مشتق توابع کسری — به زبان ساده

در آموزشهای قبلی مجله فرادس، با مفاهیم مشتق و روشهای مشتقگیری آشنا شدیم. همچنین، مباحثی مانند مشتق لگاریتم و تابع نمایی، مشتق ضمنی، مشتق جزئی، مشتق زنجیرهای، مشتق توابع معکوس، و مشتق جهتی را توضیح دادیم. در این آموزش، با مشتق توابع کسری آشنا میشویم.

مشتق توابع کسری و قاعده خارج قسمت

مشتق توابع کسری یا گویا را میتوان با استفاده از «قاعده خارج قسمت» (Quotient Rule) به دست آورد. تابع کسری $$ { h ( x ) = frac { f ( x ) } { g ( x ) } } $$ را در نظر بگیرید. مشتق این تابع برابر است با:

$$ large { h’ ( x ) = frac { g ( x ) cdot f’ ( x ) – f ( x ) cdot g’ ( x ) } { left ( g ( x ) right ) ^ 2 } } $$

اثبات: از تعریف پایه مشتق استفاده میکنیم:

$$ large displaystyle dfrac { d h ( x ) } { d x } = lim _ { Delta x rightarrow 0 } { frac { h ( x + Delta x ) – h ( x ) } { Delta x } } . $$

از آنجا که $$ frac { f ( x ) } { g ( x ) } = h ( x ) $$ است، میتوان نوشت:

$$ large displaystyle dfrac { d h ( x ) } { d x } = lim _ { Delta x rightarrow 0 } { dfrac { frac { f ( x + Delta x ) } { g ( x + Delta x ) } – frac { f ( x ) } { g ( x ) } } { Delta x } } . $$

عبارت بالا را به صورت زیر ساده میکنیم:

$$ large begin {aligned} frac { d h ( x ) } { d x } & = lim _ { Delta x rightarrow 0 } { frac { f ( x + Delta x ) g ( x ) -f ( x ) g ( x + Delta x ) } { Delta x g ( x ) g ( x + Delta x ) } } \\ & = lim _ { Delta x rightarrow 0 } { frac { 1 } { g ( x ) g ( x + Delta x ) } } lim _ { Delta x rightarrow 0 } { frac { f ( x + Delta x ) g ( x ) – f ( x ) g ( x + Delta x ) } { Delta x } } \\ & = frac { 1 } { big ( g ( x ) big ) ^ 2 } lim _ { Delta x rightarrow 0 } { frac { f ( x + Delta x ) g ( x ) -f ( x ) g ( x + Delta x ) } { Delta x } } . end {aligned} $$

با اضافه و کم کردن $$ f (x) g ( x ) $$ در صورت کسر، داریم:

$$ large displaystyle frac { d h ( x ) } { d x } = frac { 1 } { { big ( g ( x ) big ) } ^ { 2 } } lim _ { Delta x rightarrow 0 } { frac { f ( x + Delta x ) g ( x ) – f ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ( x ) – f ( x ) g ( x + Delta x ) } { Delta x } } $$

با اعمال چند تغییر کوچک در عبارت بالا، خواهیم داشت:

$$ large begin {aligned} frac { d h ( x ) } { d x } & = frac { 1 } { { g ( x ) } ^ { 2 } } lim _ { Delta x rightarrow 0 } { left ( g ( x ) bigg ( frac { f ( x + Delta x ) – f ( x ) } { Delta x } bigg ) – f ( x ) bigg ( frac { g ( x + Delta x ) – g ( x ) } { Delta x } bigg ) right ) } \\ & = dfrac { displaystyle left ( g ( x ) bigg ( lim _ { Delta xrightarrow 0 } { frac { f ( x + Delta x ) – f ( x ) } { Delta x } } bigg ) – f ( x ) bigg ( lim _ { Delta x rightarrow 0 } { frac { g ( x + Delta x ) -g ( x ) } { Delta x } } bigg ) right) } { { g ( x ) } ^ { 2 } } . end {aligned} $$

در نهایت، فرمول مورد نظر به دست میآید:

$$ large displaystyle boxed { dfrac { d h ( x ) } { d x } = dfrac { f’ ( x ) g ( x ) – g’ ( x ) f ( x ) } { { big ( g ( x ) big ) } ^ { 2 } } } . _ square $$

مثالهای مشتق توابع کسری

در این بخش، مثالهای متنوعی را از مشتق توابع کسری بررسی میکنیم.

مثال ۱ مشتق توابع کسری

حاصل $$ frac { d } { d x } left ( frac { 3 x ^ 3 – x – 2 } { 2 x } right ) $$ را به دست آورید.

