64$$ را به‌صورت حاصل‌ضرب چندجمله‌ای‌ها تجزیه کنید:

پاسخ

از اتحاد مزدوج آغاز می‌کنیم:

$$x^6 – 64 = (x^3)^2 – (8)^2 = (x^3 – 8)(x^3 + 8)$$

حالا برای هر دو پرانتز از اتحاد چاق و لاغر استفاده می‌کنیم:

$$x^3 – 8 = x^3 – 2^3 = (x – 2)(x^2 + 2x + 4)$$

خروجی نهایی تجزیه به شکل زیر است:

$$x^6 – 64 = (x – 2)(x + 2)(x^2 + 2x + 4)(x^2 – 2x + 4)$$

اگر $$x + frac{1}{x} = 4$$ باشد، مقدار $$x^3 + frac{1}{x^3}$$ را به‌دست آورید:

پاسخ

ابتدا دو طرف رابطه را به توان $$3$$ می‌رسانیم:

$$left(x + frac{1}{x}right)^3 = 4^3$$

حالا با استفاده از بسط اتحاد مکعب یا $$(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$$ داریم:

$$x^3 + left(frac{1}{x}right)^3 + 3(x)left(frac{1}{x}right)left(x + frac{1}{x}right) = 64$$

$$x^3 + frac{1}{x^3} + 3(1)(4) = 64$$

$$x^3 + frac{1}{x^3} + 12 = 64 implies x^3 + frac{1}{x^3} = 64 – 12 = 52$$

مخرج کسر زیر را گویا کنید:

$$D = frac{6}{sqrt{7} – sqrt{1}} = frac{6}{sqrt{7} – 1}$$

پاسخ

کافی است صورت و مخرج را در مزدوج مخرج، یعنی $$sqrt{7} + 1$$ ضرب کنیم:

$$D = frac{6}{sqrt{7} – 1} times frac{sqrt{7} + 1}{sqrt{7} + 1} = frac{6(sqrt{7} + 1)}{(sqrt{7})^2 – (1)^2}$$

$$D = frac{6(sqrt{7} + 1)}{7 – 1} = frac{6(sqrt{7} + 1)}{6} = sqrt{7} + 1$$

معادله‌ای به فرم کلی زیر که در آن $$a ne 0$$ و $$a, b, c in mathbb{R}$$ باشد، یک معادله درجه دوم نامیده می‌شود:

در معادله درجه دو، بیشترین توان متغیرها برابر با عدد دو است. همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، در معادله بالا توان اول از $$ x $$ هم دیده می‌شود. اما چون بالاترین توان این متغیر دو است، پس این معادله یک معادله درجه دو خواهد بود نه یک معادله درجه یک یا خطی. اگر نمودار یک معادله درجه دو را رسم کنیم، یعنی با مقداردهی به متغیر $$ x $$، مقدار $$ y $$ را تعیین کنیم و سپس $$ y $$ را بر حسب $$ x $$ رسم کنیم، شکل نمودار حاصل به‌صورت یک سهمی خواهد بود.

در مورد اولین روش، اگر بتوان عبارت $$ax^2 + bx + c$$ را به حاصل‌ضرب دو عامل خطی تجزیه کرد ($$A cdot B = 0$$)، آن‌گاه داریم:

در ادامه روش مربع دقیق کردن مراحل زیر را دارد:

و در نهایت در روش دلتا، ابتدا از فرمول زیر استفاده می‌کنیم تا دلتا تعیین شود:

$$Delta = b^2 – 4ac$$

در بخش دیگر این فصل به تحلیل مشخصه‌های سهمی می‌پردازیم. در حالت کلی نمودار هر تابع درجه دومی به فرم $$y = ax^2 + bx + c$$ یک منحنی به نام سهمی است:

مختصات راس سهمی به‌صورت زیر است:

$$S = left( -frac{b}{2a} ,,, fleft(-frac{b}{2a}right) right) = left( -frac{b}{2a} ,,, frac{4ac – b^2}{4a} right)$$

