حل انتگرال با قضیه مانده — از صفر تا صد

در ادامه مجموعه آموزشهای ریاضی مجله فرادرس، در این آموزش روش حل انتگرال با قضیه مانده را بررسی میکنیم.

حل انتگرال با قضیه مانده

از قضیه مانده برای محاسبه انتگرالهای معین حقیقی به شکل زیر استفاده خواهیم کرد:

$$ large int _ a ^ b f ( x ) d x $$

روش کلی محاسبه انتگرال معین با استفاده از روش مانده به صورت زیر است:

1. یافتن یک تابع مختلط تحلیلی $$ g ( z ) $$ که روی محور حقیقی برابر با $$ f $$ است یا با $$ f $$ ارتباط نزدیکی دارد؛ برای مثال، $$ f ( x ) = cos (x) $$ و $$ g ( z ) = e ^ { i z } $$.
2. انتخاب کانتور بسته $$ C $$ که شامل بخش محور حقیقی در انتگرال است.
3. کانتور از بخشهایی تشکیل شده است. باید بتوان $$ int g ( z ) d z $$ را برای هر بخش، جز روی محور حقیقی، محاسبه کرد.
4. استفاده از قضیه مانده برای محاسبه $$ int _ C g ( z ) d z $$.
5. ترکیب مراحل قبل برای به دست آوردن مقدار انتگرال.

محاسبه انتگرال توابع نزولی

قضایای این بخش به ما در انتخاب کانتور $$ C $$ کمک خواهند کرد. قضیه اول برای توابعی است که با سرعت بیشتر از $$ 1/ z $$ نزولی هستند.

قضیه ۱: (الف) فرض کنید $$ f ( z ) $$ در نیمصفحه بالایی تعریف شده است. اگر یک $$ a > 1 $$ و $$ M > 0 $$ وجود داشته باشند که برای $$|z | $$ بزرگ داشته باشیم:

$$ large | f ( z ) | < frac { M} { |z| ^ a } $$

آنگاه، داریم:

$$ lim _ { R to infty } int _ { C_ R} f ( z ) d z = 0 $$

که در آن، $$ C _ R $$ نیمدایره سمت چپ شکل ۱ است.

(ب) اگر $$ f ( z ) $$ در نیمصفحه پایینی تعریف شده و برای $$ a > 1 $$، داشته باشیم:

$$ large | f ( z ) | < frac{ M } { |z| ^ a } $$

آنگاه:

$$ large lim _ { R to infty} int _ { C_R} f ( z) d z = 0 , $$

که در آن، $$ C _ R $$ نیمدایره سمت راست شکل بالا است.

اثبات: (الف) و (ب) را به طور مشابه اثبات میکنیم. از نامساوی مثلثی برای انتگرال و تخمین مفروض استفاده میکنیم. برای $$ R $$ بزرگ، داریم:

$$ large left | int _ { C _ { R } } f ( z ) d z right | leq int _ { C _ { R } } | f ( z ) | | d z | leq int _ { C _ { R } } frac { M } { | z | ^ { a } } | d z | = int _ { 0 } ^ { pi } frac { M } { R ^ { a } } R d theta = frac { M pi } { R ^ { a – 1 } } $$

از آنجا که $$ a > 1 $$ است، واضح است که وقتی $$ R to infty$$، آنگاه عبارت بالا به صفر میل میکند.

قضیه بعدی برای توابعی است که مانند $$ 1 / z $$ کاهش مییابند.

قضیه ۲: (الف) فرض کنید $$ f ( z ) $$ در نیمصفحه بالایی تعریف شده باشد. اگر برای $$ |z| $$ بزرگ $$ M > 0 $$ به گونهای وجود داشته باشد که

$$ large | f ( z ) | < frac { M } { | z | } $$

آنگاه برای $$ a > 0 $$، داریم:

$$ large lim _ { x _ { 1 } rightarrow infty , x _ { 2 } rightarrow infty } int _ { C _ { 1 } + C _ { 2 } + C _ { 3 } } f ( z ) mathrm { e } ^ { i a z } d z = 0 $$

که در آن، $$ C _ 1 + C_ 2 + C_ 3 $$ مسیر مستطیلی سمت چپ شکل زیر است.

(ب) به طور مشابه، اگر $$ a < 1 $$ باشد، آنگاه

$$ large lim _ { x _ { 1 } rightarrow infty , x _ { 2 } rightarrow infty } int _ { C _{ 1 } + C _ { 2 } + C _ { 3 } } f ( z ) mathrm { e } ^ { i a z } d z = 0 $$

که در آن، $$ C _ 1 + C_ 2 + C_ 3 $$ مسیر مستطیلی سمت راست شکل بالا است.

توجه کنید که برای تفکیل قضیه ۱ از این قضیه، باید عامل $$ e ^ { i a z } $$ را در نظر بگیریم.