حل: با توجه به فرمول بالا، توابع $$ 3x^3-x-2=f(x)$$ و $$ 2x=g(x) $$ را داریم. با جایگذاری این توابع در فرمول، خواهیم داشت:

$$ large begin {aligned} frac { d } { d x } h ( x ) & = frac { ( 2 x ) ( 9 x ^ 2 – 1 ) – ( 3 x ^ 3 – x – 2 ) ( 2 ) } { ( 2 x ) ^ 2 } \ & = frac { 1 8 x ^ 3 – 2 x – 6 x ^ 3 + 2 x + 4 } { 4 x ^ 2 } \ & = frac { 3 x ^ 3 + 1 } { x ^ 2 } . _ square end {aligned} $$

وقتی عبارات صورت و مخرج یک عبارت کسری پیچیده باشند، مشتقگیری از آن کسر کاملاً پیچیده و گیجکننده خواهد بود. در چنین مواردی، میتوانیم صورت را به عنوان یک عبارت و مخرج را به عنوان یک عبارت فرض کرده و مشتقات آنها را جداگانه بیابیم. پس از آن، مشتقات ترکیبی کسر را با استفاده از فرمول فوق برای مشتق توابع کسری مینویسیم و مستقیماً جایگزین میکنیم تا هیچگونه سردرگمی ایجاد نشود و احتمال اشتباه کاهش یابد. در ادامه، چند مثال را برای این مورد بیان میکنیم.

مثال ۲ مشتق توابع کسری

اگر $$y = frac { a – x } { a + x }$$ باشد ($$ x neq – a $$)، عبارت $$ frac{dy}{dx} $$ را به دست آورید.

حل: توابع $$ u ( x ) = a – x implies u’ ( x ) = – 1 $$ و $$ v ( x ) = a + x implies v’ ( x ) = 1 $$ را در نظر بگیرید، به گونهای که $$ y = frac { u ( x ) } { v ( x ) } $$. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ large begin {aligned} dfrac { d y } { d x } & = dfrac { v ( x ) u’ ( x ) – v’ ( x ) u ( x ) } { big ( v ( x ) big ) ^ 2 } \\ & = dfrac { ( a + x ) ( – 1 ) – ( a – x ) ( 1 ) } { ( a + x ) ^ 2 } \\ & = dfrac { – 2 a } { a ^ 2 + 2 a x + x ^ 2 } . _ square end {aligned} $$

مثال ۳ مشتق توابع کسری

اگر $$ y = frac { p x ^ 2 + q x + r } { a x + b } $$ را داشته باشیم ($$ | a | + | b | neq 0$$)، آنگاه $$ frac { d y } { d x } $$ را بیابید.

حل: تابع را به صورت $$ y = frac{u(x)}{v(x)} $$ مینویسیم که در آن، $$ u ( x ) = p x ^ 2 + q x + r implies u’ ( x ) = 2 p x + q $$ و $$ v ( x ) = a x + b implies v’ ( x ) = a $$ است. بنابراین، حاصل مشتق $$ y = frac { u ( x ) } { v ( x ) } $$ به شکل زیر محاسبه میشود:

$$ large begin {aligned} dfrac { d y } { d x } & = dfrac { d }{ d x } left ( dfrac { u ( x ) } { v ( x ) } right ) \\ & = dfrac{ v ( x ) u’ ( x ) – v’ ( x ) u ( x ) } { big ( v ( x ) big ) ^ 2 } \\ & = dfrac { ( a x + b ) ( 2 p x + q ) – ( a ) ( p x ^ 2 + q x + r ) } { ( a x + b ) ^ 2 } \\ & = dfrac { a p x ^ 2 + 2 b p x + b q – a r } { a ^ 2 x ^ 2 + 2 a b x + b ^ 2 } . _ square end {aligned} $$

مثال ۴ مشتق توابع کسری

اگر $$ y = frac { 1 } { a x ^ 2 + b x + c } $$ باشد ($$ |a| + |b| + |c| neq 0 $$)، آنگاه حاصل $$ frac{dy}{dx} $$ را بیابید.

حل: تابع را به صورت $$ y = frac{u(x)}{v(x)} $$ مینویسیم که در آن، $$ u(x) = 1 implies u'(x) = 0 $$ و $$ v(x) = ax^2 + bx + c implies v'(x) = 2ax + b $$ است. بنابراین، حاصل مشتق تابع کسری $$ y = frac { u ( x ) } { v ( x ) } $$ به شکل زیر محاسبه میشود:

$$ large begin {aligned} dfrac { d y } { d x } & = dfrac { d } { d x } left ( dfrac { u ( x ) } { v ( x ) } right ) \\ & = dfrac { v ( x ) u’ ( x ) – v’ ( x ) u ( x ) } { big ( v ( x ) big ) ^ 2 } \\ & = dfrac { ( a x ^ 2 + b x + c ) ( 0 ) – ( 2 a x + b ) ( 1 ) }{ ( a x ^ 2 + b x + c ) ^ 2 } \\ & = dfrac { – ( 2 a x + b ) }{ ( a x ^ 2 + b x + c ) ^ 2 } . _ square end {aligned} $$

مثال ۵ مشتق توابع کسری

اگر $$ y = frac{ax + b}{cx + d} $$ باشد ($$|c| + |d| neq 0$$)، آنگاه حاصل $$ frac{dy}{dx} $$ را بیابید.