و خط عمودی به معادله $$x = -frac{b}{2a}$$، خطی است که سهمی نسبت به آن متقارن است. در ادامه چهارمین فصل ریاضی ۱، تعیین علامت عبارت‌های خطی و درجه دوم را داریم. برای تعیین علامت یک عبارت جبری خطی مانند $$ax + b$$ ابتدا ریشه را به‌دست می‌آوریم:

$$x = -frac{b}{a}$$

سپس یک جدول تعیین علامت تشکیل می‌دهیم:

در مورد تعیین علامت عبارت‌های درجه دوم ($$ax^2 + bx + c$$) نیز چند حالت داریم:

در آخرین بخش این فصل، به روش حل نامعادلات قدر مطلقی می‌پردازیم. طبق تعریف قدر مطلق، می‌دانیم برای هر $$k > 0$$ داریم:

$$vert{}xvert{} le k iff -k le x le k$$

$$vert{}xvert{} ge k iff x ge k quad text{یا} quad x le -k$$

در این بخش به حل و ارزیابی چند نمونه سوال ریاضی دهم از فصل چهارم خواهیم پرداخت.

معادله $$x^2 – 6x + 2 = 0$$ را به روش مربع دقیق حل کنید:

پاسخ

ابتدا عدد ثابت را به سمت راست منتقل می‌کنیم:

$$x^2 – 6x = -2$$

نصف ضریب $$x$$ برابر با $$frac{-6}{2} = -3$$ و مربع آن برابر با $$(-3)^2 = 9$$ است. حالا عدد $$9$$ را به طرفین اضافه می‌کنیم:

$$x^2 – 6x + 9 = -2 + 9$$

و سمت چپ را به صورت اتحاد مربع می‌نویسیم:

$$(x – 3)^2 = 7$$

سپس با ریشه‌گیری از طرفین داریم:

$$x – 3 = pmsqrt{7} implies x = 3 pm sqrt{7}$$

ریشه‌های معادله $$3x^2 – 5x – 2 = 0$$ را به روش دلتا به‌دست آورید:

پاسخ

ابتدا ضرایب معادله را مشخص می‌کنیم:

$$a = 3$$

$$b = -5$$

$$c = -2$$

حالا محاسبه دلتا را انجام می‌دهیم:

$$Delta = b^2 – 4ac = (-5)^2 – 4(3)(-2) = 25 + 24 = 49$$

چون $$Delta > 0$$ است، دو ریشه داریم:

$$x = frac{-b pm sqrt{Delta}}{2a} = frac{-(-5) pm sqrt{49}}{2(3)} = frac{5 pm 7}{6}$$

$$x_1 = frac{5 + 7}{6} = frac{12}{6} = 2$$

$$x_2 = frac{5 – 7}{6} = frac{-2}{6} = -frac{1}{3}$$

به ازای چه مقادیری از $$m$$، معادله $$x^2 – 2mx + (m + 2) = 0$$ دارای یک ریشه مضاعف است؟

پاسخ

شرط داشتن ریشه مضاعف این است که $$Delta = 0$$ باشد. ابتدا ضرایب این معادله را می‌نویسیم:

$$a = 1$$

$$b = -2m$$

$$c = m + 2$$

سپس دلتا را محاسبه می‌کنیم:

$$Delta = b^2 – 4ac = (-2m)^2 – 4(1)(m + 2) = 4m^2 – 4m – 8$$

از صفر قرار دادن عبارت بالا حاصل می‌گیریم:

$$4m^2 – 4m – 8 = 0 xrightarrow{div 4} m^2 – m – 2 = 0$$

و با تجزیه جمله‌مشترک داریم:

$$(m – 2)(m + 1) = 0 implies m = 2 quad text{یا} quad m = -1$$

مختصات راس و خط محور تقارن سهمی $$y = -x^2 + 4x – 3$$ را به‌دست آورید:

پاسخ

می‌دانیم ضرایب معادله درجه ۲ داده شده به شکل زیر است:

$$a = -1$$

$$b = 4$$

$$c = -3$$

طبق فرمول، طول راس سهمی برابر می‌شود با:

$$x_S = -frac{b}{2a} = -frac{4}{2(-1)} = 2$$

معادله خط محور تقارن نیز برابر است با:

$$x = 2$$

و در نهایت عرض راس سهمی نیز می‌شود:

$$y_S = -(2)^2 + 4(2) – 3 = -4 + 8 – 3 = 1$$

پس راس سهمی نقطه $$S(2, 1)$$ است. علاوه بر این برخورد با محور $$y$$ها ($$x = 0$$) در نقطه $$(0, -3)$$ و برخورد با محور$$x$$ها ($$y = 0$$) در نقاط زیر رخ می‌دهد:

$$-x^2 + 4x – 3 = 0 implies x^2 – 4x + 3 = 0 $$

$$implies (x – 1)(x – 3) = 0 implies x = 1, x = 3$$

پس نقاط برخورد با محور $$x$$ها عبارت‌اند از $$(1,0)$$ و $$(3,0)$$ و چون $$a = -1 < 0$$ است، دهانه سهمی به سمت پایین است.

عبارت $$P(x) = frac{x^2 – 4}{x + 3}$$ را تعیین علامت کنید:

پاسخ

ریشه‌های صورت برابر‌اند با:

$$x^2 – 4 = 0 implies x = pm 2$$

ریشه مخرج نیز می‌شود:

$$x + 3 = 0 implies x = -3$$

حالا جدول تعیین علامت را رسم می‌کنیم:

پس عبارت در بازه‌های $$(-infty, -3)$$ و $$(-2, 2)$$ منفی است.

مجموعه جواب نامعادله $$x^2 – 3x – 10 le 0$$ را به‌دست آورید:

پاسخ

ابتدا به تعیین ریشه‌های عبارت درجه دوم می‌پردازیم:

$$x^2 – 3x – 10 = 0 implies (x – 5)(x + 2) = 0 $$

$$implies x_1 = -2 , x_2 = 5$$

چون ضریب $$x^2$$ مثبت است ($$a = 1 > 0$$)، پس عبارت داده شده بین دو ریشه منفی و خارج از دو ریشه مثبت است. علاوه بر این چون نامعادله به صورت $$le 0$$ خواسته شده، پس جواب بین دو ریشه و شامل خود ریشه‌هاست:

$$-2 le x le 5 quad text{یا} quad x in [-2, 5]$$

مجموعه جواب نامعادله $$frac{x + 1}{x – 2} ge 2$$ را بیابید:

پاسخ

ابتدا باید تمام جملات را به یک طرف منتقل کنیم (نباید طرفین وسطین کنیم):

$$frac{x + 1}{x – 2} – 2 ge 0$$

حالا مخرج مشترک می‌گیریم:

$$frac{(x + 1) – 2(x – 2)}{x – 2} ge 0 $$

$$implies frac{x + 1 – 2x + 4}{x – 2} ge 0 implies frac{-x + 5}{x – 2} ge 0$$

ریشه صورت برابر می‌شود با:

$$-x + 5 = 0 implies x = 5$$

ریشه مخرج نیز می‌شود:

$$x – 2 = 0 implies x = 2$$

بین $$2$$ و $$5$$، صورت و مخرج علائم هم‌جهت دارند و کسر مثبت است. در $$x = 5$$ مقدار کسر صفر است (قابل قبول). در $$x = 2$$ مخرج صفر می‌شود (غیرقابل قبول). پس مجموعه جواب نهایی برابر است با:

$$x in (2, 5]$$

تابع مفهومی است که برای بیان رابطه بین دو مجموعه بکار می‌رود. در تابع دو مجموعه داریم که یکی به‌عنوان مجموعه ورودی‌های تابع یا دامنه و دیگری مجموعه خروجی تابع یا برد نامیده می‌شوند. زمانی می‌توانیم ارتباط دو مجموعه را تابع در نظر بگیریم که هر عضو از مجموعه دامنه فقط و فقط با یک عضو از مجموعه برد متناظر شود.