اثبات: (الف) با پارامتری کردن $$ C_ 1 $$، $$ C_ 2 $$ و $$ C_ 3 $$ شروع میکنیم.

• $$ C_1$$: $$ gamma _ 1 ( t) = x_ 1 + i t $$ و $$ t $$ از $$ 0 $$ تا $$ x _ 1 + x_ 2 $$.
• $$ C_2$$: $$ gamma _ 2 ( t) = t + i (x _ 1 + x_ 2 ) $$ و $$ t $$ از $$ x_1 $$ تا $$ – x_ 2 $$.
• $$ C_3$$: $$ gamma _ 3 ( t) = -x_ 2 + i t $$ و $$ t $$ از $$ x_1+x_2 $$ تا $$ 0 $$.

در ادامه هر یک از انتگرالها را بررسی میکنیم. فرض میکنیم $$ x _ 1 $$ و $$ x _ 2 $$ به اندازه کافی بزرگ باشند، به طوری که روی هر منحنی $$ C_ i $$:

$$ large | f ( z ) | < frac { M } { | z | } $$

$$ large begin {aligned}
left | int _ { C _ { 1 } } f ( z ) mathrm { e } ^ { i a z } d z right | & leq int _ { C _ { 1 } } left | f ( z ) mathrm { e } ^ { i a z } right | | d z | leq int _ { C _ { 1 } } frac { M } { | z | } left | mathrm { e } ^ { i a z } right | | d z | \
& = int _ { 0 } ^ { x _ { 1 } + x _ { 2 } } frac { M } { sqrt { x _ { 1 } ^ { 2 } + t ^ { 2 } } } left | mathrm { e } ^ { i a x _ { 1 } – a t } right | d t \
& leq frac { M } { x _ { 1 } } int _ { 0 } ^ { x _ { 1 } + x _ { 2 } } mathrm { e } ^ { – a t } d t \
& = frac { M } { x _ { 1 } } left ( 1 – mathrm { e } ^ { -a left ( x _ { 1 } + x _ { 2 } right ) } right ) / a
end {aligned} $$

از آنجا که $$ a > 0 $$ است، واضح است که عبارت آخر با رفتن $$ x _ 1 $$ و $$ x _ 2 $$ به $$infty$$، به $$ 0 $$ میل خواهد کرد.

$$ large begin {aligned}
left | int _ { C _ { 2 } } f ( z ) mathrm { e } ^ { i a z } d z right | & leq int _ { C _ { 2 } } left | f ( z ) mathrm { e } ^ { i a z } right | | d z | leq int _ { C _ { 2 } } frac { M } { | z | } left | mathrm { e } ^ { i a z } right | | d z | \
& = int _ { – x _ { 2 } } ^ { x _ { 1 } } frac { M } { sqrt { t ^ { 2 } + left ( x _ { 1 } + x _ { 2 } right ) ^ { 2 } } } left | mathrm { e } ^ { i a t -a left ( x _ { 1 } + x _ { 2 } right ) } right | d t \
& leq frac { M mathrm { e } ^ { – a left ( x _ { 1 } + x _ { 2 } right ) } } { x _ { 1 } + x _ { 2 } } int _ { 0 } ^ { x _ { 1 } + x _ { 2 } } d t \
& leq M mathrm { e } ^ { – a left ( x _ { 1 } + x _ { 2 } right ) }
end {aligned} $$

مجدداً واضح است که وقتی $$ x _ 1 $$ و $$ x _ 2 $$ به بینهایت بروند، آنگاه عبارت آخر به صفر میل میکند. اثبات برای $$ C_ 3 $$ اساساً مشابه $$ C_ 1 $$ است و در اینجا از بیان آن صرفنظر میکنیم.

اثبات بخش (ب) مشابه (الف) است. باید علامت نمایی را بررسی کنیم و مطمئن شویم که مثبت است.

محاسبه انتگرالهای $$ LARGE int _ { -infty } ^ infty $$ و $$ LARGE int _ 0 ^ infty $$

این بخش را با چند مثال بررسی میکنیم و از قضایای بخش قبل استفاده خواهیم کرد.

مثال ۱

حاصل انتگرال زیر را به دست آورید.

$$ large int _ {-infty} ^ infty frac { 1 } { ( 1 + x ^ 2 ) ^ 2 } d x . $$

حل: تابع زیر را در نظر بگیرید:

$$ large f ( z ) = 1 / ( 1 + z ^ 2 ) ^ 2 . $$

برای $$z$$های بزرگ، داریم:

$$ large f ( z ) approx 1 / z ^ 4 . $$

عملاً فرض قضیه ۱ برقرار است. با استفاده از کانتور شکل زیر، طبق قضیه مانده، داریم:

(باقیماندههای $$ f $$ درون کانتور) $$ large int _ { C _ { 1 } + C _ { n } } f ( z ) d z = 2 pi i sum$$

هر یک از تکههای معادله بالا را بررسی میکنیم.