حل: تابع را به صورت $$ y = frac{u(x)}{v(x)} $$ مینویسیم که در آن، $$ u(x) = ax + b implies u'(x) = a $$ و $$ v(x) = cx + d implies v'(x) = c $$ است. بنابراین، مشتق $$ y = frac { u ( x ) } { v ( x ) } $$ به شکل زیر محاسبه میشود:

$$ large begin {aligned} dfrac { d y } { d x } & = dfrac { d } { d x } left ( dfrac { u ( x ) } { v ( x ) } right ) \\ & = dfrac { v ( x ) u’ ( x ) – v’ ( x ) u ( x ) } { big ( v ( x ) big ) ^ 2 } \\ & = dfrac { ( c x + d ) ( a ) – ( c ) ( a x + b ) } { ( c x + d ) ^ 2 } \\ & = dfrac { a d – b c } { ( c x + d ) ^ 2 } . _ square end {aligned} $$

مثال ۶ مشتق توابع کسری

اگر $$ y = frac { 1 – x sqrt { x } } { 1 + x sqrt { x } } $$ باشد، آنگاه حاصل $$ frac{dy}{dx} $$ را بیابید.

حل: تابع را به صورت $$ y = frac{u(x)}{v(x)} $$ مینویسیم که در آن، $$ u ( x ) = 1 – x sqrt { x } implies u’ ( x ) = 0 – sqrt { x } – frac { x } { 2 sqrt { x } } = – frac { 3 sqrt { x } } { 2 } $$ و $$ v ( x ) = 1 + x sqrt { x } implies v’ ( x ) = 0 + sqrt { x } + frac { x } { 2 sqrt { x } } = frac { 3 sqrt { x } } { 2 } $$ است. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ large begin {aligned} y & = dfrac { u ( x ) } { v ( x ) } \\ Rightarrow dfrac { d y } { d x } & = dfrac { v ( x ) u’ ( x ) – v’ ( x ) u ( x ) } { big ( v ( x ) big ) ^ 2 } \\ & = dfrac { ( 1 + x sqrt { x } ) left ( – dfrac { 3 sqrt { x } } { 2 } right ) – left ( dfrac { 3 sqrt { x } } { 2 } right ) ( 1 – x sqrt { x } ) } { ( 1 + x sqrt { x } ) ^ 2 } \\ & = dfrac { – 3 sqrt { x } – 3 x ^ 2 – ( 3 sqrt { x } – 3 x ^ 2 ) } { 2 ( 1 + x sqrt { x } ) ^ 2 } \\ & = dfrac { – 6 sqrt { x } } { 2 ( 1 + x sqrt { x } ) ^ 2 } \\ & = – dfrac { 3 sqrt { x } } { ( 1 + x sqrt { x } ) ^ 2 } . _ square end {aligned} $$

مثال ۷ مشتق توابع کسری

مشتق تابع $$ f ( x ) = frac { x ^ 2 + 1 } { x } $$ را محاسبه کنید.

حل: از آنجا که $$ (x^2+1)’ = 2x $$ و $$ (x)’ = 1 $$، داریم:

$$ large begin {aligned} f’ ( x ) & = frac { x ( 2 x ) -( 1 ) big ( x ^ 2 + 1 big ) } { x ^ 2 } \ & = frac { 2 x ^ 2 – x ^ 2 – 1 } { x ^ 2 } \ & = frac { x ^ 2 – 1 } { x ^ 2 } . _ square end {aligned} $$

مثال ۸ مشتق توابع کسری

مشتق تابع $$ f ( x ) = frac { e ^ x } {x ^ 2 } $$ را محاسبه کنید.

حل: از آنجا که $$ (e^x)’=e^x $$ و $$ big(x^2big)’=2x $$، خواهیم داشت:

$$ large begin {aligned} f’ ( x ) & = frac { big ( x ^ 2 big ) ( e ^ x ) – ( 2 x ) ( e ^ x ) } { x ^ 4 } \ & = frac { x ^ 2 e ^ x – 2 x e ^ x } { x ^ 4 } \ & = frac { x e ^ x – 2 e ^ x } { x ^ 3 } . _ square end {aligned} $$

مثال ۹ مشتق توابع کسری

اگر $$ displaystyle f ( x ) = frac { sin x } { x ^ 3 } $$ باشد، مقدار $$ f’ (x)$$ را به دست آورید.