روش‌های تشخیص تابع در نمایش‌های مختلف به‌صورت زیر است:

در مورد اولین روش، اگر دو زوج مرتب مولفه اول برابر داشتند، باید مولفه دوم آن‌ها نیز مفصلا برابر باشد، یعنی یک زوج مرتب تکراری داشته باشیم. در مورد سومین روش نیز اگر یک خط عمودی بتوان پیدا کرد که نمودار را در دو یا چند نقطه قطع کند، آن نمودار تابع نیست. معمولا توان‌های زوج $$y$$ مانند $$y^2 = x$$ یا $$y^4 = x$$، معمولا تابع نیستند ($$y = pmsqrt{x}$$). در ادامه قدر مطلق $$y$$، مانند $$vert{}yvert{} = x$$ تابع نیست، چون داریم $$y = pm x$$.

در ریاضیات با انواع مختلفی از توابع مانند توابع درجه دو، توابع لگاریتمی، تابع قدر مطلق، تابع جزء صحیح، توابع مثلثاتی و … سروکار داریم. مطلب «انواع تابع در ریاضی – به زبان ساده + حل مثال» به‌طور مفصل توابع مختلف را برای شما بیان داده است.

قوانین محاسبه دامنه توابع از روی ضابطه نیز به‌صورت زیر است:

در این بخش به حل و ارزیابی چند نمونه سوال ریاضی دهم از فصل پنجم خواهیم پرداخت.

به ازای چه مقادیر از $$a$$ و $$b$$، رابطه زیر نشان‌دهنده یک تابع است؟

$$f = {(2, 5), (3, a + b), (2, a – b), (3, 7)}$$

پاسخ

برای اینکه این رابطه تابع باشد، زوج‌هایی که مولفه اول یکسان دارند، باید مولفه دوم یکسان نیز داشته باشند:

حل دستگاه دو معادله و دو مجهول بالا به شکل زیر انجام می‌شود:

$$begin{cases} a + b = 7 \ a – b = 5 end{cases} $$

$$ implies 2a = 12 implies a = 6$$

$$6 + b = 7 implies b = 1$$

کدامیک از روابط زیر $$y$$ را به عنوان تابعی از $$x$$ تعریف می‌کند؟ با دلیل بیان دهید:

پاسخ

در اولین مورد، با بردن $$y$$ به یک سمت داریم:

$$y^2 = 9 – x^2 implies y = pmsqrt{9 – x^2}$$

ملاحظه می‌کنیم که به ازای یک مقدار مانند $$x = 0$$، دو مقدار $$y = 3$$ و $$y = -3$$ به‌دست می‌آید. بنابراین این ضابطه تابع نیست. در مورد ضابطه بعدی داریم:

$$y^3 = x + 1 implies y = sqrt[3]{x + 1}$$

چون فرجه فرد است، به ازای هر $$x$$ دقیقا یک مقدار مشخص برای $$y$$ به‌دست می‌آید. پس این ضابطه تابع است.

تابع چندضابطه‌ای زیر داده شده است:

$$f(x) = begin{cases} 2x – 1 & x > 1 \ 4 & x = 1 \ x^2 + 3 & x < 1 end{cases}$$

حاصل عبارت $$A = frac{f(3) + f(1)}{f(-2)}$$ را به‌دست آورید:

پاسخ

برای محاسبه $$f(3)$$، چون $$3 > 1$$ است از ضابطه اول استفاده می‌کنیم:

$$f(3) = 2(3) – 1 = 6 – 1 = 5$$

برای محاسبه $$f(1)$$، چون $$x = 1$$ است، از ضابطه دوم استفاده می‌کنیم:

$$f(1) = 4$$

برای محاسبه $$f(-2)$$، چون $$-2 < 1$$ است، از ضابطه سوم استفاده می‌کنیم:

$$f(-2) = (-2)^2 + 3 = 4 + 3 = 7$$

$$A = frac{5 + 4}{7} = frac{9}{7}$$

دامنه توابع زیر را به دست آورید:

پاسخ

در مورد اولین تابع، ریشه‌های مخرج را برابر با صفر قرار می‌دهیم:

$$x^2 – 4x = 0 implies x(x – 4) = 0 implies x = 0 quad text{یا} quad x = 4$$

$$D_f = mathbb{R} – {0, 4}$$

در مورد دومین تابع نیز عبارت زیر رادیکال با فرجه زوج باید بزرگ‌تر یا مساوی صفر باشد:

$$2x – 6 ge 0 implies 2x ge 6 implies x ge 3$$

$$D_g = [3, +infty)$$

تابعی مطابق با مشخصات زیر داده شده است:

خطی که از نقطه $$A(-3, -2)$$ ابتدا شده و تا نقطه $$B(4, 5)$$ ادامه دارد (نقطه $$A$$ توپر و نقطه $$B$$ توخالی است).