• $$ int _ { C _ R} f ( z ) d z $$ (طبق قضیه ۱ (الف)):

$$ large lim _ {R to infty} int _ { C_ R} f ( z ) d z = 0 . $$

• $$ int _ { C _ 1 } f ( z ) d z $$:

$$ large lim _ { R rightarrow infty } int _ { C _ { 1 } } f ( z ) d z = lim _ { R rightarrow infty } int _ { – R } ^ { R } f ( x ) d x = int _ { – infty } ^ { infty } f ( x ) d x = I $$

در نهایت، باقیماندههای مورد نیاز را محاسبه میکنیم: $$ f ( z ) $$ در $$ pm i $$ قطبهای مرتبه ۲ دارد. فقط $$ z = i $$ درون کانتور است، بنابراین، باقیمانده در آن را حساب میکنیم. تابع زیر را در نظر بگیرید:

$$ large g ( z ) = ( z – i ) ^ { 2 } f ( z ) = frac { 1 } { ( z + i ) ^ { 2 } } $$

بنابراین:

$$ large operatoame {Res} ( f , i ) = g ^ { prime } ( i ) = -frac { 2 } { ( 2 i ) ^ { 3 } } = frac { 1 } { 4 i } $$

در نتیجه، خواهیم داشت:

$$ large I = 2 pi i operatoame {Res} ( f , i ) = frac { pi } { 2 } $$

مثال ۲

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$$ large I = int _ { – infty } ^ { infty } frac { 1 } { x ^ { 4 } +1 } d x $$

حل: تابع $$ f ( z ) = 1 / ( 1 + z ^ 4 ) $$ را در نظر بگیرید. از کانتور مشابه مثال قبل استفاده میکنیم.

مشابه مثال قبل، داریم:

$$ large lim _ { R rightarrow infty } int _ { C _ { R } } f ( z ) d z = 0 $$

و

$$ large lim _ { R rightarrow infty } int _ { C _ { 1 } } f ( z ) d z = int _ { – infty } ^ { infty } f ( x ) d x = I $$

بنابراین، طبق قضیه باقیمانده، داریم:

(باقیمانده $$ f $$ درون کانتور) $$ I = lim _ { R rightarrow infty } int _ { C _ { 1 } + C _ { R } } f ( z ) d z = 2 pi i sum $$

همه قطبهای $$ f $$ ساده هستند:

$$ large e ^ { i pi / 4 } , e ^ { i 3 pi / 4 } , e ^ { i 5 pi / 4} , e ^ { i 7 pi / 4 } . $$

فقط $$ e ^ { i pi / 4 } $$ و $$ e ^ { i 3 pi / 4 } $$ درون کانتور قرار دارند. باقیمانده آنها را با استفاده از قاعده هوپیتال محاسبه میکنیم. برای $$ z _ 1 = e ^ { i pi / 4 } $$، داریم:

$$ large operatoame {Res} left ( f , z _ { 1 } right ) = lim _ { z rightarrow z _ { 1 } } left ( z – z _ { 1 } right ) f ( z ) = lim _ { z rightarrow z _ { 1 } } frac { z – z _ { 1 } } { 1 + z ^ { 4 } } = lim _ { z rightarrow z _ { 1 } } frac { 1 } { 4 z ^ { 3 } } = frac { 1 } { 4 mathrm { e } ^ { i 3 pi / 4 } } = frac { mathrm { e } ^ { – i 3 pi / 4 } } { 4 } $$

و برای $$ z _ 2 = e ^ { i 3 pi / 4 } $$، خواهیم داشت:

$$ large operatoame {Res} left ( f , z _ { 2 } right ) = lim _ { z rightarrow z _ { 2 } } left ( z – z _ { 2 } right ) f ( z ) = lim _ { z rightarrow z _ { 2 } } frac { z – z _ { 2 } } { 1 + z ^ { 4 } } = lim _ { z rightarrow z _ { 2 } } frac { 1 } { 4 z ^ { 3 } } = frac { 1 } { 4 mathrm {e} ^ { i 9 pi / 4 } } = frac { mathrm { e } ^ { – i pi / 4 } } { 4 } $$

بنابراین:

$$ large I = 2 pi i left ( operatoame {Res} left ( f , z _ { 1 } right ) + operatoame {Res} left ( f , z _ { 2 } right ) right ) = 2 pi i left ( frac { – 1 – i } { 4 sqrt { 2 } } + frac { 1 – i } { 4 sqrt { 2 } } right ) = 2 pi i left ( – frac { 2 i } { 4 sqrt { 2 } } right ) = pi { frac { sqrt { 2 } } { 2 } } $$

مثال ۳

با فرض $$ b > 0 $$، تساوی زیر را اثبات کنید:

$$ large int _ { 0 } ^ { infty } frac { cos ( x ) }{ x ^ { 2 } + b ^ { 2 } } d x = frac { pi mathrm { e } ^ { – b } } { 2 b } $$

حل: انتگرالده زوج است، بنابراین، خواهیم داشت:

$$ large I = frac { 1 } { 2 } int _ { – infty } ^ { infty } frac { cos ( x ) } { x ^ { 2 } + b ^ { 2 } } $$

همچنین، با توجه به توان ۲ در مخرج آن، میتوان گفت که انتگرال کاملاً همگرا است.