حل: از آنجا که $$(sin x)’=cos x$$ و $$left(x^3right)’=3x^2$$، میتوان نوشت:

$$ large begin {aligned} f’ ( x ) & = frac { left ( x ^ 3 right ) left ( cos x right ) – left ( sin x right ) left ( 3 x ^ 2 right ) } { x ^ 6 } \ & = frac { x ^ 2 left ( x cos x – 3 sin x right ) } { x ^ 6 } \ & = frac { x cos x – 3 sin x } { x ^ 4 } . _ square end {aligned} $$

مثال ۱۰ مشتق توابع کسری

مشتق تابع زیر را به دست آورید:

$$ large f ( x ) = frac { e ^ { cos x } + tan x } { e ^ { 3 x } } . $$

حل: با توجه به $$(e^{cos x} + tan x)’=-sin x e^{cos x} + sec ^2 x$$ و $$ big(e^{3x}big)’ = 3e^{3x} $$، خواهیم داشت:

$$ large begin {aligned} f’ ( x ) & = frac { big ( e ^ { 3 x } big ) ( – sin x e ^ { cos x } + sec ^ 2 x ) – big ( 3 e ^ { 3 x } big ) ( e ^ { cos x } + tan x ) } { ( e ^ { 3 x } ) ^ 2 } \ & = frac { ( – sin x e ^ { cos x } + sec ^ 2 x ) – 3 ( e ^ { cos x } + tan x ) } { e ^ { 3 x } } \ & = frac { – sin x e ^ { cos x } + sec ^ 2 x – 3 e ^ { cos x } – 3 tan x }{ e ^ { 3 x } } . _ square end {aligned} $$

مثال ۱۱ مشتق توابع کسری

مشتق تابع کسری زیر را به دست آورید:

$$ large f (x) = – frac { x ^ 2 + 1 } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 2 } $$

حل: مشتق این تابع به صورت زیر به دست میآید:

$$ large begin {align*}
frac { d } { d x } left ( – frac { x ^ 2 + 1 } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 2 } right ) & = – frac { d } { d x } left ( frac { x ^ 2 + 1 } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 2 } right ) \
& = – left ( frac { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 2 ( x ^ 2 + 1 )’ – ( x ^ 2 + 1 ) left ( ( x ^ 2 – 1 ) ^ 2 right )’ } { left ( ( x ^ 2 – 1 ) ^ 2 right ) ^ 2 } right ) \
& = – frac { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 2 ( 2 x ) – ( x ^ 2 + 1 ) left ( 2 ( x ^ 2 – 1 ) ( x ^ 2 – 1 )’ right ) } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 4 } \
& = – frac { 2 x ( x ^ 2 – 1 ) ^ 2 – ( x ^ 2 + 1 ) ( 2 ( x ^ 2 – 1 ) 2 x ) } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 4 } \
& = – frac { 2 x ( x ^ 2 – 1 ) ^ 2 – 4 x ( x ^ 2 + 1 ) ( x ^ 2 – 1 ) } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 4 } \
& = – frac { 2 x ( x ^ 2 – 1 ) left ( ( x ^ 2 – 1 ) – 2 ( x ^ 2 + 1 ) right ) } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 4 } \
& = – frac { 2 x ( x ^ 2 – 1 ) left ( x ^ 2 – 1 – 2 x ^ 2 – 2 right ) } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 4 } \
& = – frac { 2 x ( x ^ 2 – 1 ) ( – x ^ 2 – 3 ) } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 4 } \
& = – frac { 2 x ( – x ^ 2 – 3 ) } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 3 } \
& = – frac { – 2 x ( x ^ 2 + 3 ) } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 3 } \
& = – ( – 2 ) frac { x ( x ^ 2 + 3 ) } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 3 } \
& = 2 frac { x ( x ^ 2 + 3 ) } { ( x ^ 2 – 1 ) ^ 3 } .
end {align*} $$

مثال ۱۲ مشتق توابع کسری

مشتق تابع تانژانت را محاسبه کنید.

حل: با توجه به اینکه تانژانت برابر با نسبت سینوس به کسینوس است، میتوان مشتق آن را به صورت زیر محاسبه کرد:

$$ large begin {aligned}
frac { d } { d x } tan ( x ) & = frac { d } { d x } left ( frac { sin ( x ) } { cos ( x ) } right ) \
& = frac { ( cos ( x ) ) ( cos ( x ) ) – ( sin ( x ) ) ( – sin ( x ) ) } { cos ^ { 2 } ( x ) } \
& = frac { cos ^ { 2 } ( x ) + sin ^ { 2 } (x ) } { cos ^ { 2 } ( x ) } \
& = frac { 1 } { cos ^ { 2 } ( x ) } \
& = sec ^ { 2 } ( x )
end {aligned} $$

مثال ۱۳ مشتق توابع کسری

مشتق تابع کتانژانت را محاسبه کنید.