دامنه و برد این تابع را به صورت بازه بنویسید:

پاسخ

دامنه یا $$D_f$$ این تابع برابر است با اصلاحات متغیر $$x$$ روی محور افقی. چون $$x$$ از $$x = -3$$ (توپر) تا $$x = 4$$ (توخالی) ادامه دارد، پس داریم:

$$D_f = [-3, 4)$$

برد یا $$R_f$$ نیز برابر است با اصلاحات متغیر $$y$$ روی محور عمودی. چون $$y$$ از $$y = -2$$ (توپر) تا $$y = 5$$ (توخالی) ادامه دارد، پس داریم:

$$R_f = [-2, 5)$$

در فصل ششم ریاضی دهم به مبحث شمارش و معرفی مفاهیمی مانند فاکتوریل، جایگشت و ترکیب می‌پردازیم. ابتدا باید ببینیم اصل ضرب و جمع چیست. اگر عملی شامل دو مرحله باشد، طوری که مرحله اول به $$m$$ روش و برای هر یک از این روش‌ها، مرحله دوم به $$n$$ روش انجام‌پذیر باشد، کل این عمل به $$m times n$$ روش انجام می‌شود. این قاعده را اصل ضرب می‌نامیم. کلمه کلیدی استفاده از اصل ضرب برای حل مسائل، استفاده از حرف «و» به معنای انجام تمام مراحل با هم است.

در مقابل اصل ضرب، اصل جمع را هم داریم. اگر بتوان کاری را از $$m$$ روش انجام داد و کار دیگری را از $$n$$ روش متفاوت و این دو کار همزمان قابل‌انجام نباشند، انتخاب یکی از این دو کار به $$m + n$$ روش انجام می‌شود. کلمه کلیدی اصل جمع در مسائل استفاده از حرف «یا» به معنای انجام یکی از حالت‌های مجزا است.

برای هر عدد طبیعی $$n$$، حاصل‌ضرب اعداد طبیعی از $$1$$ تا $$n$$ را $$n$$ فاکتوریل می‌نامیم و با $$n!$$ نشان می‌دهیم:

$$n! = n times (n-1) times (n-2) times dots times 2 times 1$$

برای مثال $$5!$$ برابر می‌شود با $$5 times 4 times 3 times 2 times 1$$. یک سری قراردادها در مورد فاکتوریل وجود دارد:

علاوه بر این چیدن $$n$$ شیء متمایز در یک ردیف متوالی را جایگشت آن‌ها می‌نامند. جایگشت را با $$P$$ نشان می‌دهیم. تعداد کل جایگشت‌های $$n$$ شیء متمایز برابر است با:

$$P(n, n) = n!$$

تعداد انتخاب و مرتب‌سازی $$r$$ شیء از بین $$n$$ شیء متمایز نیز برابر است با (ترتیب اهمیت دارد):

$$P(n, r) = frac{n!}{(n – r)!} quad (0 le r le n)$$

اما انتخاب $$r$$ شیء از بین $$n$$ شیء متمایز بدون توجه به ترتیب قرارگیری آن‌ها را ترکیب می‌نامیم که با $$binom{n}{r}$$ نشان داده می‌شود و برابر است با:

$$binom{n}{r} = C(n, r) = frac{n!}{r!(n – r)!}$$

جدول زیر مروری است بر مهم‌‌ترین فرمول‌های این فصل که بهتر است پیش از حل نمونه سوال ریاضی دهم به آن‌ها توجه کنید:

در این بخش به حل و تحلیل چند نمونه سوال ریاضی دهم از فصل ششم خواهیم پرداخت.