باید توجه کنیم از آنجا که $$ cos ( z ) $$ در هر دو نیمصفحه به بینهایت میرود، مفروضات قضیه ۱ برقرار نیستند. برای رفع این مشکل $$ cos ( x ) $$ را با $$ e ^ { i x } $$ جایگزین میکنیم. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ large tilde { I } = int _ { – infty } ^ { infty } frac { mathrm { e } ^ { i x } } { x ^ { 2 } + b ^ { 2 } } d x , quad text { } quad I = frac { 1 } { 2 } operatoame {Re} ( tilde { I } ) $$

حال تابع زیر را در نظر بگیرید:

$$ large f ( z ) = frac { mathrm { e } ^ { i z } } { z ^ { 2 } + b ^ { 2 } } $$

برای $$ z = x + i y $$ و $$ y > 0 $$، داریم:

$$ large | f ( z ) | = frac { left | mathrm { e } ^ { i ( x + i y ) } right | } { left | z ^ { 2 } + b ^ { 2 } right | } = frac { mathrm { e } ^ { – y } } { left | z ^ { 2 } + b ^ { 2 } right | } $$

از آنجا که $$ e ^ { – y } < 1 $$ است، $$ f ( z ) $$ در مفروضات قضیه ۱ در نیمصفحه بالایی صدق میکند. اکنون میتوانیم از کانتور مشابه مثالهای قبل استفاده کنیم.

داریم:

$$ large lim _ { R rightarrow infty } int _ { C _ { R } } f ( z ) d z = 0 $$

و

$$ large lim _ { R rightarrow infty } int _ { C _ { 1 } } f ( z ) d z = int _ { – infty } ^ { infty } f ( x ) d x = tilde { I } $$

(باقیماندههای $$ f $$ درون کانتور) $$ tilde { I } = lim _ { R rightarrow infty } int _ { C _ { 1 } + C _ { R } } f ( z ) d z = 2 pi i sum $$

قطبهای $$ f $$ در $$ a pm bi $$ قرار دارند و هر دو ساده هستند. فقط $$ b i $$ درون کانتور قرار دارد. باقیمانده را با استفاده از قاعده هوپیتال محاسبه میکنیم:

$$ large operatoame {Res} ( f , b i ) = lim _ { z rightarrow b i } ( z – b i ) frac { mathrm { e } ^ { i z } } { z ^ { 2 } + b ^ { 2 } } = frac { mathrm { e } ^ { – b } } { 2 b i } $$

بنابراین، داریم:

$$ large tilde { I } = 2 pi i operatoame {Res} ( f , b i ) = frac { pi mathrm { e } ^ { – b } } { b } $$

و در نهایت خواهیم داشت:

$$ large I = frac { 1 } { 2 } operatoame {Re} ( tilde { I } ) = frac { pi mathrm { e } ^ { – b } } { 2 b } $$

محاسبه انتگرالهای مثلثاتی

برای محاسبه این انتگرالها از برخی ویژگیهای ابتدایی $$ z = e ^ { i theta} $$ روی دایره واحد استفاده میکنیم:

۱) $$ mathrm { e } ^ { – i theta } = 1 / z $$

۲) $$ cos ( theta ) = frac { mathrm { e } ^ { i theta } + mathrm { e } ^ { – i theta } } { 2 } = frac { z + 1 / z } { 2 } $$

۳) $$ sin ( theta ) = frac { mathrm { e } ^ { i theta } – mathrm { e } ^ { – i theta } } { 2 i } = frac { z – 1 / z } { 2 i } $$

مثال ۴

با فرض $$ |a| neq 1 $$، انتگرال زیر را محاسبه کنید:

$$ large int _ { 0 } ^ { 2 pi } frac { d theta } { 1 + a ^ { 2 } – 2 a cos ( theta ) } .$$

حل: پارامتری کردن دایره واحد به صورت $$ z = e ^ { i theta } $$ در بازه $$ [ 0 , 2 pi ] $$ است. از تغییر متغیر زیر استفاده میکنیم:

$$ large begin {aligned}
cos ( theta ) & = frac { z + 1 / z } { 2 } \
d z & = i mathrm { e } ^ { i theta } d theta quad Leftrightarrow quad d theta = frac { d z } { i z }
end {aligned} $$