حل: با توجه به اینکه کتانژانت برابر با نسبت کسینوس به سینوس است، میتوان مشتق آن را به صورت زیر محاسبه کرد:

$$ large begin {aligned}
frac { d } { d x } cot ( x ) & = frac { d } { d x} left ( frac { cos ( x ) } { sin ( x ) } right ) \
& = frac { ( sin ( x ) ) ( – sin ( x ) ) – ( cos ( x ) ) ( cos ( x ) ) } { sin ^ { 2 } ( x ) } \
& = – frac { sin ^ { 2 } ( x ) + cos ^ { 2 } ( x ) } { sin ^ { 2 } ( x ) } \
& = – frac { 1 } { sin ^ { 2 } ( x ) } \
& = – csc ^ { 2 } ( x )
end {aligned} $$

مثال ۱۴ مشتق توابع کسری

مشتق تابع سکانت را محاسبه کنید.

حل: با توجه به اینکه سکانت عکس کسینوس است، میتوان مشتق آن را به صورت زیر محاسبه کرد:

$$ large begin {aligned}
frac { d } { d x } sec ( x ) & = frac { d } { d x } frac { 1 } { cos ( x ) } \
& = frac { cos ( x ) ( 0 ) – ( – sin ( x ) ) } { cos ^ { 2 }( x ) } \
& = frac { sin ( x ) } { cos ^ { 2 } ( x ) } \
& = frac { 1 } { cos ( x ) } frac { sin ( x ) } { cos ( x ) } \
& = sec ( x ) tan ( x )
end {aligned} $$

مثال ۱۵ مشتق توابع کسری

مشتق تابع کسکانت را محاسبه کنید.

حل: با توجه به اینکه کسکانت عکس سینوس است، میتوان مشتق آن را به صورت زیر محاسبه کرد:

$$ large begin {aligned}
frac { d } { d x } csc ( x ) & = frac { d } { d x } frac { 1 } { sin ( x ) } \
& = frac { sin ( x ) ( 0 ) – cos ( x ) } { sin ^ { 2 } ( x ) } \
& = – frac { cos ( x ) } { sin ^ { 2 } ( x ) } \
& = – frac { 1 } { sin ( x ) } frac { cos ( x ) } { sin ( x ) } \
& = – csc ( x ) cot ( x )
end {aligned} $$

مثال ۱۶ مشتق توابع کسری

مشتق تابع زیر را محاسبه کنید:

$$ large y = frac { { { e ^ x } – { e ^ { – x } } } } { { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } } $$

حل: با استفاده از قاعده زنجیرهای و قاعده خارج قسمت، خواهیم داشت:

$$ large require {cancel} begin {align*} y ^ prime & = left ( { frac { { { e ^ x } – { e ^ { – x } } } } { { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } } } right ) ^ prime = { frac { { left ( { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } right ) left ( { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } right ) – left ( { { e ^ x } – { e ^ { – x } } } right ) left ( { { e ^ x } – { e ^ { – x } } } right ) } }{ {{ { left ( { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } right ) } ^ 2 } } } } = { frac { { { { left ( { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } right ) } ^ 2 } – { { left ( { { e ^ x } – { e ^ { – x } } } right ) } ^ 2 } } } { { { { left ( { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } right ) } ^ 2 } } } } \ & = { frac { { cancel { e ^ { 2 x } } + 2 + cancel { e ^ { – 2 x } } – cancel { e ^ { – 2 x } } + 2 – cancel { e ^ { – 2 x } } } } { { { { left ( { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } right ) } ^ 2 } } } } = { frac { 4 } { { { { left ( { { e ^ x } + { e ^ { – x } } } right ) } ^ 2 } } } . } end {align*} $$

مثال ۱۷ مشتق توابع کسری

مشتق تابع $$ y = frac { { { x ^ 2 } } } { { { 2 ^ x } } } $$ را به دست آورید.

حل: با استفاده از قاعده خارج قسمت برای مشتق توابع کسری میتوان نوشت:

$$ large begin {align*}
require {cancel} y’ left ( x right ) & = { left ( { frac { { { x ^ 2 } } } { { { 2 ^ x } } } } right ) ^ prime } = { frac { { { { left ( { { x ^ 2 } } right ) } ^ prime } cdot { 2 ^ x } – { x ^ 2 } cdot { { left ( { { 2 ^ x } } right ) } ^ prime } } } { { { { left ( { { 2 ^ x } } right ) } ^ 2 } } } } = { frac { { 2 x cdot { 2 ^ x } – { x ^ 2 } cdot { 2 ^ x } ln 2 } } { { { { left ( { { 2 ^ x } } right ) } ^ 2 } } } } \ & = { frac { { x cancel { 2 ^ x } left ( { 2 – x ln 2 } right ) } } { { { { left ( { { 2 ^ x } } right ) } ^ { cancel { 2 } } } } } } = { frac { { x left ( { 2 – x ln 2 } right ) } } {{ { 2 ^ x } } } . ; ; }
end {align*} $$

مثال ۱۸ مشتق توابع کسری

مشتق تابع $$ y = { large frac { { 1 + cos x } } { { sin x } } normalsize } $$ را محاسبه کنید.