از شهر $$A$$ به شهر $$B$$ سه جاده و از شهر $$B$$ به شهر $$C$$ چهار جاده وجود دارد.

پاسخ

در مورد اولین سوال، طبق اصل ضرب داریم:

$$3 times 4 = 12$$

در مورد سوال دوم نیز می‌دانیم طبق بخش قبل مسیر رفت $$12$$ حالت دارد. برای برگشت از $$C$$ به $$B$$ سه جاده و از $$B$$ به $$A$$ دو جاده باقیمانده است. پس داریم:

$$(3 times 4) times (3 times 2) = 12 times 6 = 72$$

معادله فاکتوریلی زیر را حل کنید:

$$frac{(n + 1)!}{(n – 1)!} = 30$$

پاسخ

ابتدا صورت کسر را بر حسب مخرج باز می‌کنیم:

$$frac{(n + 1) cdot n cdot (n – 1)!}{(n – 1)!} = 30$$

$$(n + 1) cdot n = 30$$

چون حاصل‌ضرب دو عدد طبیعی متوالی برابر با $$30$$ شده است ($$6 times 5 = 30$$)، پس داریم:

$$n + 1 = 6 implies n = 5$$

$$5$$ کتاب ریاضی متمایز و $$3$$ کتاب فیزیک متمایز را به چند طریق می‌توان در یک قفسه کنار هم قرار داد، به شرطی که کتاب‌های فیزیک حتما کنار هم باشند؟

پاسخ

ابتدا کتاب‌های فیزیک را یک بسته واحد در نظر می‌گیریم. پس پنج کتاب ریاضی و یک بسته کتاب فیزیک داریم که روی هم می‌شوند شش شیء. جایگشت این شش شیء برابر با $$6!$$ است. اما کتاب‌های فیزیک درون خود بسته نیز به $$3!$$ حالت جابجا می‌شوند. پس در نهایت طبق اصل ضرب داریم:

$$6! times 3! = 720 times 6 = 4320$$

مقدار $$n$$ را در رابطه $$P(n, 2) = 56$$ بیابید:

پاسخ

طبق فرمول جایگشت، $$P(n, 2) = n(n – 1)$$ است:

$$n(n – 1) = 56$$

پس ضرب دو عدد طبیعی متوالی برابر با $$56$$ شده است ($$8 times 7 = 56$$):

$$n = 8$$

از بین $$6$$ مرد و $$5$$ زن، به چند طریق می‌توان یک کمیته $$4$$ نفره تشکیل داد، به طوری که شامل دقیقا $$2$$ زن و $$2$$ مرد باشد؟

پاسخ

در این سوال باید از بین $$5$$ زن، $$2$$ نفر و از بین $$6$$ مرد، $$2$$ نفر انتخاب کنیم:

$$binom{5}{2} times binom{6}{2}$$

حالا به محاسبه تک‌تک ترکیب‌ها می‌پردازیم:

$$binom{5}{2} = frac{5 times 4}{2 times 1} = 10$$

$$binom{6}{2} = frac{6 times 5}{2 times 1} = 15$$

و طبق اصل ضرب داریم:

$$10 times 15 = 150$$

در این بخش این مطلب از مجله فرادرس مروری داریم بر مهم‌ترین فیلم‌های آموزشی فرادرس در زمینه یادگیری و تسلط بیشتر بر ریاضیات متوسطه دوم:

فیلم آموزش حسابان ۲ (دوازدهم) + حل سوالات امتحان نهایی

در ابتدای آخرین فصل از کتاب ریاضی یک، با مفهوم آزمایش تصادفی آشنا می‌شوید. آزمایشی که خروجی آن قبل از انجام به‌طور دقیق قابل‌ پیش‌بینی نیست، اما تمام نتایج ممکن آن را از قبل می‌دانیم مانند پرتاب تاس یا سکه، یک آزمایش تصادفی نامیده می‌شود. از سوی دیگر به مجموعه تمام نتایج ممکن یک آزمایش تصادفی، فضای نمونه‌ای یا $$S$$ گفته می‌شود و تعداد اعضای آن را با $$n(S)$$ نشان می‌دهیم.