با این تغییر متغیرها، خواهیم داشت:

$$ large begin {aligned}
I & = int _ { 0 } ^ { 2 pi } frac { d theta } { 1 + a ^ { 2 } – 2 a cos ( theta ) } \
& = int _ { | z | = 1 } frac { 1 } { 1 + a ^ { 2} – 2 a ( z + 1 / z ) / 2 } cdot frac { d z } { i z } \
& = int _ { | z | = 1 } frac { 1 } { i left ( left ( 1 + a ^ { 2 } right ) z – a left (z ^ { 2 } + 1 right ) right ) } d z
end {aligned} $$

بنابراین، داریم:

$$ large f ( z ) = frac { 1 } { i left ( left ( 1 + a ^ { 2 } right ) z – a left ( z ^ { 2 } + 1 right ) right ) } $$

طبق قضیه مانده، رابطه زیر برقرار است:

(باقیماندههای $$f$$ درون دایره واحد) $$ I = 2 pi i sum $$

میتوانیم از مخرج فاکتورگیری کنیم:

$$ large f ( z ) = frac { – 1 } { i a ( z – a ) ( z – 1 / a ) } $$

همانگونه که میبینیم، قطبها در $$ a $$ و $$ 1 / a $$ قرار دارند که یکی از آنها درون دایره واحد است و دیگری در خارج از آن:

• اگر $$ | a | > 1$$ باشد، آنگاه $$ 1 / a $$ درون دایره واحد بوده و $$mathrm{Res}(f , 1/ a ) = frac {1 } { i (a^2-1)}$$.
• اگر $$ | a | < 1$$ باشد، آنگاه $$ a $$ درون دایره واحد بوده و $$mathrm{Res}(f , a ) = frac {1 } { i (1-a^2)}$$.

بنابراین، داریم:

$$ large I = left { begin {array} { l l }
frac { 2 pi } { a ^ { 2 } – 1 } , & text { } | a | > 1 \
frac { 2 pi } { 1 – a ^{ 2 } } , & text { } | a | < 1
end {array} right . $$

قضیه ۳: فرض کنید $$ R ( x , y) $$ یک تابع گویا و بدون قطب روی دایره زیر باشد:

$$ large x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $$

در نتیجه، برای

$$ large f ( z ) = frac { 1 } { i z } R left ( frac { z + 1 / z } { 2 } , frac { z – 1 / z } { 2 i } right ) $$

خواهیم داشت:

(باقیماندههای $$ f $$ درون $$ |z|=1$$) $$ int _ { 0 } ^ { 2 pi } R ( cos ( theta ) , sin ( theta ) ) d theta = 2 pi i sum $$

اثبات: از تغییر متغیرهایی مشابه مثال قبل استفاده میکنیم. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ large int _ { 0 } ^ { 2 pi } R ( cos ( theta ) , sin ( theta ) ) d theta = int _ { | z | = 1 } R left ( frac { z + 1 / z } { 2 } , frac { z – 1 / z } { 2 i } right ) frac { d z } { i z } $$

فرض درباره قطبها بدین معنی است که $$ f $$ قطبی روی کانتور $$ | z | = 1 $$ ندارد. بنابراین، قضیه باقیمانده این قضیه را اثبات میکند.

محاسبه انتگرال با برش شاخهای انتگرالده

این بخش را نیز با مثال بررسی میکنیم.

مثال ۵

انتگرال زیر را محاسبه کنید:

$$ large I = int _ 0 ^ infty frac { x ^ {1/3}} { 1 + x ^ 2 } d x . $$

حل: تابع زیر را در نظر میگیریم:

$$ large f ( x ) = frac { x ^ {1/3}} { 1 + x ^ 2 } . $$

از آنجا که تابع بالا به صورت مجانبی با $$ x ^ { – 5 / 3 } $$ قابل مقایسه است، انتگرال کاملاً همگرا است. به عنوان تابع مختلطِ

$$ large f ( z ) = frac { z ^ {1/3}} { 1 + z ^ 2 } . $$

به یک بریدگی شاخه برای تحلیلی (یا حتی پیوسته) بودن نیاز داریم، بنابراین، نیاز خواهیم داشت آن را همراه با انتخاب کانتور در نظر بگیریم.

ابتدا بریدگی شاخه زیر را در طول محور حقیقی مثبت انتخاب میکنیم. برای $$ z = r e ^ { i theta}$$ روی بریدگی محور نیست و داریم $$ 0 < theta < 2 pi $$.

در ادامه، از کانتور $$ C_ 1 + C_ R – C_ 2 – C_ r $$ شکل زیر استفاده میکنیم.