حل: با استفاده از قاعده خارج قسمت میتوان نوشت:

$$ large begin {align*}
require {cancel} y’ left ( x right ) & = { left ( { frac { { 1 + cos x } } { { sin x } } } right ) ^ prime } = { frac { { left ( { – sin x } right ) sin x – left ( { 1 + cos x } right ) cos x } } { { { { sin } ^ 2 } x } } } \ & = { frac { { – { { sin } ^ 2 } x – cos x – { { cos } ^ 2 } x } } { { { { sin } ^ 2 } x } } } = { frac { { – left ( { { { sin } ^ 2 } x + { { cos } ^ 2 } x } right ) – cos x } } { { { { sin } ^ 2 } x } } } \ &= { frac { { – 1 – cos x } } { { { { sin } ^ 2 } x } } = frac { { – 1 – cos x } } { { 1 – { { cos } ^ 2 } x } } } = { frac { { – cancel { left ( { 1 + cos x } right ) } } } { { left ( { 1 – cos x } right ) cancel { left ( { 1 + cos x } right ) } } } } \ & = { frac { { – 1 } } { { 1 – cos x } } = frac { 1 } { { cos x – 1 } } . } end {align*} $$

توجه کنید که دامنه عبارت نهایی مشتق متفاوت از دامنه تابع اصلی است. این امر به دلیل حذف ریشه در هنگام ساده کردن عبارت $${left( {1 + cos x} right)} $$ از صورت و مخرج است. در حقیقت، دامنه تابع اصلی و مشتق آن کل مجموعه اعداد حقیقی است، به جز $$x = pi n,;n in mathbb{Z}$$.

مثال ۱۹ مشتق توابع کسری

مشتق تابع $$ y = {largefrac{{sqrt x – 1}}{{sqrt x + 1}}normalsize} $$ را محاسبه کنید.

حل: با استفاده از قاعده خارج قسمت، خواهیم داشت:

$$ large begin {align*}
require {cancel} y’ left ( x right ) & = { { left ( { frac { { sqrt x – 1 } } { { sqrt x + 1 } } } right ) ^ prime } } = { frac { { large frac { 1 } { { 2 sqrt x } } normalsize left ( { sqrt x + 1 } right ) – left ( { sqrt x – 1 } right ) large frac { 1 } { { 2 sqrt x } } normalsize } } { { { { left ( { sqrt x + 1 } right ) } ^ 2 } } } } \ & = { frac { { large frac { 1 } { { 2 sqrt x } } normalsize left ( { cancel { color {blue}{ sqrt x } } + color {red} { 1 } – cancel { color {blue} { sqrt x } } + color {red} { 1 } } right ) } } { { { { left ( { sqrt x + 1 } right ) } ^ 2 } } } } = { frac { { large frac { 1 } { { 2 sqrt x } } normalsize cdot color {red} { 2 } } } { { { { left ( { sqrt x + 1 } right ) } ^ 2 } } } } = { frac { 1 } { { sqrt x { { left ( { sqrt x + 1 } right ) } ^ 2 } } } . } end {align*} $$

مثال ۲۰ مشتق توابع کسری

مشتق تابع $$ f left ( x right ) = { large frac { { u left ( x right ) v left ( x right ) } } { { w left ( x right ) } } normalsize } $$ ا محاسبه کنید.

حل: ابتدا با استفاده از قاعده خارج قسمت از تابع مشتق میگیریم:

$$ large { f’ left ( x right ) = { left ( { frac { { u v } } { w } } right ) ^ prime } } = { frac { { { { left ( { u v } right ) } ^ prime } cdot w – u v cdot w’ } } { { { w ^ 2 } } } . } $$

در ادامه، با استفاده از قاعده زنجیرهای، خواهیم داشت:

$$ large begin {align*}
f’ left ( x right ) & = { frac { { { { left ( { u v } right ) } ^ prime } cdot w – u v cdot w’ } } { { { w ^ 2 } } } } = { frac { { left ( { u’ v + u v’ } right ) w – u v w’ } } { { { w ^ 2 } } } } \ & = { frac { { u’ v w + u v’ w – u v w’ } } { { { w ^ 2 } } } . } end {align*} $$

مثال ۲۱ مشتق توابع کسری

مشتق تابع $$ y = frac { { { { log } _ 2 } left ( { { x ^ 2 } } right ) } } { { { x ^ 2 } } } $$ را به دست آورید.