برای مثال در مورد آزمایش تصادفی پرتاب یک سکه داریم:

$$S = {R, P} implies n(S) = 2$$

منظور از $$R, P$$ پشت و روی سکه است. علاوه بر این در مورد پرتاب یک تاس نیز داریم:

$$S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} implies n(S) = 6$$

به هر زیرمجموعه از فضای نمونه‌ای $$S$$، یک پیشامد تصادفی می‌گوییم (برای مثال، $$A subseteq S$$). از سوی دیگر پیشامد حتمی، پیشامدی است که برابر با خود فضای نمونه‌ای $$S$$ است و پیشامد غیرممکن نیز برابر با مجموعه تهی $$emptyset$$ است. اگر تمام پیامدهای فضای نمونه‌ای $$S$$ شانس برابری برای رخ دادن داشته باشند، احتمال وقوع پیشامد $$A$$ برابر است با:

$$P(A) = frac{n(A)}{n(S)}$$

که در آن همواره $$0 le P(A) le 1$$ است. در ادامه این فصل کمی به مباحث آماری پرداخته شده است. مجموعه تمام افراد یا اشیایی که درباره یک یا چند قابلیت آن‌ها تحقیق می‌شود، جامعه آماری نامیده می‌شوند. زیرمجموعه‌ای از جامعه آماری که برای مطالعه انتخاب می‌شود را نیز نمونه آماری می‌نامیم. علاوه بر این قابلیت یا صفت موردمطالعه در افراد جامعه، متغیر آماری است. انواع متغیرهای آماری عبارت‌اند از:

برای اینکه بتوانیم محاسبات آماری خود را با دقت بیشتری ارزیابی و تحلیل کنیم، نیازمند تعریف یک سری معیارهای مرکزگرا هستیم. در ادامه این پارامترهای مهم آماری معرفی شده‌اند:

در مورد میانه، اگر تعداد داده‌ها یا $$n$$ فرد باشد، داده وسطی میانه است و اگر تعداد داده‌ها زوج باشد، میانگین دو داده وسطی برابر با میانه می‌شود. در کنار این معیارها، بخش دیگری از پارامترهای مهم آماری، معیارهای پراکندگی هستند. برای مثال، دامنه تحولات یا $$R$$ که برابر است با اختلاف بزرگ‌ترین داده ($$x_{max}$$) و کوچک‌ترین داده ($$x_{min}$$):

$$R = x_{max} – x_{min}$$

در این بخش به حل و تحلیل چند نمونه سوال ریاضی دهم با تمرکز بر مباحث آمار و احتمال خواهیم پرداخت. جدول زیر مروری است بر مهم‌ترین فرمول‌های این فصل:

فضای نمونه‌ای آزمایش تصادفی «پرتاب یک سکه و یک تاس با هم» را تشکیل دهید و تعداد اعضای آن را بنویسید:

پاسخ

می‌دانیم سکه دارای $$2$$ حالت $$(R, P)$$ و تاس دارای $$6$$ حالت $${1, 2, 3, 4, 5, 6}$$ است. پس داریم:

$$n(S) = 2 times 6 = 12$$

$$S = {(R,1), (R,2), (R,3), (R,4), (R,5), (R,6), (P,1), (P,2), (P,3), (P,4), (P,5), (P,6)}$$

در پرتاب دو تاس متمایز، چقدر احتمال دارد:

پاسخ

می‌دانیم تعداد اعضای فضای نمونه پرتاب دو تاس عبارت‌اند از:

$$n(S) = 6^2 = 36$$

پس پیشامد $$A$$ یعنی پیشامدی که در آن مجموع برابر $$8$$ شود، خواهد شد:

$$A = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} implies n(A) = 5$$

$$P(A) = frac{n(A)}{n(S)} = frac{5}{36}$$

و پیشامد $$B$$ که در آن هر دو زوج باشند نیز به این صورت تعیین می‌شود که تاس اول $$3$$ حالت زوج $${2, 4, 6}$$ و تاس دوم نیز $$3$$ حالت زوج دارد:

$$n(B) = 3 times 3 = 9$$

$$P(B) = frac{9}{36} = frac{1}{4}$$

در جعبه‌ای $$4$$ مهره سفید و $$6$$ مهره مهره سیاه وجود دارد. اگر $$3$$ مهره به تصادف از جعبه خارج کنیم، چقدر احتمال دارد حداقل یک مهره سفید باشد؟