علامت تکهها را به گونهای قرار میدهیم که انتگرالها به صورت طبیعی پارامتری شوند. از آنجا که $$ C_ 1 $$ و $$ C_ 2 $$ بریدگی شاخه مخالف هم دارند، داریم:

$$ large int _ { C_ 1 – C _ 2 } f ( z ) d z neq 0 . $$

ابتدا انتگرال را روی هر تکه از منحنی بررسی میکنیم.

• روی $$ C_ R $$: طبق قضیه ۱، داریم:

$$ large lim _ { R to infty } int _ { C _ R} f ( z ) d z = 0 . $$

• روی $$ C_ r $$: برای درک بهتر، فرض میکنیم $$ r < 1 / 2 $$. رابطه $$ | z | = r $$ را داریم، بنابراین:

$$ large | f ( z ) | = frac { left | z ^ { 1 / 3 } right | } { left | 1 + z ^ { 2 } right | } leq frac { r ^ { 1 / 3 } } { 1 – r ^ { 2 } } leq frac { ( 1 / 2 ) ^ { 1 / 3 } } { 3 / 4 } $$

عدد آخر در معادله بالا را $$M$$ مینامیم. نشان دادیم که برای $$ r $$ کوچک، $$ | f ( z ) | < M $$ است. بنابراین:

$$ large left | int _ { C _ { r } } f ( z ) d z right | leq int _ { 0 } ^ { 2 pi } left | f left ( r e ^ { i theta } right ) | i r e ^ { i theta } right | d theta leq int _ { 0 } ^ { 2 pi } M r d theta = 2 pi M r $$

واضح است که وقتی $$ r to 0 $$، عبارت بالا به صفر میل میکند.

• روی $$ C_ 1 $$:

$$ large lim _ { r rightarrow 0 , R rightarrow infty } int _ { C _ { 1 } } f ( z ) d z = int _ { 0 } ^ { infty } f ( x ) d x = I $$

• روی $$ C_ 2 $$: اساساً داریم: $$ theta = 2 pi $$، بنابراین، $$ z ^ { 1 / 3 } = e ^ {i 2 pi / 3} | z | ^ { 1 / 3 } $$. در نتیجه:

$$ large lim _ { r rightarrow 0 , R rightarrow infty } int _ { C _ { 2 } } f ( z ) d z = mathrm { e } ^ { i 2 pi / 3 } int _ { 0 } ^ { infty } f ( x ) d x = mathrm { e } ^ { i 2 pi / 3 } I. $$

قطبهای $$ f ( z ) $$ در $$ pm i $$ قرار دارند. از آنجا که $$ f $$ درون کانتور «برخهریخت» (Meromorphic) است، طبق قضیه مانده داریم:

$$ large int _ { C _ { 1 } + C _ { R } – C _ { 2 } – C _ { r } } f ( z ) d z = 2 pi i ( operatoame {Res} ( f , i ) + operatoame {Res} ( f , – i ) ) $$

با $$ r to 0 $$ و $$ R to infty $$، تحلیل بالا نشان میدهد:

$$ large left ( 1 – mathrm {e} ^ { i 2 pi / 3 }right ) I = 2 pi i ( operatoame {Res} ( f , i ) + operatoame {Res} ( f , – i ) ) $$

باقیماندهها به صورت زیر هستند:

$$ large begin {aligned}
operatoame {Res} ( f , – i ) & = frac { ( – i ) ^ { 1 / 3 } } { – 2 i } = frac { left ( mathrm { e } ^ { i 3 pi / 2 } right ) ^ { 1 / 3 } } { 2 mathrm { e } ^ { i 3 pi / 2 } } = frac { mathrm { e } ^ { – i pi } } { 2 } = – frac { 1 } { 2 } \
operatoame {Res} ( f , i ) & = frac { i ^ { 1 / 3 } } { 2 i } = frac { mathrm { e } ^ { i pi / 6 } } { 2 mathrm { e } ^ { i pi / 2 } } = frac { mathrm { e } ^ { – i pi / 3 } } { 2 }
end {aligned} $$

با کمی عملیات جبری، داریم:

$$ large left ( 1 – mathrm { e } ^ { i 2 pi / 3 } right ) I = 2 pi i cdot frac { – 1 + mathrm { e } ^ { – i pi / 3 } } { 2 } = pi i ( – 1 + 1 / 2 – i sqrt { 3 } / 2 ) = – pi i mathrm { e } ^ { i pi / 3 } $$

و در نتیجه:

$$ large I = frac { – pi i mathrm { e } ^ { i pi / 3 } } { 1 – mathrm { e } ^ { i 2 pi / 3 } } = frac { pi i }{ mathrm { e } ^ { i pi / 3 } – mathrm { e } ^ { – pi i / 3 } } = frac { pi / 2 } { left ( mathrm { e } ^ { i pi / 3 } – mathrm { e } ^ { – i pi / 3 } right ) / 2 i } = frac { pi / 2 } { sin ( pi / 3 ) } = frac { pi } { sqrt { 3 } } $$

