نمونه سوال ریاضی یازدهم – از صفر تا صد با جواب

کتاب ریاضی یازدهم یا ریاضی ۲ مختص دانش‌آموزان رشته علوم تجربی است و مباحث مختلفی مانند هندسه تحلیلی، جبر، تابع، مثلثات، توابع نمایی و لگاریتمی، حد و پیوستگی و آمار و احتمال را پوشش می‌دهد. در این گزارش از مجله فرادرس قصد داریم ابتدا خلاصه‌ای از نکات و فرمول‌های مهم هر فصل را مرور کنیم و سپس به حل نمونه سوال ریاضی یازدهم همراه با پاسخ‌های تشریحی بپردازیم.

کتاب ریاضی ۲ به دانش‌آموزان رشته علوم تجربی اختصاص دارد. اگر رشته تحصیلی شما ریاضی است، در مقطع یازدهم کتاب حسابان یک را برای درس ریاضی دارید که در بسیاری از مسئلهات نیز با این کتاب مشترک است. ریاضی یازدهم شامل مباحث زیر است:

در ادامه پس از مرور نکات مهم و ارائه خلاصه‌ای کوتاه از مباحث هر فصل، به حل و مرور انواع نمونه سوال ریاضی یازدهم خواهیم پرداخت.

در اولین فصل ریاضی ۲ به مرور مقدمات هندسه تحلیلی، معادله خط و فاصله نقاط، روش‌های حل معادلات درجه دوم، خصوصیت‌های سهمی‌ و حل معادلات گویا و رادیکالی می‌پردازیم.

هدف این درس این است که با محاسبه فاصله دو نقطه در صفحه، مختصات نقطه وسط یک خط و نحوه به دست آوردن فاصله یک نقطه از خط آشنا شوید. در ادامه روابط متناظر با هر کدام از این موارد را برای شما فهرست کرده‌ایم:

در درس دوم اولین فصل ریاضی دو، با روابط بین ریشه‌های معادله درجه دوم و مشخصه‌های یک سهمی مانند راس، تقارن و شیوه رسم آن آشنا می‌شوید. در مورد معادله درجه دوم، مهم‌ترین نکات روابط بین ریشه‌هاست.

برای یک معادله درجه دو با فرم استاندارد $$ax^2 + bx + c = 0$$، اگر ریشه‌ها $$ x_1 , x_2 $$ باشند، همواره مجموع ریشه‌ها برابر با $$S = x_1 + x_2 = -frac{b}{a}$$ و حاصل‌ضرب ریشه‌ها برابر با $$P = x_1 cdot x_2 = frac{c}{a}$$ است. علاوه بر این اگر$$S$$ و $$P$$ مشخص باشند، معادله درجه دو دیگری به صورت $$x^2 - Sx + P = 0$$ مطابق این دو مقدار می‌توانیم تشکیل دهیم.

نمودار هر معادله درجه دومی به شکل یک سهمی است. سهمی یا Parabola یک منحنی متقارن و دو بعدی است که شکل آن شبیه به حرف U یا U برعکس شده است. سهمی مجموعه تمام نقاطی در صفحه است که فاصله‌ آن‌ها از یک نقطه ثابت به نام کانون با فاصله‌ آن‌ها از یک خط ثابت به نام خط تقارن برابر باشد.

برای حل انواع نمونه سوال ریاضی یازدهم لازم است با روش‌های ساده کردن مخرج‌های متغیر در معادلات گویا و استفاده از توان‌ برای حذف رادیکال‌ها در معادلات رادیکالی استفاده کنید. معادله گویا به معادله‌ای گفته می‌شود که در آن حداقل یک عبارت کسری وجود داشته باشد و متغیر یا $$x $$ نیز در مخرج کسر قرار گرفته باشد.

هدف اصلی در حل معادلات کسری یا گویا این است که آن‌ها را به یک معادله خطی یا درجه دوم ساده و بدون مخرج تبدیل کنیم. با ضرب کردن طرفین در کوچک‌ترین مضرب مشترک یا ک.م.م مخرج‌ها، تمام مخرج‌ها ساده شده و از بین می‌روند.

در این بخش مطابق مباحث گفته شده، چند نمونه سوال ریاضی یازدهم را برای شما جمع‌آوری کرده‌ایم تا با ارزیابی آن‌ها به فصل اول جامعا مسلط شوید. جدول زیر خلاصه‌ای است از مهم‌ترین فرمول‌های فصل اول:

فاصله نقطه $$ A(1, 2) $$ را از خطی که از دو نقطه $$ B(3, -1) $$ و $$ C(-1, 2) $$ می‌گذرد، به‌دست آورید:

پاسخ

ابتدا شیب خط $$ BC $$ را محاسبه می‌کنیم:

$$ m = frac{2 - (-1)}{-1 - 3} = frac{3}{-4} = -frac{3}{4} $$

معادله خط عبوری از $$ B(3, -1) $$ نیز به شکل زیر است:

$$ y - (-1) = -frac{3}{4}(x - 3) implies y + 1 = -frac{3}{4}x + frac{9}{4} $$

با ضرب کردن در عدد $$ 4 $$ و استانداردسازی خواهیم داشت:

$$ 4y + 4 = -3x + 9 implies 3x + 4y - 5 = 0 $$

حالا فاصله نقطه $$ A(1, 2) $$ از این خط را حساب می‌کنیم:

$$ d = frac{|3(1) + 4(2) - 5|}{sqrt{3^2 + 4^2}} = frac{|3 + 8 - 5|}{sqrt{9 + 16}} = frac{6}{sqrt{25}} = frac{6}{5} $$

اگر ریشه‌های معادله $$ 2x^2 - 6x + 1 = 0 $$ به صورت $$ alpha $$ و $$ beta $$ باشند، حاصل عبارت $$ alpha^2 + beta^2 $$ را بیابید:

پاسخ

از روابط بین ریشه‌ها داریم:

$$ S = alpha + beta = -frac{-6}{2} = 3 $$

$$ P = alpha cdot beta = frac{1}{2} $$

از سوی دیگر می‌دانیم که $$ alpha^2 + beta^2 = (alpha + beta)^2 - 2alphabeta $$ است. پس با جایگذاری مقادیر خواهیم داشت:

$$ alpha^2 + beta^2 = (3)^2 - 2left(frac{1}{2}right) = 9 - 1 = 8 $$

معادله درجه دومی بنویسید که ریشه‌های آن دو واحد از ریشه‌های معادله $$ x^2 - 4x + 2 = 0 $$ بیشتر باشند:

پاسخ

فرض کنید ریشه‌های معادله اصلی $$ alpha $$ و $$ beta $$ باشند:

$$ S = alpha + beta = 4 quad, quad P = alphabeta = 2 $$

ریشه‌های نوین $$ alpha' = alpha + 2 $$ و $$ beta' = beta + 2 $$ هستند. پس مجموع ریشه‌های تازه یا $$ S'$$ می‌شود:

$$ S' = (alpha + 2) + (beta + 2) = (alpha + beta) + 4 = 4 + 4 = 8 $$

ضرب ریشه‌های نوین یا $$P' $$ نیز می‌شود:

$$ P' = (alpha + 2)(beta + 2) = alphabeta + 2(alpha + beta) + 4 = 2 + 2(4) + 4 = 14 $$

پس معادله تازه برابر است با:

$$ x^2 - S'x + P' = 0 implies x^2 - 8x + 14 = 0 $$

راس سهمی $$ y = -x^2 + 4x + 5 $$ را به‌دست آورده و نقاط تلاقی آن با محورهای مختصات را تعیین کنید:

پاسخ

طول راس سهمی برابر است با:

$$ x_0 = -frac{b}{2a} = -frac{4}{2(-1)} = 2 $$

و عرض راس سهمی نیز می‌شود:

$$ y_0 = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 $$

پس راس سهمی نقطه $$ (2, 9) $$ است و برخورد با محور y در $$ x=0 $$ رخ می‌دهد:

$$ y = 5 implies (0, 5) $$

برخورد با محور x در $$y=0 $$ نیز به شکل زیر است:

$$ -x^2 + 4x + 5 = 0 implies x^2 - 4x - 5 = 0 implies (x - 5)(x + 1) = 0 $$

$$ x = 5 quad text{یا} quad x = -1 $$

پس نقاط برخورد می‌شوند:

$$ (5, 0) $$ و $$ (-1, 0) $$

معادله گویا زیر را حل کنید:

$$ frac{x}{x - 2} - frac{2}{x + 2} = frac{8}{x^2 - 4} $$

پاسخ

مخرج مشترک برابر است با $$ (x - 2)(x + 2) = x^2 - 4 $$. دامنه قبولی جواب $$ x neq pm 2 $$ است. با ضرب طرفین در $$ x^2 - 4 $$ داریم:

$$ x(x + 2) - 2(x - 2) = 8 $$

$$ x^2 + 2x - 2x + 4 = 8 implies x^2 + 4 = 8 implies x^2 = 4 implies x = pm 2 $$

چون $$ x = 2 $$ و $$ x = -2 $$ مخرج را صفر می‌کنند، پس هر دو غیرقابل‌قبول هستند. بنابراین معادله فاقد جواب است.