حل: با استفاده از قاعده خارج قسمت، داریم:

$$ large { y’ left ( x right ) = { left ( { frac { { { { log } _2 } left ( { { x ^ 2 } } right ) } } { { { x ^ 2 } } } } right ) ^ prime } } = { frac { { frac { { 2 { x ^ 3 } } } {{ { x ^ 2 } ln 2 } } – 2 x { { log } _ 2 } left ( { { x ^ 2 } } right ) } }{ { { x ^ 4 } } } } = { frac { { 2 left [ { 1 – { { log } _ 2 } left ( { { x ^ 2 } } right ) ln 2 } right ] } } { { { x ^ 3 } ln 2 } } } $$

که در آن، $$x ne 0 $$ است.

مثال ۲۲ مشتق توابع کسری

مشتق تابع زیر را محاسبه کنید:

$$ large y = frac { { { { sin } ^ 2 } x } } { { 1 + cot x } } + frac { { { { cos } ^ 2 } x } } { { 1 + tan x } } $$

حل: ابتدا تابع را برحسب جملات سینوس و کسینوس ساده میکنیم:

$$ large begin {align*}
y & = frac { { { { sin } ^ 2 } x } } { { 1 + cot x } } + frac { { { { cos } ^ 2 } x } } { { 1 + tan x } } = { frac { { { { sin } ^ 2 } x } } { { 1 + frac { { cos x } } { { sin x } } } } + frac { { { { cos } ^ 2 } x } } { { 1 + frac { { sin x } } { { cos x } } } } } \ & = { frac { { { { sin } ^ 2 } x } } { { frac { { sin x + cos x } } { { sin x } } } } + frac { { { { cos } ^ 2 } x } } { { frac { { cos x + sin x } } { { cos x } } } } } = { frac { { { { sin } ^ 3 } x } } { { sin x + cos x } } + frac { { { { cos } ^ 3 } x } }{ { sin x + cos x } } } \ & = { frac { { { { sin } ^ 3 } x + { { cos } ^ 3 } x } } { { sin x + cos x } } . }
end {align*} $$

از اتحاد چاق و لاغر برای صورت کسر استفاده میکنیم:

$$ large { { a ^ 3 } + { b ^ 3 } } = { left ( { a + b } right ) left ( { { a ^ 2 } – a b + { b ^ 2 } } right ) } $$

بنابراین، تابع به فرم زیر در میآید:

$$ large y = { sin ^ 2 } x – sin x cos x + { cos ^ 2 } x . $$

اکنون از قاعده زنجیرهای و ضرب استفاده میکنیم و از تابع مشتق میگیریم:

$$ large begin {align*} require {cancel}
y ^ prime & = left ( { { { sin } ^ 2 } x } right ) ^ prime – { left ( { sin x cos x } right ) ^ prime } + { left ( { { { cos } ^ 2 } x } right ) ^ prime } \ &= { 2 sin cos x } – { left ( { sin x } right ) ^ prime cos x } – { sin xleft ( { cos x } right ) ^ prime } + { 2 cos x left ( { – sin x } right ) } \ & = { cancel { 2 sin x cos x } } – { { cos ^ 2 } x } + { { sin ^ 2 } x } – { cancel { 2 sin x cos x } } \ & = { – left ( { { { cos } ^ 2 } x – { { sin } ^ 2 } x } right ) } = { – cos 2 x . }
end {align*} $$

مثال ۲۳ مشتق توابع کسری

مشتق مرتبه $$n$$اُم تابع $$ large y = large { frac { 1 } { { 1 – 5 x } } } normalsize $$ را به دست آورید.

حل: ابتدا مشتق اول تابع را با استفاده از قاعده توان و زنجیرهای مینویسیم:

$$ large begin {align*}
y ^ prime & = left ( { frac { 1 } { { 1 – 5 x } } } right ) ^ prime = { left ( { { { left ( { 1 – 5 x } right ) } ^ { – 1 } } } right ) ^ prime } = { – 1 cdot { left ( { 1 – 5 x } right ) ^ { – 2 } } cdot left ( { 1 – 5 x } right ) ^ prime } \ & = { – 1 cdot { left ( { 1 – 5 x } right ) ^ { – 2 } } cdot left ( { – 5 } right ) } = { 1 cdot { left ( { 1 – 5 x } right ) ^ { – 2 } } cdot 5 } = { frac { { 1 cdot 5 } }{ { { { left ( { 1 – 5 x } right ) } ^ 2 } } } ; }
end {align*} $$