مثال ۶

انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$$ large I = int _ { 1 } ^ { infty } frac { d x } { x sqrt { x ^ { 2 } – 1 } } $$

حل: تابع زیر را در نظر میگیریم:

$$ large f ( z ) = frac { 1 } { z sqrt { z ^ { 2 } – 1 } } $$

اولین چیزی که باید نشان دهیم، این است که انتگرالِ

$$ large int _ { 1 } ^ { infty } f ( x ) d x $$

کاملاً همگرا است. برای انجام این کار، انتگرال را به دو بخش تبدیل میکنیم:

$$ large int _ { 1 } ^ { infty } frac { d x } { x sqrt { x ^ { 2 } – 1 } } = int _ { 1 } ^ { 2 } frac { d x } { x sqrt { x ^ { 2 } – 1 } } + int _ { 2 } ^ { infty } frac { d x } { x sqrt { x ^ { 2 } – 1 } } $$

انتگرال اول سمت راست را میتوان به صورت زیر نوشت:

$$ large int _ { 1 } ^ { 2 } frac { 1 } { x sqrt { x + 1 } } cdot frac { 1 } { sqrt { x – 1 } } d x leq int _ { 1 } ^ { 2 } frac { 1 } { sqrt { 2 } } cdot frac { 1 } { sqrt { x – 1 } } d x = left . frac { 2 } { sqrt { 2 } } sqrt { x – 1 } right | _ { 1 } ^ { 2 } $$

این نشان میدهد که انتگرال اول همگرای مطلق است.

تابع $$ f ( x ) $$ به صورت مجانبی قابل مقایسه با $$ 1 / x ^ 2 $$ است، بنابراین، انتگرال از $$ 2 $$ تا $$ infty $$ نیز کاملاً همگرا است.

اکنون میتوانیم نتیجه بگیریم که انتگرال اصلی مطلقاً همگرا است.

در ادامه، از کانتور زیر استفاده میکنیم. فرض میکنیم دایرههای بزرگ دارای شعاع $$ R $$ هستند و شعاع دایرههای کوچک $$ r $$ است.

از بریدگی شاخه برای ریشه دوم استفاده میکنیم که محور حقیقی مثبت را حذف میکند. در این شاخه، داریم:

$$ 0 < mathrm {arg} ( z ) < 2 pi $$ و $$ 0 < mathrm {arg} ( sqrt {w}) < pi $$

برای $$ f ( z ) $$، این مورد بریدگی شاخه را الزام میکند که پرتوهای $$ [ 1 , infty ) $$ و $$ ( – infty , – 1 ] $$ را از صفحه مختلط حذف کند.

قطب در $$ z = 0 $$ تنها تکینگی $$ f ( z ) $$ درون کانتور است. به سادگی میتوان محاسبه کرد:

$$ large operatoame {Res} ( f , 0 ) = frac { 1 }{ sqrt { – 1 } } = frac { 1 } { i } = – i $$

بنابراین، طبق قضیه مانده، داریم:

$$ large int _ { C _ { 1 } + C _ { 2 } – C _ { 3 } -C _ { 4 } + C _ { 3 } – C _ { 6 } – C _ { 7 } + C _ { 3 } } f ( z ) d z = 2 pi i operatoame {Res} ( f , 0 ) = 2 pi $$

حدهای زیر را داریم (آنها را اثبات میکنیم):

$$ large begin {array} { l }
lim _ { R rightarrow infty } int _ { C _ { 1 } } f ( z ) d z = lim _ { R rightarrow infty } int _ { C _ { 3 } } f ( z ) d z = 0 \
lim _ { r rightarrow 0 } int _ { C _ { 3 } } f ( z ) d z = lim _ { r rightarrow 0 } int _ { C _ { 7 } } f ( z ) d z = 0
end {array} $$

همچنین میتوان نشان داد:

$$ large begin {aligned}
lim _ { R rightarrow infty , r rightarrow 0 } int _ { C _ { 2 } } f ( z ) d z & = lim _ { R rightarrow infty , r rightarrow 0 } int _ { – C _ { 4 } } f ( z ) d z \
& = lim _ { R rightarrow infty , r rightarrow 0 } int _ { -infty } f ( z ) d z = lim _ { R rightarrow infty , r rightarrow 0 } int _ { C _ { 0 } } f ( z ) d z = I
end {aligned} $$