معادله رادیکالی زیر را حل کنید:

$$ sqrt{2x + 3} - x = 0 $$

پاسخ

با انتقال $$ x $$ به سمت راست، داریم:

$$ sqrt{2x + 3} = x $$

سپس به مربع کردن طرفین می‌پردازیم:

$$ 2x + 3 = x^2 implies x^2 - 2x - 3 = 0 $$

$$ (x - 3)(x + 1) = 0 implies x = 3 quad text{یا} quad x = -1 $$

با چک کردن جواب‌ها در معادله اصلی، برای $$ x = 3 $$ داریم:

$$ sqrt{2(3) + 3} - 3 = sqrt{9} - 3 = 0 $$

و برای $$ x = -1 $$ نیز داریم:

$$ sqrt{2(-1) + 3} - (-1) = sqrt{1} + 1 = 2 neq 0 $$

که غیرقابل‌قبول است. پس مجموعه جواب برابر می‌شود با $$ {3} $$.

نمودار سهمی $$ y = ax^2 + bx + c $$ از نقاط $$ (0, 3) $$ و $$ (1, 2) $$ و $$ (-1, 6) $$ می‌گذرد. مقادیر $$ a $$ و $$ b $$ و $$ c $$ را بیابید:

پاسخ

با جایگذاری $$ (0, 3) $$ داریم:

$$ 3 = a(0)^2 + b(0) + c implies c = 3 $$

و با جایگذاری $$ (1, 2) $$ و $$ c = 3 $$ به عبارت زیر می‌رسیم:

$$ 2 = a(1)^2 + b(1) + 3 implies a + b = -1 $$

از سوی دیگر با در نظر گرفتن $$ (-1, 6) $$ و $$ c = 3 $$ خواهیم داشت:

$$ 6 = a(-1)^2 + b(-1) + 3 implies a - b = 3 $$

بنابراین با حل دستگاه دو مجهولی به خروجی زیر می‌رسیم:

$$ (a + b) + (a - b) = -1 + 3 implies 2a = 2 implies a = 1 $$

$$ 1 + b = -1 implies b = -2 $$

$$ a = 1, b = -2, c = 3 $$

پیش از اینکه به سراغ فصل‌های دیگر برویم و انواع نمونه سوال ریاضی یازدهم را تحلیل کنیم، در این بخش قصد داریم مروری داشته باشیم بر مهم‌ترین فیلم‌های آموزشی تهیه شده در مجموعه فرادرس با تمرکز بر کتاب‌های پایه یازدهم:

در این فصل به تحلیل مفاهیم پایه‌ای هندسه مانند ترسیم‌ هندسی با خط‌کش و پرگار، اصول استدلال استنتاجی، معرفی قضیه تالس و تعمیم آن و تحلیل روابط تشابه در مثلث‌ها می‌پردازیم. هدف این فصل تقویت تفکر هندسی شما است تا توانایی اثبات و حل مسائل را با استفاده از ابزارهایی مانند تناسب و تشابه به‌دست آورید.

در بخش ترسیم هندسی روش‌های رسم دقیق برخی از اشکال و خطوط مهم هندسی مانند عمودمنصف و نیمساز را با استفاده از خط‌کش‌ غیرمدرج و پرگار می‌آموزید و مشخصه‌های نقاط روی آن‌ها را ارزیابی می‌کنید. عمودمنصف یک پاره‌خط، خطی است که بر آن پاره‌خط عمود شده و آن را به دو قسمت برابر تقسیم می‌کند.

خاصیت مهم عمود منصف این است که هر نقطه روی عمودمنصف یک پاره‌خط، از دو سر آن پاره‌خط به یک فاصله است. برای مثال، در تصویر زیر که خط $$ OP$$ عمودمنصف پاره‌خط $$MN$$ است، داریم:

$$ MP$$ = $$ PN$$

$$ MT$$ = $$ TN$$

$$ MS$$ = $$ SN$$

$$ MR$$ = $$ RN$$

$$ MQ$$ = $$ QN$$

عکس این خاصیت نیز برقرار است، یعنی اگر نقطه‌ای از دو سر یک پاره‌خط به یک فاصله باشد، حتما روی عمودمنصف آن پاره‌خط قرار دارد. برای رسم عمود منصف یک پاره‌خط، کافی است دو کمان به شعاع مساوی و بزرگ‌تر از نصف طول پاره‌خط از دو سر آن رسم کنید. محل تلاقی کمان‌ها دو نقطه ایجاد می‌کند که خط واصل آن‌ها عمودمنصف است. نیمساز یک زاویه، نیم‌خطی است که آن زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند.

مشخصه نیمساز این است که هر نقطه روی نیمساز یک زاویه، از دو ضلع آن زاویه به یک فاصله است. بنابراین اگر نقطه‌ای داخل یک زاویه از دو ضلع آن به یک فاصله باشد، روی نیمساز آن زاویه قرار دارد. اگر می‌خواهید شیوه رسم نیمساز به کمک پرگار و نقاله را بیاموزید، پیشنهاد می‌کنیم فیلم آموزش بدون هزینه زیر از مجموعه فرادرس را مشاهده کنید که لینک آن برای شما قرار داده شده است:

در بخش بعد از فصل دوم کتاب ریاضی ۲ با استدلال استنتاجی، قضایای دو شرطی، قضیه تالس، عکس قضیه تالس و تعمیم آن در مثلث‌ها آشنا می‌شوید. استدلال استنتاجی نوعی خروجی‌گیری منطقی با استفاده از حقایق، اصول و قضایای پذیرفته‌ شده قبلی است. از سوی دیگر اگر گزاره‌ای به شکل «$$A$$ اگر و تنها اگر $$B$$» بیان شود، در این صورت به آن گزاره یک گزاره دو شرطی می‌گوییم. پس گزاره دو شرطی شامل یک قضیه و عکس آن است که هر دو درست هستند.

محور مهم این فصل تحلیل قضیه تالس، عکس و تعمیم آن در مثلث‌ها است. اگر خطی موازی یکی از اضلاع یک مثلث رسم شود و دو ضلع دیگر را قطع کند، روی آن دو ضلع قطعاتی متناسب با هم ایجاد خواهد شد. به زبان ریاضی، اگر در مثلث $$ABC$$ خط $$DE$$ موازی ضلع $$BC$$ باشد ($$DE parallel BC$$)، در این صورت داریم:

$$frac{AD}{DB} = frac{AE}{EC}$$

در ادامه روابط زیر نیز از فرمول قضیه تالس استخراج می‌شوند:

$$frac{AD}{AB} = frac{AE}{AC} quad , quad frac{DB}{AB} = frac{EC}{AC}$$

توجه کنید عکس قضیه تالس نیز برقرار است، به این معنا که اگر خطی دو ضلع از یک مثلث را قطع کند و روی آن‌ها قطعات متناسب با هم ایجاد کند، آن خط حتما با ضلع سوم موازی است. به علاوه می‌توانیم قضیه تالس را تعمیم دهیم به این صورت که اگر خطی موازی یکی از اضلاع مثلث باشد، مثلث کوچکتری ایجاد می‌کند که اضلاع آن با اضلاع مثلث اصلی متناسب هستند:

$$frac{AD}{AB} = frac{AE}{AC} = frac{DE}{BC}$$

در این درس شرایط متشابه بودن دو مثلث، قضایای تشابه، نسبت‌های بین اجزایی مانند میانه، ارتفاع، نیمساز، محیط و مساحت‌های دو مثلث متشابه ارزیابی می‌شوند. دو مثلث متشابه هستند، اگر زاویه‌های آن‌ها برابر و اضلاع متناظر آن‌ها متناسب باشند. حالت‌های تشابه دو مثلث را می‌توان به شکل زیر دسته‌بندی کرد:

در دو مثلث متشابه، نسبت ارتفاع‌ها، میانه‌ها، نیمسازها و محیط‌های متناظر برابر با نسبت تشابه یا $$k$$ است:

$$frac{h_1}{h_2} = frac{m_1}{m_2} = frac{d_1}{d_2} = frac{P_1}{P_2} = k$$

علاوه بر این نسبت مساحت‌های دو مثلث متشابه برابر با مجذور یا مربع نسبت تشابه است:

$$frac{S_1}{S_2} = k^2$$

دقت کنید اگر در مثلث قائم‌الزاویه‌ای به نام $$ABC$$ که در آن $$hat{A} = 90^circ$$ است، ارتفاع $$AH$$ وارد بر وتر رسم شود، داریم:

$$AB^2 = BH cdot BC$$

$$AC^2 = CH cdot BC$$

$$AH^2 = BH cdot CH$$

$$AB cdot AC = AH cdot BC$$

در این بخش بر پایه مباحث گفته شده، چند نمونه سوال ریاضی یازدهم را برای شما جمع‌آوری کرده‌ایم تا با ارزیابی آن‌ها به فصل دوم مفصلا مسلط شوید. جدول زیر خلاصه‌ای است از مهم‌ترین فرمول‌های فصل دوم:

در مثلث $$ABC$$، نقطه‌ای مانند $$P$$ روی نیمساز زاویه $$A$$ قرار دارد. از $$P$$ عمودهایی بر دو ضلع $$AB$$ و $$AC$$ رسم می‌کنیم که نقاط عمود به ترتیب $$M$$ و $$N$$ نامیده می‌شوند. ثابت کنید $$AM = AN$$:

پاسخ

طبق قابلیت‌ نیمساز، هر نقطه روی نیمساز یک زاویه از دو ضلع آن به یک فاصله است. بنابراین داریم:

$$PM = PN$$

حالا دو مثلث قائم‌الزاویه $$AMP$$ و $$ANP$$ را در نظر می‌گیریم که دارای خصوصیت‌های زیر هستند:

پس طبق حالت وتر و یک ضلع قائم یا و‌ض، دو مثلث هم‌نهشت‌اند:

$$triangle AMP cong triangle ANP$$

از هم‌نهشتی دو مثلث خروجی می‌شود که اجزای متناظر نیز برابراند:

$$AM = AN$$

در مثلث $$ABC$$، خط $$DE$$ موازی ضلع $$BC$$ است. اگر $$AD = x + 1$$ و $$DB = 2x - 1$$ و $$AE = x + 3$$ و $$EC = 3x - 1$$ باشند، مقدار $$x$$ را به‌دست آورید:

پاسخ

چون $$DE parallel BC$$ است، پس طبق قضیه تالس داریم:

سپس مقادیر را در رابطه قرار می‌دهیم:

$$frac{x + 1}{2x - 1} = frac{x + 3}{3x - 1}$$

طرفین و وسطین می‌کنیم:

$$(x + 1)(3x - 1) = (2x - 1)(x + 3)$$

$$3x^2 - x + 3x - 1 = 2x^2 + 6x - x - 3$$

$$3x^2 + 2x - 1 = 2x^2 + 5x - 3$$

در مرحله بعد، تمام جملات را به یک طرف منتقل می‌کنیم:

$$3x^2 - 2x^2 + 2x - 5x - 1 + 3 = 0$$

$$x^2 - 3x + 2 = 0$$

و معادله را تجزیه می‌کنیم:

$$(x - 1)(x - 2) = 0$$

که دو جواب داریم:

$$x = 1 quad text{یا} quad x = 2$$

هر دو جواب مقادیر مثبت برای طول قطعات ایجاد می‌کنند، پس هر دو قابل‌قبول هستند.

در ذوزنقه $$ABCD$$ با قاعده‌های $$AB$$ و $$CD$$، پاره‌خط $$EF$$ موازی قاعده‌ها رسم شده است، طوری که $$E$$ روی $$AD$$ و $$F$$ روی $$BC$$ قرار دارد. اگر $$frac{AE}{ED} = frac{2}{3}$$ و $$AB = 8$$ و $$CD = 18$$ باشند، طول $$EF$$ را محاسبه کنید:

پاسخ

قطر $$BD$$ را رسم می‌کنیم تا پاره‌خط $$EF$$ را در نقطه $$K$$ قطع کند. در مثلث $$ABD$$، چون $$EK parallel AB$$ است، طبق تعمیم قضیه تالس داریم:

$$frac{DE}{DA} = frac{EK}{AB}$$

با توجه به اینکه $$frac{AE}{ED} = frac{2}{3}$$ است، پس $$frac{ED}{AD} = frac{3}{2 + 3} = frac{3}{5}$$ خواهد بود. حالا مقداردهی می‌کنیم:

$$frac{3}{5} = frac{EK}{8} implies EK = frac{3 times 8}{5} = frac{24}{5} = 4.8$$

در مثلث $$BDC$$، چون $$KF parallel CD$$ است، طبق تعمیم قضیه تالس داریم:

$$frac{BK}{BD} = frac{BF}{BC} = frac{AE}{AD} = frac{2}{5}$$

$$frac{BK}{BD} = frac{KF}{CD} $$

$$implies frac{2}{5} = frac{KF}{18} implies KF = frac{2 times 18}{5} = frac{36}{5} = 7.2$$

پس طول کل $$EF$$ برابر است با:

$$EF = EK + KF = 4.8 + 7.2 = 12 $$

در مثلث قائم‌الزاویه‌ای با طول اضلاع قائم $$6$$ و $$8$$، ارتفاع وارد بر وتر را رسم کرده‌ایم. طول ارتفاع وارد بر وتر و طول دو قطعه‌ای که ارتفاع روی وتر ایجاد می‌کند را به‌دست آورید:

پاسخ

فرض کنید مثلث $$ABC$$ در زاویه $$A$$ قائم‌الزاویه باشد، یعنی داریم:

$$AB = 6$$ و $$AC = 8$$

ابتدا طبق قضیه فیثاغورس طول وتر $$BC$$ را محاسبه می‌کنیم:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 implies BC = 10 $$

برای به دست آوردن ارتفاع $$AH$$ از رابطه مساحت استفاده می‌کنیم:

$$AB cdot AC = AH cdot BC$$

$$6 times 8 = AH times 10 implies 48 = 10 AH implies AH = 4.8$$

برای به‌دست آوردن قطعات روی وتر یعنی $$BH$$ و $$CH$$ از روابط طولی استفاده می‌کنیم:

$$AB^2 = BH cdot BC implies 6^2 = BH times 10 implies 36 = 10 BH implies BH = 3.6 $$

$$CH = BC - BH = 10 - 3.6 = 6.4 $$

در یک مثلث، خطی موازی یکی از اضلاع، آن را به دو بخش با مساحت‌های برابر تقسیم می‌کند. نسبت قطعه‌ای که این خط روی ضلعی از مثلث جدا می‌کند (از طرف راس) به طول کل آن ضلع را بیابید:

پاسخ

فرض کنید در مثلث $$ABC$$، خط $$DE parallel BC$$ طوری رسم شده که مساحت مثلث $$ADE$$ برابر نصف مساحت مثلث $$ABC$$ باشد:

$$S_{triangle ADE} = frac{1}{2} S_{triangle ABC} implies frac{S_{triangle ADE}}{S_{triangle ABC}} = frac{1}{2}$$

چون $$DE parallel BC$$ است، پس مثلث $$ADE$$ با مثلث $$ABC$$ متشابه است ($$triangle ADE sim triangle ABC$$). می‌دانیم نسبت مساحت‌های دو مثلث متشابه برابر مربع نسبت تشابه ($$k^2$$) است:

$$k^2 = frac{S_{triangle ADE}}{S_{triangle ABC}} = frac{1}{2} implies k = frac{1}{sqrt{2}}$$

نسبت تشابه برابر با نسبت اضلاع متناظر است، بنابراین داریم:

$$frac{AD}{AB} = k = frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2}$$

پس نسبت قطعه جدا شده از راس ($$AD$$) به کل ضلع ($$AB$$) برابر است با $$frac{sqrt{2}}{2}$$.

نسبت محیط‌های دو مثلث متشابه برابر با $$frac{3}{5}$$ است. اگر مساحت مثلث بزرگ‌تر $$75$$ باشد، مساحت مثلث کوچک‌تر را به‌دست آورید:

پاسخ

نسبت محیط‌های دو مثلث متشابه دقیقا برابر نسبت تشابه ($$k$$) است:

$$k = frac{P_1}{P_2} = frac{3}{5}$$

نسبت مساحت‌های دو مثلث متشابه برابر مربع نسبت تشابه ($$k^2$$) است:

$$frac{S_1}{S_2} = k^2 = left(frac{3}{5}right)^2 = frac{9}{25}$$

با جایگذاری مساحت مثلث بزرگ‌تر یعنی $$S_2 = 75$$ داریم:

$$frac{S_1}{75} = frac{9}{25}$$

$$S_1 = frac{9 times 75}{25} = 9 times 3 = 27$$

پس مساحت مثلث کوچک‌تر $$27$$ است.

در مثلث قائم‌الزاویه $$ABC$$($$hat{A} = 90^circ$$)، ارتفاع $$AH$$ وارد بر وتر رسم شده است. اگر $$BH = 4$$ و $$CH = 9$$ باشند، موارد زیر را حساب کنید:

پاسخ

طبق روابط طولی در مثلث قائم‌الزاویه داریم:

$$AH^2 = BH cdot CH$$$$AH^2 = 4 times 9 = 36 implies AH = sqrt{36} = 6$$

برای به دست آوردن $$AB$$ نیز از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

$$AB^2 = BH cdot BC$$

طول کل وتر $$BC$$ برابر است با:

$$BC = BH + CH = 4 + 9 = 13$$

بنابراین پاسخ به شکل زیر خواهد شد:

$$AB^2 = 4 times 13 = 52 implies AB = sqrt{52} = 2sqrt{13}$$

تابع یکی از مهم‌ترین مفاهیم ریاضی است که برای توصیف ارتباط بین دو کمیت بکار می‌رود، به‌ گونه‌ای که به هر عضو از دامنه، دقیقا یک مقدار از برد نسبت داده می‌شود. در این فصل از کتاب ریاضی دو و پیش از ارزیابی نمونه سوال ریاضی یازدهم مختص آن، ابتدا مروری داریم بر انواع تابع، مفهوم دامنه و برد، معرفی توابع گویا و رادیکالی، تابع جزء صحیح، تابع یک‌ به‌ یک، تابع وارون و علاوه بر این اعمال جبری روی آن‌ها.