پاسخ

تعداد کل مهره‌ها $$10$$ است. تعداد انتخاب $$3$$ مهره از $$10$$ مهره به شکل زیر محاسبه می‌شود:

$$n(S) = binom{10}{3} = frac{10 times 9 times 8}{3 times 2 times 1} = 120$$

حالا با استفاده از اصل متمم و اینکه پیشامد $$A’$$ یعنی هیچ مهره‌ای سفید نباشد، یعنی هر $$3$$ مهره سیاه باشند، داریم:

$$n(A’) = binom{6}{3} = frac{6 times 5 times 4}{3 times 2 times 1} = 20$$

$$P(A’) = frac{20}{120} = frac{1}{6}$$

در نهایت، محاسبه احتمال حداقل یک سفید نیز به این صورت انجام می‌شود:

$$P(A) = 1 – P(A’) = 1 – frac{1}{6} = frac{5}{6}$$

اگر برای دو پیشامد $$A$$ و $$B$$ داشته باشیم:

$$P(A) = 0.6$$

$$P(B) = 0.5$$

$$P(A cap B) = 0.3$$

حاصل $$P(A cup B)$$ را به‌دست آورید:

پاسخ

طبق فرمول احتمال اجتماع داریم:

$$P(A cup B) = P(A) + P(B) – P(A cap B)$$

$$P(A cup B) = 0.6 + 0.5 – 0.3 = 0.8$$

نوع هر یک از متغیرهای زیر را به طور دقیق مشخص کنید:

پاسخ

برای داده‌های آماری زیر، معیارهای میانگین، میانه و نما (مد) را محاسبه کنید:

$$12, 15, 10, 18, 15, 20, 15$$

پاسخ

اولین قدم، مرتب‌سازی داده‌ها از کوچک به بزرگ است:

$$10, 12, 15, 15, 15, 18, 20$$

تعداد داده‌ها $$n = 7$$ فرد است. میانگین می‌شود:

$$bar{x} = frac{10 + 12 + 15 + 15 + 15 + 18 + 20}{7} = frac{105}{7} = 15$$

در مورد میانه، چون $$n = 7$$ فرد است، پس داده چهارم یا وسطی برابر با میانه است، یعنی $$ 15$$. علاوه بر این عدد $$15$$ با $$3$$ بار تکرار بیشترین فراوانی را دارد. پس نما یا مد هم می‌شود $$ 15$$.

در انتها با پاسخ‌دهی به سوالات چهار گزینه‌ای آزمون زیر می‌توانید میزان تسلط خود به مباحث کتاب ریاضی یک را بسنجید. برای دیدن نمره نهایی خود، کافی است روی بخش «دریافت حاصل آزمون» کلیک کنید. پیشنهاد می‌کنیم پیش از آغاز، به کمک مطلب «فرمول های ریاضی دهم تجربی در یک نگاه با مثال و تمرین» از مجله فرادرس یک مرور دوباره روی تمام فرمول‌ها داشته باشید تا بهتر بتوانید به این مجموعه نمونه سوال ریاضی دهم پاسخ دهید.

نوشته نمونه سوال ریاضی دهم با جواب – به زبان ساده اولین بار در فرادرس - مجله‌. پدیدار شد.

سوالات متداول

مهم‌ترین نکات درباره مثال چیست؟

جزئیات مهم و نکات قابل توجه درباره مثال در متن مقاله بررسی شده است.

نمونه سوال ریاضی دهم با جواب – به زبان ساده چیست؟

در این مطلب اطلاعات، جزئیات و نکات مرتبط با نمونه سوال ریاضی دهم با جواب – به زبان ساده بررسی شده است.

آخرین اطلاعات درباره مجموعه چیست؟

جدیدترین اطلاعات و تغییرات مربوط به مجموعه در این گزارش ارائه شده است.