با استفاده از این حدود، تساوی $$ 4 I = 2 pi $$ را خواهیم داشت، یعنی:

$$ large I = pi / 2 $$

حدها برای $$ C_ 1 $$ و $$ C_ 5 $$ از قضیه ۱ تبعیت میکنند، زیرا برای $$z$$های بزرگ:

$$ large | f ( z ) | approx 1 / | z | ^ { 3 / 2 } $$

حد را برای $$ C_ 3 $$ به صورت زیر محاسبه میکنیم. فرض کنید $$ r $$ کوچک (بسیار کوچکتر از $$ 1 $$) باشد. اگر $$ z = – 1 + r e ^ { i theta } $$ روی $$ C_ 3 $$ باشد، آنگاه:

$$ large | f ( z ) | = frac { 1 } { | z sqrt { z – 1 } sqrt { z + 1 } | } = frac { 1 } { left | – 1 + r mathrm { e } ^ { i theta } right | sqrt { left | – 2 + r mathrm { e } ^ { i theta } right | sqrt { r } } } leq frac { M } { sqrt { r } } $$

که در آن، $$ M $$ به گونهای انتخاب شده که بزرگتر از عبارت زیر باشد:

$$ large frac { 1 } { left | – 1 + r e ^ { i theta } right | sqrt { left | – 2 + r e ^ { i theta } right | } } $$

بنابراین:

$$ large left | int _ { C _ { 3 } } f ( z ) d z right | leq int _ { C _ { 3 } } frac { M } { sqrt { r } } | d z | leq frac { M } { sqrt { r } } cdot 2 pi r = 2 pi M sqrt { r } $$

واضح است که وقتی $$ r to 0 $$، عبارت آخر به صفرمیل میکند. حد انتگرال روی $$ C_ 7 $$ به طور مشابه به دست میآید.

خط راست $$ C _ 8 $$ را میتوانیم به صورت زیر پارامتری کنیم:

$$ large z = x + i epsilon $$

که در آن، $$ epsilon $$ یک عدد مثبت کوچک است و $$ x $$ از (تقریباً) ۱ تا $$ infty $$ تغییر میکند. بنابراین، روی $$ C_ 8 $$، داریم:

$$ mathrm{arg} ( z ^ 2 – 1 ) approx 0 $$ و $$ f ( z ) approx f ( x ) $$.

همه این تقریبها با $$ r to 0 $$ دقیق میشوند. بنابراین، داریم:

$$ large lim _ { R rightarrow infty , r rightarrow 0 } int _ { C _ { 8 } } f ( z ) d z = int _ { 1 } ^ { infty } f ( x ) d x = I $$

$$ – C_ 6 $$ را به صورت زیر پارامتری میکنیم:

$$ z = x – i epsilon $$

که در آن، $$ epsilon $$ یک عدد مثبت کوچک است و $$ x $$ از $$ infty $$ تا ۱ تغییر میکند. بنابراین، میتوان نوشت:

$$ large arg left ( z ^ { 2 } – 1 right ) approx 2 pi $$

در نتیجه:

$$ large sqrt { z ^ { 2 } – 1 } approx – sqrt { x ^ { 2 } – 1 } $$

و بنابراین:

$$ large f ( z ) approx – frac { 1 } { x sqrt { x ^ { 2 } – 1 } } = – f ( x ) $$

در نتیجه، خواهیم داشت:

$$ large lim _ { R rightarrow infty , r rightarrow 0 } int _ { -C _ { 6 } } f ( z ) d z = int _ { infty } ^ { 1 } – f ( x ) d x = int _ { 1 } ^ { infty } f ( x ) d x = I $$

میتوانیم $$ C _ 2 $$ را با $$ z = – x + i epsilon $$ پارامتری کنیم که در آن، $$ x $$ از $$ infty $$ به $$ 1 $$ میرود. بنابراین، روی $$ C_ 2 $$، داریم:

$$ large arg left ( z ^ { 2 } – 1 right ) approx 2 pi $$

این نشان میدهد:

$$ large sqrt { z ^ { 2 } – 1 } approx – sqrt { x ^ { 2 } – 1 } $$

در نتیجه:

$$ large f ( z ) approx frac { 1 } { (- x ) ( – sqrt{x ^ 2 – 1 } )}= f ( x ) . $$

و در نهایت، خواهیم داشت:

$$ large lim _ { R rightarrow infty , r rightarrow 0 } int _ { C _ { 2 } } f ( z ) d z = int _ { infty } ^ { 1 } f ( x ) ( – d x ) = int _ { 1 } ^ { infty } f ( x ) d x = I $$

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزشها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد میشوند:

• مجموعه آموزشهای دروس ریاضیات
• آموزش ریاضیات مهندسی
• مجموعه آموزشهای ریاضیات و فیزیک پایه
• آموزش ریاضیات مهندسی (مرور – تست کنکور ارشد)
• فراکتال چیست؟ — به زبان ساده
• توان و ریشه اعداد مختلط — از صفر تا صد
• فرم نمایی و قطبی اعداد مختلط — به زبان ساده

^^