مشتق دوم و سوم و چهارم نیز به صورت زیر هستند:

$$ large begin {align*}
y ^ { prime prime } & = left ( { 1 cdot { { left ( { 1 – 5 x } right ) } ^ { – 2 } } cdot 5 } right ) ^ prime = { 1 cdot left ( { – 2 } right ) cdot { left ( { 1 – 5 x } right ) ^ { – 3 } } cdot 5 cdot left ( { – 5 } right ) } \ & = { 2 ! cdot { left ( { 1 – 5 x } right ) ^ { – 3 } } cdot { 5 ^ 2 } } = { frac { { 2 ! , { 5 ^ 2 } } } { { { { left ( { 1 – 5 x } right ) } ^ 3 } } } ; }
end {align*} $$

$$ large begin {align*}
y ^ { prime prime prime } & = left ( { 2 ! cdot { { left ( { 1 – 5 x } right ) } ^ { – 3 } } cdot { 5 ^ 2 } } right ) ^ prime = { 2 ! cdot left ( { – 3 } right ) cdot { left ( { 1 – 5 x } right ) ^ { – 4 } } cdot { 5 ^ 2 } cdot left ( { – 5 } right ) } \ & = { 3 ! cdot { left ( { 1 – 5 x } right ) ^ { – 4 } } cdot { 5 ^ 3 } } = { frac { { 3 ! , { 5 ^ 3 } } }{ { { { left ( { 1 – 5 x } right ) } ^ 4 } } } ; }
end {align*} $$

$$ large begin {align*}
{ y ^ { left ( 4 right ) } } & = left ( { 3 ! cdot { { left ( { 1 – 5 x } right ) } ^ { – 4 } } cdot { 5 ^ 3 } } right ) ^ prime = { 3 ! cdot left ( { – 4 } right ) cdot { left ( { 1 – 5 x } right ) ^ { – 5 } } cdot { 5 ^ 3 } cdot left ( { – 5 } right ) } \ & = { 4 ! cdot { left ( { 1 – 5 x } right ) ^ { – 5 } } cdot { 5 ^ 4 } } = { frac { { 4 ! , { 5 ^ 4 } } } { { { { left ( { 1 – 5 x } right ) } ^ 5 } } } . }
end {align*} $$

بنابراین، مشتق مرتبه $$n$$اُم تابع برابر خواهد بود با:

$$ large { y ^ { left ( n right ) } } = frac { { n ! , { 5 ^ n } } } { { { { left ( { 1 – 5 x } right ) } ^ { n + 1 } } } } . $$

مثال ۲۴ مشتق توابع کسری

مشتق تابع کسری زیر را بیابید:

$$ large { y left ( x right ) } = { frac { { { { left ( { x + 1 } right ) } ^ 2 } } } { { { { left ( { x + 2 } right ) } ^ 3 }{ { left ( { x + 3 } right ) } ^ 4 } } } , ; ; } ke-0.3pt { x gt – 1 } $$

حل: اگر از قاعده خارج قسمت مشتق توابع کسری استفاده کنیم، محاسبات بسیار طولانی خواهند بود. بنابراین، از دو طرف تابع لگاریتم میگیریم:

$$ large begin {align*}
ln y & = ln frac { { { { left ( { x + 1 } right ) } ^ 2 } } }{ { { { left ( { x + 2 } right ) } ^ 3 } { { left ( { x + 3 } right ) } ^ 4 } } } , ; ; \ &Rightarrow { ln y = ln { left ( { x + 1 } right ) ^ 2 } } – { ln { left ( { x + 2 } right ) ^ 3 } } – { ln { left ( { x + 3 } right ) ^ 4 } , ; ; } \ & Rightarrow { ln y = 2 ln left ( { x + 1 } right ) } – { 3 ln left ( { x + 2 } right ) } – { 4 ln left ( { x + 3 } right ) . } end {align*} $$

اکنون از دو طرف عبارت بالا مشتق میگیریم و مشتق تابع اصلی را به دست میآوریم:

$$ large begin {align*}
{ frac { { y’ } } { y } } & = { frac { 2 } { { x + 1 } } } – { frac { 3 } { { x + 2 } } } – { frac { 4 } { { x + 3 } } , ; ; } Rightarrow { y’ = y cdot } ke0pt { left ( { frac { 2 } { { x + 1 } } – frac { 3 } { { x + 2 } } – frac { 4 } { { x + 3 } } } right ) , ; ; } \ & Rightarrow { y’ = frac { {{ { left ( { x + 1 } right ) } ^ 2 } } } { { { { left ( { x + 2 } right ) } ^ 3 } { { left ( { x + 3 } right ) } ^ 4 } } } cdot } ke0pt { left ( { frac { 2 } { { x + 1 } } – frac { 3 } { { x + 2 } } – frac { 4 } { { x + 3 } } } right ) . } end {align*} $$

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزشها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد میشوند:

• مجموعه آموزشهای دروس ریاضیات
• آموزش ریاضی پایه دانشگاهی
• مجموعه آموزشهای دروس دبیرستان و پیشدانشگاهی
• آموزش ریاضیات و کاربرد آن در حسابداری، مدیریت و اقتصاد – ۱
• انتگرال توابع کسری — از صفر تا صد (+ دانلود فیلم آموزش گام به گام)
• پاد مشتق چیست؟ — به زبان ساده
• مشتق توابع معکوس مثلثاتی — به زبان ساده (+ دانلود فیلم آموزش رایگان)