یکی از نکات مهم در موردانواع مختلف توابع، تعیین دامنه آن‌ها است. اگر دامنه تابع در صورت سوال داده نشده باشد، بزرگترین مجموعه‌ای از اعداد حقیقی که تابع در آن تعریف می‌شود، به‌عنوان دامنه آن تابع در نظر گرفته می‌شود. تابع را می‌توان به‌صورت یک رابطه بین دو مجموعه در نظر گرفت که به هر عضو از مجموعه اول، دقیقا یک عضو از مجموعه دوم را نسبت می‌دهد.

طبق تعریف بالا، اگر تابعی را با $$ f $$ نشان دهیم، معمولا آن را در زبان ریاضی به شکل زیر می‌نویسیم:

$$ y=f(x) $$

در ادامه مهم‌ترین انواع تابع را معرفی می‌کنیم.

تابعی که بتوان آن را به شکل نسبت دو چند جمله‌ای نوشت، تابع گویا نام دارد:

$$ f(x)=frac{P(x)}{Q(x)} $$

که در آن $$ P(x) $$ و $$ Q(x) $$ چند جمله‌ای هستند و باید داشته باشیم:

$$ Q(x)neq 0 $$

بنابراین برای تعیین دامنه یک تابع گویا‌‌‌‌، باید مقادیری از $$ x $$ که مخرج را صفر می‌کنند، از دامنه حذف کنیم.

تابع رادیکالی تابعی است که متغیر آن در داخل یک عبارت رادیکالی قرار دارد. ساده‌ترین تابع رادیکالی به‌صورت زیر است:

$$ f(x)=sqrt{x} $$

برای اینکه یک رادیکال با فرجه زوج در مجموعه اعداد حقیقی تعریف شود، لازم است عبارت زیر رادیکال نامنفی باشد:

$$ xgeq 0 $$

پس داریم:

$$ D_f=[0,+infty) $$

در ادامه از همین ایده برای تعیین دامنه توابع رادیکالی پیچیده‌تر استفاده می‌کنیم. برای مثال در مورد تابعی مانند $$ f(x)=sqrt{g(x)} $$، باید داشته باشیم:

$$ g(x)geq0 $$

اگر رادیکال در مخرج قرار داشته باشد، علاوه بر شرط نامنفی‌ بودن، مخرج نیز نباید صفر شود.

جزء صحیح هر عدد حقیقی، برابر است با بزرگترین عدد صحیحی که از آن عدد کوچکتر یا مساوی آن باشد. این تابع را با نماد زیر نشان می‌دهیم:

$$ f(x)=[x] $$

برای مثال داریم $$ [4]=4 $$ یا $$ [1.6]=1 $$. در مورد اعداد منفی باید بیشتر دقت کنیم:

$$ [-1.3]=-2 $$

چون $$ -2 $$ بزرگترین عدد صحیح کوچکتر یا مساوی $$ - 1.3 $$ است. پس اگر داشته باشیم $$ nleq x

$$ [x]=n $$

بنابراین نمودار تابع جزء صحیح به شکل پله‌ای خواهد بود. در ادامه اگر $$ n $$ یک عدد صحیح و $$ x $$ یک عدد حقیقی باشد، آنگاه داریم:

$$ [x+n]=[x]+n $$

گاهی یک تابع در بازه‌های مختلف، ضابطه‌های متفاوتی دارد. در این حالت تابع را به صورت چندضابطه‌ای می‌نویسیم. برای نمونه تابع زیر یک تابع چند ضابطه‌ای است:

$$ f(x)= begin{cases} x+1 & x<2\ 2x-1 & xgeq2 end{cases} $$

حالا برای تعیین مقدار تابع، ابتدا باید مشخص کنیم $$ x $$ در کدام بازه قرار دارد. مثلا برای $$ x=1 $$چون $$ 1<2 $$، پس از ضابطه اول استفاده می‌کنیم:

$$ f(1)=1+1=2 $$

اما برای $$ x=3 $$، چون $$ 3geq2 $$، پس از ضابطه دوم استفاده می‌کنیم:

$$ f(3)=2(3)-1=5 $$

برای تعیین دامنه یک تابع، باید محدودیت‌های ضابطه آن را پیدا کنیم. در ادامه نکات مهمی که در تعیین دامنه انواع تابع لازم است تحلیل کنید را فهرست کرده‌ایم:

برد تابع مجموعه مقادیری است که تابع می‌تواند به خود بگیرد. برای مثال در مورد تابع $$ f(x)=x^2 $$، چون مربع هر عدد حقیقی یک عدد نامنفی است، پس داریم $$ f(x)geq0 $$:

$$ R_f=[0,+infty) $$

اما برای تابع $$ f(x)=sqrt{x} $$، هم دامنه و هم برد برابراند با:

$$ [0,+infty) $$

دو تابع $$ f $$ و $$ g $$ زمانی با هم برابر هستند که دو شرط زیر برقرار باشد:

بنابراین فقط یکسان‌ بودن ضابطه دو تابع کافی نیست، بلکه دامنه نیز باید یکسان باشد.

تابعی یک‌ به‌ یک است که برای هر دو ورودی متفاوت، خروجی‌های متفاوتی داشته باشد، یعنی اگر $$ x_1neq x_2 $$، داریم:

$$ f(x_1)neq f(x_2) $$

یا به صورت معادل $$ f(x_1)=f(x_2)Rightarrow x_1=x_2 $$.

در یک تابع یک‌ به‌ یک، هیچ دو عضو متفاوتی از دامنه نباید خروجی یکسان داشته باشند. برای تشخیص یک‌ به‌ یک بودن تابع از روی نمودار، از آزمون خط افقی استفاده می‌کنیم:

اگر تابع $$ f $$ یک تابع یک به یک باشد، می‌توان برای آن تابع وارونی به شکل $$ f^{-1} $$ تعریف کرد، به این معنا که اگر $$ f(a)=b $$ باشد، داریم:

$$ f^{-1}(b)=a $$

پس در تابع وارون، جای ورودی و خروجی عوض می‌شود. برای پیدا کردن وارون تابعی به‌صورت زوج‌های مرتب نیز کافی است مولفه‌های هر زوج مرتب را جابجا کنیم. در ادامه نمودار $$ f^{-1} $$ قرینه نمودار $$ f $$ نسبت به خط $$ y=x $$ است.

در این بخش و قبل از تحلیل نمونه سوال ریاضی یازدهم مرتبط با مبحث تابع، به یک نکته مهم در مورد اعمال چهارگانه روی توابع اشاره می‌کنیم. اگر $$ f $$ و $$ g $$ دو تابع با دامنه‌های $$ D_f $$ و $$ D_g$$ باشند، برای انجام جمع، تفریق و ضرب، دامنه حاصل از اشتراک دو دامنه به‌دست می‌آید. برای تقسیم نیز باید علاوه بر اشتراک دامنه‌ها، در نظر بگیریم که مخرج صفر نشود.

در این بخش بر پایه مباحث گفته شده، چند نمونه سوال ریاضی یازدهم را برای شما جمع‌آوری کرده‌ایم تا با ارزیابی آن‌ها به مسئله تابع دقیقا مسلط شوید. جدول زیر خلاصه‌ای است از مهم‌ترین فرمول‌های این فصل:

دامنه تابع زیر را به‌دست آورید:

$$ f(x)=frac{sqrt{2x-1}}{x^2-5x+6} $$

پاسخ

برای درستی رادیکال لازم است عبارت زیر برقرار باشد:

$$ 2x-1geq0 $$

پس داریم:

$$ xgeqfrac{1}{2} $$

از طرف دیگر، مخرج نباید صفر شود:

$$ x^2-5x+6neq0 $$

حالا عبارت بالا را تجزیه می‌کنیم:

$$ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) $$

پس خواهیم داشت:

$$ xneq2 $$

و

$$ xneq3 $$

بنابراین دامنه این تابع به شکل زیر خواهد شد:

$$ D_f= left[frac{1}{2},+inftyright)-{2,3} $$

یا

$$  D_f= left[frac{1}{2},2right) cup (2,3) cup (3,+infty)  $$

اگر $$ [x]=3 $$ باشد، مجموعه مقادیر ممکن برای $$ x $$ را به صورت بازه‌ای تعیین کنید:

پاسخ

طبق تعریف تابع جزءصحیح، اگر $$ nleq x

$$ [x]=n $$

در این سؤال $$ n=3 $$ است، پس $$ 3leq x<4 $$ می‌شود. بنابراین داریم:

$$ xin[3,4) $$

مقدار عبارت زیر را به‌دست آورید:

$$ [-2.7]+[3.9]-[-1.2] $$

پاسخ

ابتدا هر جزء صحیح را جداگانه محاسبه می‌کنیم. برای $$ [-2.7] $$، بزرگترین عدد صحیح کوچکتر یا مساوی $$ -2.7 $$ برابر است با $$ [-2.7]=-3 $$. علاوه بر این داریم $$ [3.9]=3 $$ و $$ [-1.2]=-2 $$. پس حاصل برابر می‌شود با:

$$ [-2.7]+[3.9]-[-1.2] = -3+3-(-2) = 2 $$

مرور کنید آیا دو تابع زیر با یکدیگر برابر هستند یا نه:

$$ f(x)=frac{x^2-4}{x-2} $$

و

$$ g(x)=x+2 $$

پاسخ

ابتدا دامنه تابع $$ f $$ را پیدا می‌کنیم. باید داشته باشیم:

$$ x-2neq0 $$

$$ xneq2 $$

$$ D_f=mathbb{R}-{2} $$

حالا صورت را تجزیه می‌کنیم:

$$ x^2-4=(x-2)(x+2) $$

پس برای $$ xneq2 $$ داریم:

$$ f(x)=frac{(x-2)(x+2)}{x-2} $$

$$ f(x)=x+2 $$

اما دامنه تابع $$ g $$ برابر است با:

$$ D_g=mathbb{R} $$

$$ D_fneq D_g $$

پس خروجی این شد که $$ fneq g $$. بنابراین برابر بودن ضابطه دو تابع پس از ساده‌ کردن، به‌تنهایی برای برابر بودن آن‌ها کافی نیست.

مشخص کنید که آیا تابع زیر روی مجموعه اعداد حقیقی یک‌ به‌ یک است یا خیر:

$$ f(x)=x^2-4x+7 $$

پاسخ

برای تحلیل یک‌ به‌ یک بودن، می‌توانیم ارزیابی کنیم آیا دو ورودی متفاوت وجود دارند که خروجی یکسان ایجاد کنند یا خیر. داریم $$ f(x)=x^2-4x+7 $$. با در نظر گرفتن دو مقدار $$ x $$ و $$ x-1 $$ داریم:

$$ f(4-x) = (4-x)^2-4(4-x)+7 $$

با بسط عبارت $$ f(4-x) = 16-8x+x^2-16+4x+7 $$ خواهیم داشت:

$$ f(4-x)=x^2-4x+7 $$

بنابراین $$ f(4-x)=f(x) $$. اما در حالت کلی $$ 4-xneq x $$. در حاصل این تابع تابع روی اعداد حقیقی یک به یک نیست.

وارون تابع زیر را پیدا کنید:

$$ f(x)=frac{3x-2}{5} $$

پاسخ

ابتدا می‌نویسیم:

$$ y=frac{3x-2}{5} $$

سپس جای $$ x $$ و $$ y $$ را عوض می‌کنیم:

$$ x=frac{3y-2}{5} $$

حالا دو طرف را در $$ 5 $$ ضرب می‌کنیم:

$$ 5x=3y-2 $$

$$ 3y=5x+2 $$

$$ y=frac{5x+2}{3} $$

$$ f^{-1}(x)=frac{5x+2}{3}  $$

اگر $$ f(x)=frac{1}{x-2} $$ و $$ g(x)=sqrt{x+1} $$ باشند، ضابطه و دامنه تابع زیر را پیدا کنید:

$$ h(x)=f(x)+g(x) $$

پاسخ 

داریم:

$$ h(x)=frac{1}{x-2}+sqrt{x+1} $$

برای تابع اول باید $$ xneq2 $$ باشد و برای تابع دوم $$ x+1geq0 $$. بنابراین $$ xgeq-1 $$ است. حالا اشتراک دو دامنه را پیدا می‌کنیم:

$$ [-1,+infty)cap(mathbb{R}-{2}) $$

$$ D_h=[-1,2)cup(2,+infty) $$

پس پاسخ برابر است با:

$$h(x)=frac{1}{x-2}+sqrt{x+1} $$

و

در این فصل با روش‌های مختلف اندازه‌گیری زاویه، نسبت‌های مثلثاتی و روابط بین آن‌ها آشنا می‌شوید. علاوه بر این با استفاده از دایره مثلثاتی، علامت نسبت‌های مثلثاتی در ربع‌های مختلف، روابط زاویه‌های قرینه، مکمل، متمم و در نهایت نمودار و قابلیت‌های توابع مثلثاتی را مرور می‌کنید.

دو واحد اصلی اندازه‌گیری زاویه، درجه و رادیان هستند. در واحد اندازه‌گیری درجه، یک دور دقیق برابر است با $$ 360^circ $$. بنابراین $$ 180^circ $$ برابر می‌شود با یک نیم‌دور و $$ 90^circ $$ برابر است با یک ربع‌دور. اما در واحد رادیان، اندازه زاویه از نسبت طول کمان مقابل به زاویه به شعاع دایره به‌دست می‌آید:

$$ alpha=frac{l}{r} $$

دقت کنید در این رابطه لازم است واحد هر دو طول یکسان باشد. بنابراین در واحد رادیان، یک دور دقیق برابر است با $$ 2pi $$ رادیان و یک نیم‌دور برابر است با $$ pi $$ رادیان. علاوه بر این رابطه تبدیل درجه به رادیان به شکل زیر است:

$$ 180^circ=pi $$

رابطه تبدیل رادیان به درجه نیز $$ pi=180^circ $$ می‌شود.

برای ارزیابی روابط بین نسبت‌های مثلثاتی و استفاده از آن‌ها در حل نمونه سوال ریاضی یازدهم، ابتدا باید ببینیم دایره مثلثاتی چیست. دایره‌ای با شعاع $$ 1 $$ که مرکز آن مبدا دستگاه مختصات است، دایره واحد یا دایره مثلثاتی نام دارد. اگر نقطه‌ای روی دایره مثلثاتی دارای مختصات $$ P(x,y) $$ باشد، برای زاویه $$ alpha $$ داریم:

$$ cosalpha=x $$

$$ sinalpha=y $$

چون شعاع این دایره برابر با یک است، پس رابطه زیر نیز برقرار است:

$$ sin^2alpha+cos^2alpha=1 $$

در مورد علامت نسبت‌های مثلثاتی نکات زیر مهم هستند:

از سوی دیگر تانژانت و کتانژانت به شکل زیر تعریف می‌شوند:

$$ tanalpha=frac{sinalpha}{cosalpha} $$

$$ cotalpha=frac{cosalpha}{sinalpha} $$

در خروجی داریم:

$$ tanalphacotalpha=1 $$

$$ cotalpha=frac{1}{tanalpha} $$

$$ tanalpha=frac{1}{cotalpha} $$

طبق مهم‌ترین رابطه مثلثاتی یعنی $$ sin^2alpha+cos^2alpha=1 $$ می‌توان نوشت:

$$ sin^2alpha=1-cos^2alpha $$

$$ cos^2alpha=1-sin^2alpha $$

$$ 1+tan^2alpha=frac{1}{cos^2alpha} $$

$$ 1+cot^2alpha=frac{1}{sin^2alpha} $$

پیشنهاد می‌کنیم برای آموزش مفصل روابط بین زاویه‌های قرینه، زاویه‌های مکمل، زاویه‌های متمم و سایر روابط مثلثاتی مهم به مطلب زیر از مجله فرادرس مراجعه کنید:

در ادامه این فصل و پیش از تحلیل نمونه سوال ریاضی یازدهم، نسبت‌های مثلثاتی به‌صورت تابع مرور می‌شوند. تابع سینوس به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

$$ y=sin x $$

دامنه تابع سینوس $$ D_f=mathbb{R} $$ و برد آن $$ -1leqsin xleq1 $$ است. بنابراین داریم $$ R_f=[-1,1] $$. در ادامه یکی از مهم‌ترین قابلیت‌های تابع سینوس، تناوب آن است:

$$ sin(x+2pi)=sin x $$

در حالت کلی برای هر عدد صحیح $$ k $$، می‌توانیم بنویسیم:

$$ sin(x+2kpi)=sin x $$

بنابراین دوره تناوب تابع سینوس برابر است با:

$$ 2pi $$

نقاط مهم این تابع در یک دوره تناوب عبارت‌اند از:

$$ left(0,0right) $$ $$ left(frac{pi}{2},1right) $$ $$ left(pi,0right) $$ $$ left(frac{3pi}{2},-1right) $$ $$ left(2pi,0right) $$

با قرار دادن این نقاط روی دستگاه مختصات و اتصال آن‌ها، نمودار تابع سینوسی به‌دست می‌آید. تعریف تابع کسینوس نیز به همین شکل و با همین قابلیت‌ها است، با این تفاوت که نقاط مهم تابع کسینوس در یک دوره تناوب عبارت‌اند از:

$$ left(0,1right) $$ $$ left(frac{pi}{2},0right) $$ $$ left(pi,-1right) $$ $$ left(frac{3pi}{2},0right) $$ $$ left(2pi,1right) $$

در این بخش چند نمونه سوال ریاضی یازدهم را برای شما جمع‌آوری کرده‌ایم تا با مرور آن‌ها به مثلثات دقیقا مسلط شوید. جدول زیر خلاصه‌ای است از مهم‌ترین فرمول‌های این فصل:

زاویه زیر را به درجه تبدیل کنید:

$$ frac{7pi}{12} $$

پاسخ

طبق فرمول $$ D=Rfrac{180}{pi} $$، داریم:

$$ D=frac{7pi}{12}timesfrac{180}{pi} $$

$$ D=7times15 $$

$$ 105^circ $$

دایره‌ای به شعاع $$ 6 $$ سانتی‌متر داریم. اگر اندازه زاویه مرکزی برابر با $$ frac{2pi}{3} $$ رادیان باشد، طول کمان مقابل به زاویه را به‌دست آورید:

پاسخ

رابطه طول کمان $$ l=ralpha $$ است. بنابراین داریم:

$$ l=6timesfrac{2pi}{3} $$

$$ l=4pi $$

$$ l=4pitext{ cm} $$

اگر $$ sinalpha=frac{3}{5} $$ و زاویه در ربع دوم باشد، سایر نسبت‌های مثلثاتی را به‌دست آورید:

پاسخ

طبق رابطه $$ sin^2alpha+cos^2alpha=1 $$، داریم:

$$ left(frac{3}{5}right)^2+cos^2alpha=1 $$

$$ frac{9}{25}+cos^2alpha=1 $$

$$ cos^2alpha=frac{16}{25} $$

$$ cosalpha=pmfrac{4}{5} $$

چون زاویه در ربع دوم است، پس کسینوس منفی است:

$$ cosalpha=-frac{4}{5} $$

$$ tanalpha= frac{frac{3}{5}}{-frac{4}{5}} = -frac{3}{4} $$

$$ cotalpha=-frac{4}{3} $$

$$ sin(-30^circ)+cos(-60^circ)-tan(-45^circ) $$

پاسخ

از روابط زاویه‌های قرینه استفاده می‌کنیم:

$$ sin(-alpha)=-sinalpha $$ $$ cos(-alpha)=cosalpha $$ $$ tan(-alpha)=-tanalpha $$

$$ sin(-30^circ)=-frac12 $$

و

$$ cos(-60^circ)=frac12 $$

در ادامه می‌دانیم $$ tan(-45^circ)=-1 $$. پس داریم:

$$ -frac12+frac12-(-1) $$

که برابر با یک می‌شود.

اگر $$ frac{3pi}{2}<alpha<2pi $$ باشد، علامت هر یک از نسبت‌های زیر را تعیین کنید:

$$ sinalpha,qquadcosalpha,qquadtanalpha,qquadcotalpha $$

پاسخ

بازه $$ frac{3pi}{2}<alpha<2pi $$ مربوط به ربع چهارم است. در ربع چهارم $$ sinalpha<0 $$ $$ cosalpha>0 $$ است. بنابراین داریم:

$$ tanalpha<0 $$

$$ cotalpha<0 $$

پس پاسخ به شکل زیر است:

$$ sinalpha<0,quad cosalpha>0,quad tanalpha<0,quad cotalpha<0 $$

برای تابع زیر دامنه، برد و دوره تناوب را تعیین کنید:

$$ f(x)=2sin x-3 $$

پاسخ

چون تابع سینوس برای تمام اعداد حقیقی تعریف شده است، داریم:

$$ D_f=mathbb{R} $$

از طرفی $$ -1leqsin xleq1 $$ است. حالا دو طرف را در دو ضرب می‌کنیم:

$$ -2leq2sin xleq2 $$

سپس سه واحد کم می‌کنیم:

$$ -5leq2sin x-3leq-1 $$

پس برد تابع می‌شود $$ boxed{[-5,-1]} $$. دقت کنید ضریب داخل سینوس برابر با یک است. بنابراین دوره تناوب تغییر نمی‌کند:

$$T=2pi $$

در این فصل ابتدا خصوصیت‌های تابع نمایی و قوانین توان‌ها را مرور می‌کنیم، سپس تابع لگاریتمی را به‌ عنوان تابع وارون تابع نمایی معرفی خواهیم کرد و قوانین لگاریتم را یاد می‌گیریم. می‌دانیم اگر $$ a $$ یک عدد حقیقی و مثبت باشد، قوانین مهم توان‌ها عبارت‌اند از:

$$ a^0=1 $$

$$ a^{-x}=frac{1}{a^x} $$

$$ a^xtimes a^y=a^{x+y} $$

$$ frac{a^x}{a^y}=a^{x-y} $$

$$ (a^x)^y=a^{xy} $$

$$ (ab)^x=a^xb^x $$

$$ left(frac{a}{b}right)^x=frac{a^x}{b^x} $$

این قوانین پایه حل معادلات نمایی هستند. تابع نمایی نیز به شکل زیر تعریف می‌شود:

$$ f(x)=a^x $$

که در آن $$ a>0 $$ و $$ aneq1 $$ است. نکات زیر در مورد این تابع مهم هستند:

در بسیاری از معادلات نمایی تلاش می‌کنیم دو طرف معادله را به یک پایه تبدیل کنیم. در ادامه مرور تابع نمایی، اگر $$ a^x=b $$ باشد، می‌توان نوشت:

$$ x=log_a b $$

یعنی $$ a^x=bLongleftrightarrowlog_a b=x $$. پس شرایط تعریف لگاریتم عبارت‌اند از:

$$ a>0 $$

$$ aneq1 $$

$$ b>0 $$

تابعی به شکل زیر را تابع لگاریتمی می‌نامیم:

$$ f(x)=log_a x $$

که در آن $$ a>0 $$ و $$ aneq1 $$ است. دامنه و برد این تابع به شکل زیر هستند:

$$ D_f=(0,+infty) $$

$$ R_f=mathbb{R} $$

خصوصیت‌های نمودارهای نمایی و لگاریتمی برای رسم نمودارهای انتقال‌یافته و مرور کاربردهای این توابع استفاده می‌شوند. نمودار تابع پایه به شکل $$ y=a^x $$ است. حالا اگر تابع به‌صورت $$ y=a^{x-h}+k $$ باشد، نمودار تابع پایه به اندازه $$ h $$ واحد در راستای افقی و به اندازه $$ k $$ واحد در راستای عمودی جابجا می‌شود.

به‌طور مشابه، نمودار $$ y=log_a(x-h)+k $$ از انتقال نمودار $$ y=log_a x $$ به‌دست می‌آید. در این حالت $$ h $$ واحد انتقال افقی و $$ k $$ واحد انتقال عمودی داریم. یکی از کاربردهای مهم تابع نمایی، مدل‌سازی رشد یا نزول است. مدل کلی به شکل $$ P(t)=P_0a^t $$ است که در آن داریم:

در این بخش چند نمونه سوال ریاضی یازدهم را برای شما جمع‌آوری کرده‌ایم تا با ارزیابی آن‌ها به مباحث این فصل جامعا مسلط شوید.

عبارت زیر را ساده کنید:

$$ frac{2^{x+3}times2^{2x-1}}{2^{x-2}} $$

پاسخ

در صورت عبارت داده شده، توان‌ها را جمع می‌کنیم:

$$ 2^{x+3}times2^{2x-1} = 2^{(x+3)+(2x-1)} $$

پس داریم:

$$ 2^{3x+2} $$

حالا تقسیم توان‌های هم‌پایه را انجام می‌دهیم:

$$ frac{2^{3x+2}}{2^{x-2}} = 2^{(3x+2)-(x-2)} $$

$$ 2^{3x+2-x+2} = 2^{2x+4} $$

معادله زیر را حل کنید:

$$ 4^{x+1}=8^{2x-1} $$

پاسخ

ابتدا پایه‌های دو طرف را به پایه دو تبدیل می‌کنیم:

$$ 4=2^2 $$

و

$$ 8=2^3 $$

پس داریم:

$$ (2^2)^{x+1}=(2^3)^{2x-1} $$

$$ 2^{2x+2}=2^{6x-3} $$

چون پایه‌ها برابر هستند، داریم:

$$ 2x+2=6x-3 $$

$$ 5=4x $$

$$ x=frac54 $$

اگر $$ x>0 $$ باشد، کدام‌یک از عبارت‌های زیر بزرگتر است؟

$$ left(frac12right)^x $$

یا

$$ left(frac13right)^x $$

پاسخ

چون $$ x>0 $$ و $$ frac12>frac13 $$ برقرار است، پس برای توان مثبت، پایه بزرگتر مقدار بزرگتری ایجاد می‌کند. بنابراین داریم:

$$ left(frac12right)^x> left(frac13right)^x $$

$$ log_2 8+log_4 16-log_3 27 $$

پاسخ 

برای جمله اول $$ 2^3=8 $$ را داریم. پس $$ log_2 8=3 $$ است. برای جمله دوم نیز $$ 4^2=16 $$ برقرار است. بنابراین $$ log_4 16=2 $$ را داریم. در ادامه برای جمله سوم $$ 3^3=27 $$ را داریم. پس $$ log_3 27=3 $$ برقرار است:

$$ 3+2-3 = 2$$

عبارت زیر را ساده کنید:

$$ log_2 12-log_2 3+log_2 8 $$

پاسخ

از رابطه تفاضل لگاریتم‌ها استفاده می‌کنیم:

$$ log_2 12-log_2 3 = log_2left(frac{12}{3}right) $$

$$ =log_2 4 $$

$$ log_2 4+log_2 8 $$

$$ log_2(4times8) $$

$$ log_2 32 $$

و چون $$ 2^5=32 $$ است، پس پاسخ پنج می‌شود.

معادله زیر را حل کنید:

$$ log_3(x-2)+log_3(x+2)=2 $$

پاسخ

ابتدا شرایط تعریف لگاریتم را تعیین می‌کنیم:

$$ x-2>0 $$

و

$$ x+2>0 $$

شرط اول قوی‌تر است، بنابراین داریم $$ x>2 $$. حالا از رابطه حاصل‌ضرب لگاریتم‌ها استفاده می‌کنیم:

$$ log_3left((x-2)(x+2)right)=2 $$

$$ (x-2)(x+2)=3^2 $$

$$ x^2-4=9 $$

$$ x^2=13 $$

$$ x=pmsqrt{13} $$

که طبق شرط $$ x>2 $$، فقط جواب مثبت قابل‌قبول است.

جمعیت یک باکتری در ابتدا برابر با $$ 500 $$ است. اگر جمعیت آن هر ساعت دو برابر شود، مدل جمعیت را بر حسب زمان بنویسید و جمعیت پس از $$ 6 $$ ساعت را محاسبه کنید:

پاسخ

مقدار اولیه یا $$ P_0=500 $$ است. چون جمعیت هر ساعت دو برابر می‌شود، پس ضریب رشد برابر است با:

$$ a=2 $$

و مدل نمایی به شکل زیر است:

$$ P(t)=500(2)^t $$

برای $$ t=6 $$ داریم:

$$ P(6)=500(2)^6 $$

$$ 2^6=64 $$

$$ P(6)=32000 $$

در فصل ششم به مفهوم حد، رفتار تابع در نزدیکی یک نقطه و مرور پیوستگی آن می‌پردازیم. اگر وقتی که $$ x $$ به $$ a$$ نزدیک می‌شود، مقدار تابع به $$ L$$ نزدیک شود، می‌گوییم:

$$ lim_{xto a}f(x)=L $$

در محاسبه حد مقدار خود تابع در نقطه $$ a$$ مهم نیست، بلکه رفتار تابع در اطراف آن نقطه اهمیت دارد. یکی از راهکارهای تحلیل رفتار تابع در اطراف یک نقطه محاسبه حد چپ و راست آن است:

برای وجود حد دوطرفه باید حد چپ و راست با هم برابر باشند:

$$ lim_{xto a^-}f(x)=lim_{xto a^+}f(x) $$

در این صورت $$ lim_{xto a}f(x) $$ وجود دارد.

در ادامه و پیش از پرداختن به حل نمونه سوال ریاضی یازدهم، ابتدا با قواعد حدگیری آشنا می‌شویم. اگر حدهای دو تابع به شکل $$ lim_{xto a}f(x)=L $$ و $$ lim_{xto a}g(x)=M $$ وجود داشته باشند، آن‌گاه داریم:

علاوه بر این لازم است حالت خاص زیر را که از جایگذاری مستقیم به‌دست می‌آید، در نظر بگیریم:

$$ frac{0}{0} $$

این حالت ابهام صفر صفرم است و به معنی وجود نداشتن حد نیست، بلکه مشخص می‌کند باید عبارت داده شده را رفع ابهام یا ساده کنیم و سپس حد را به دست آوریم.

اگر نمودار تابع در یک نقطه بدون پرش یا گسستگی باشد، می‌گوییم تابع در آن نقطه پیوسته است. تابع $$ f $$ در نقطه $$ a $$ پیوسته است، اگر شرط زیر برقرار باشد:

$$ lim_{xto a}f(x)=f(a) $$

برقراری این شرط در واقع درست بودن سه مورد زیر است:

پس برای پیوستگی در یک نقطه، لازم است حد چپ و راست برابر باشند:

$$ lim_{xto a^-}f(x) = lim_{xto a^+}f(x) = f(a) $$

در این بخش چند نمونه سوال ریاضی یازدهم را برای شما جمع‌آوری کرده‌ایم تا با ارزیابی آن‌ها به مباحث این بخش مفصلا مسلط شوید.

حد زیر را به دست آورید:

$$ lim_{xto2}frac{x^2-4}{x-2} $$

پاسخ

با جایگذاری مستقیم داریم:

$$ frac{2^2-4}{2-2}=frac{0}{0} $$

پس ابتدا صورت را تجزیه می‌کنیم:

$$ x^2-4=(x-2)(x+2) $$

$$ lim_{xto2}frac{(x-2)(x+2)}{x-2} $$

برای $$ xneq2$$ داریم:

$$ lim_{xto2}(x+2) $$

$$ 2+2=4 $$

حد زیر را محاسبه کنید:

$$ lim_{xto1}frac{x^3-1}{x^2-1}$$

پاسخ

با جایگذاری مستقیم خواهیم داشت:

$$ frac{1^3-1}{1^2-1}=frac{0}{0} $$

حالا صورت و مخرج را تجزیه می‌کنیم:

$$ x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) $$

$$ x^2-1=(x-1)(x+1) $$

بنابراین داریم:

$$
lim_{xto1}
frac{(x-1)(x^2+x+1)}
{(x-1)(x+1)}
$$

ساده می‌کنیم:

$$
lim_{xto1}
frac{x^2+x+1}{x+1}
$$

و جایگذاری می‌کنیم:

$$
frac{3}{2}
$$

حد زیر را به دست آورید:

$$
lim_{xto4}
frac{sqrt{x}-2}{x-4}
$$

پاسخ

با جایگذاری مستقیم داریم:

$$
frac{sqrt{4}-2}{4-4}
=
frac{0}{0}
$$

پس باید صورت و مخرج را با مزدوج ساده کنیم:

$$
frac{sqrt{x}-2}{x-4}
times
frac{sqrt{x}+2}{sqrt{x}+2}
$$

$$
frac{x-4}{(x-4)(sqrt{x}+2)}
$$

$$
frac{1}{sqrt{x}+2}
$$

$$
lim_{xto4}frac{1}{sqrt{x}+2}
$$

که با جایگذاری به دست می‌آید:

$$
frac{1}{4}
$$

عدد $$ a $$ را طوری تعیین کنید که تابع زیر در نقطه $$ x = 2 $$ پیوسته باشد:

$$
f(x)=
begin{cases}
x^2+a & x<2\
3x-2 & xgeq2
end{cases}
$$

پاسخ

برای پیوستگی در $$ x = 2 $$ باید داشته باشیم:

$$
lim_{xto2^-}f(x)
=
lim_{xto2^+}f(x)
=
f(2)
$$

ابتدا حد چپ را محاسبه می‌کنیم:

$$
lim_{xto2^-}(x^2+a)
$$

$$
=2^2+a
$$

$$
=4+a
$$

سپس حد راست را مرور می‌کنیم:

$$
lim_{xto2^+}(3x-2)
$$

$$
=3(2)-2
$$

$$
=4
$$

برای پیوستگی باید $$ 4+a=4 $$ شود. در خروجی $$a=0 $$ است.

حد زیر را محاسبه کنید:

$$
lim_{xto0}
frac{sqrt{1+x}-1}{x}
$$

پاسخ

با جایگذاری مستقیم داریم:

$$
frac{sqrt{1}-1}{0}
=
frac{0}{0}
$$

پس از مزدوج استفاده می‌کنیم:

$$
frac{sqrt{1+x}-1}{x}
times
frac{sqrt{1+x}+1}{sqrt{1+x}+1}
$$

صورت برابر است با:

$$
(1+x)-1=x
$$

$$
frac{x}
{x(sqrt{1+x}+1)}
$$

ساده می‌کنیم:

$$
frac{1}{sqrt{1+x}+1}
$$

حالا حد را محاسبه می‌کنیم:

$$
lim_{xto0}
frac{1}{sqrt{1+x}+1}
$$

$$
frac{1}{2}
$$

اگر $$ lim_{xto2}f(x)=3 $$ و $$ lim_{xto2}g(x)=-1 $$، حد عبارت زیر را به دست آورید:

$$
lim_{xto2}
frac{f(x)^2+2g(x)}
{f(x)-g(x)}
$$

پاسخ

ابتدا از قوانین حد استفاده می‌کنیم:

$$
lim_{xto2}f(x)^2
=
left(lim_{xto2}f(x)right)^2
$$

$$
=3^2=9
$$

در ادامه داریم:

$$
lim_{xto2}2g(x)
=
2(-1)=-2
$$

بنابراین صورت برابر است با:

$$
9-2=7
$$

و مخرج می‌شود:

$$
3-(-1)=4
$$

پس داریم:

$$
lim_{xto2}
frac{f(x)^2+2g(x)}
{f(x)-g(x)}
=
frac{7}{4}
$$

عدد $$ a $$ را طوری تعیین کنید که تابع زیر در $$ x = 1 $$ پیوسته باشد:

$$
f(x)=
begin{cases}
frac{x^2-1}{x-1} & xneq1\
a & x=1
end{cases}
$$

پاسخ

برای پیوستگی باید داشته باشیم $$ lim_{xto1}f(x)=f(1)$$. ابتدا حد را محاسبه می‌کنیم:

$$
lim_{xto1}
frac{x^2-1}{x-1}
$$

حالا صورت را تجزیه می‌کنیم:

$$
x^2-1=(x-1)(x+1)
$$

$$
lim_{xto1}
frac{(x-1)(x+1)}{x-1}
$$

$$
lim_{xto1}(x+1)
$$

$$
=2
$$

از طرفی $$ f(1)=a $$ است. پس برای پیوستگی داریم:

$$
a=2
$$

در این بخش مروری داریم بر مهم‌ترین فیلم‌های آموزشی فرادرس در زمینه یادگیری و تسلط بیشتر بر ریاضیات متوسطه دوم:

آخرین فصل ریاضی یازدهم، نحوه محاسبه احتمال در شرایط مختلف و در ادامه خلاصه‌ کردن و تحلیل داده‌ها را آموزش می‌دهد. از سوی دیگر مفاهیمی مانند پیشامد، اجتماع، اشتراک و متمم مرور می‌شوند و سپس احتمال شرطی و پیشامدهای مستقل بیان داده می‌شوند.

اگر $$ A $$ و $$ B $$ دو پیشامد باشند، اجتماع و اشتراک این دو پیشامد و متمم پیشامد $$ A $$ در ریاضیات به شکل زیر نوشته می‌شوند:

$$ Acup B $$

$$ Acap B $$

$$ A' $$

در ادامه احتمال رخ دادن پیشامدی مانند $$ A $$ برابر است با:

$$ P(A)=frac{n(A)}{n(S)} $$

بنابراین احتمال اجتماع به شکل زیر خواهد شد:

$$ P(Acup B)=P(A)+P(B)-P(Acap B) $$

احتمال شرطی نیز همان احتمال وقوع $$ A $$ است، به شرط اینکه $$ B $$ رخ داده باشد:

$$ P(A|B)=frac{P(Acap B)}{P(B)} $$

البته با این شرایط که $$ P(B)neq0 $$. به علاوه اگر وقوع یکی از پیشامدها روی احتمال وقوع دیگری تاثیری نداشته باشد، می‌گوییم دو پیشامد مستقل‌اند. بنابراین شرط استقلال دو پیشامد می‌شود:

$$ P(Acap B)=P(A)P(B) $$

در ادامه داریم:

$$ P(A|B)=P(A) $$

در ادامه این فصل، روش‌های خلاصه‌کردن، نمایش و توصیف داده‌ها تحلیل می‌شوند. هدف این است که بتوانیم یک مجموعه داده را با چند شاخص آماری مهم توصیف کنیم که عبارت‌اند از:

اگر داده‌های ما به شکل $$ x_1,x_2,ldots,x_n $$ باشند، میانگین حسابی برابر است با:

$$ bar{x}=frac{x_1+x_2+cdots+x_n}{n} $$

علاوه بر این اگر داده‌ها دارای فراوانی باشند، میانگین بالا به شکل زیر خواهد شد:

$$ bar{x}=frac{sum f_ix_i}{sum f_i} $$

اگر بزرگترین داده را از کوچکترین داده کم کنیم، دامنه تحولات را محاسبه کرده‌ایم:

$$ R=x_{max}-x_{min} $$

واریانس نیز بیانگر است داده‌ها تا چه اندازه حول مقدار میانگین پراکنده‌ شده‌اند:

$$ s^2=frac{sum (x_i-bar{x})^2}{n} $$

و انحراف معیار برابر است با ریشه دوم واریانس:

$$ s=sqrt{s^2} $$

در یک کلاس، شصت درصد دانش‌آموزان در آزمون ریاضی قبول شده‌اند و چهل درصد آن‌ها در آزمون فیزیک قبول شده‌اند. از سوی دیگر بیست و پنج درصد دانش‌آموزان در هر دو آزمون قبول شده‌اند. احتمال قبولی دانش‌آموز در ریاضی به شرط قبولی در فیزیک را به‌دست آورید و مرور کنید آیا قبولی در دو آزمون مستقل است؟

پاسخ

داریم $$ P(M)=0.6 $$ و $$ P(F)=0.4 $$. علاوه بر این $$ P(Mcap F)=0.25 $$ است. پس طبق فرمول احتمال شرطی می‌توانیم بنویسیم:

$$
P(Mmid F)
=
frac{P(Mcap F)}{P(F)}
$$

$$
P(Mmid F)
=
frac{0.25}{0.4}
$$

$$
P(Mmid F)=0.625
$$

حالا وضعیت استقلال را ارزیابی می‌کنیم. اگر دو پیشامد مستقل باشند:

$$
P(Mcap F)=P(M)P(F)
$$

ولی اینجا داریم:

$$
P(M)P(F)=0.6times0.4=0.24
$$

در حالی که $$ P(Mcap F)=0.25 $$ است. پس $$ 0.25neq0.24 $$ است و دو پیشامد مستقل نیستند.

دو تاس سالم را همزمان پرتاب می‌کنیم. پیشامد $$ A $$ عبارت است از اینکه مجموع دو تاس برابر هفت شود و پیشامد $$ B $$ عبارت است از اینکه تاس اول عدد زوج نشان دهد. آیا این دو پیشامد مستقل از هم هستند؟

پاسخ

برای پیشامد $$ A $$ حالت‌های ممکن عبارت‌اند از:

$$
(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)
$$

$$
P(A)=frac{6}{36}=frac{1}{6}
$$

برای پیشامد $$ B $$ تاس اول باید یکی از اعداد زیر باشد:

$$
2,4,6
$$

پس داریم:

$$
P(B)=frac{18}{36}=frac{1}{2}
$$

حالا اشتراک دو پیشامد را تحلیل می‌کنیم. برای اینکه مجموع برابر هفت و تاس اول زوج باشد، حالت‌های زیر داریم:

$$
(2,5),(4,3),(6,1)
$$

$$
P(Acap B)=frac{3}{36}=frac{1}{12}
$$

اگر مستقل باشند باید داشته باشیم:

$$
P(Acap B)=P(A)P(B)
$$

$$
P(A)P(B)
=
frac{1}{6}timesfrac{1}{2}
=
frac{1}{12}
$$

پس شرط استقلال برقرار است.

جدول زیر نمره‌های تعدادی دانش‌آموز را حاکی از آن است:

میانگین نمره‌ها را به دست آورید:

پاسخ

از فرمول میانگین با فراوانی استفاده می‌کنیم:

$$
bar{x}
=
frac{sum f_ix_i}{sum f_i}
$$

ابتدا حاصل‌ضرب هر داده در فراوانی آن را محاسبه می‌کنیم:

$$
12times2=24
$$

$$
14times3=42
$$

$$
16times5=80
$$

$$
18times4=72
$$

$$
20times1=20
$$

بنابراین خواهیم داشت:

$$
sum f_ix_i
=
24+42+80+72+20
$$

$$
sum f_ix_i=238
$$

مجموع فراوانی‌ها نیز می‌شود:

$$
sum f_i
=
2+3+5+4+1
$$

$$
sum f_i=15
$$

پس میانگین برابر است با:

$$
bar{x}=frac{238}{15}
$$

$$
bar{x}=frac{238}{15} approx15.87
$$

در انتهای این مطلب از مجله فرادرس با پاسخ‌دهی به سوالات چهار گزینه‌ای آزمون زیر می‌توانید میزان تسلط خود به مباحث کتاب ریاضی دو را بسنجید. برای دیدن نمره نهایی خود، کافی است روی بخش «دریافت برآیند آزمون» کلیک کنید.

دامنه تابع زیر را تعیین کنید:

$$ f(x)=log_2(x^2-5x+6) $$

$$ D_f=(-infty,2]cup(3,+infty) $$

شرح پاسخ

سوالات متداول

مهم‌ترین نکات درباره تابع چیست؟

جزئیات مهم و نکات قابل توجه درباره تابع در متن مقاله بررسی شده است.

نمونه سوال ریاضی یازدهم – از صفر تا صد با جواب چیست؟

در این مطلب اطلاعات، جزئیات و نکات مرتبط با نمونه سوال ریاضی یازدهم – از صفر تا صد با جواب بررسی شده است.

چرا نمونه سوال ریاضی یازدهم – از صفر تا صد با جواب اهمیت دارد؟

این موضوع به دلیل اطلاعات و کاربردهای مرتبط، مورد توجه کاربران قرار گرفته است.