فرمول اتحاد در ریاضی — همه اتحاد ها + مثال و حل تمرین

در آموزشهای پیشین مجله فرادرس با تجزیه عبارتهای جبری آشنا شدیم. دیدیم که اتحاد' href='/last-search/?q=اتحاد'>اتحادها نقش مهمی در تجزیه عبارتهای جبری دارند. در این آموزش به فرمول اتحاد در ریاضی میپردازیم و مهمترین آنها را بیان خواهیم کرد.

اتحاد جبری چیست؟

اتحاد در لغت بهمعنی یکی شدن است و در ریاضیات به تساویای میگویند که یک یا چند متغیر دارد و به ازای همه مقادیر متغیرها صدق میکند و برقرار است. برای مثال، تساوی زیر یک عبارت جبری است:

$$large ( x + a ) ( x + b ) = x ^ 2 + ( a + b ) x + a b$$

فرمول اتحاد در ریاضی

در این بخش با فرمول اتحادهای مهم در ریاضی آشنا میشویم که برای تجزیه عبارتها و سایر کاربردهایشان، بهتر است آنها را به خاطر بسپارید.

فرمول اتحاد مربع مجموع دو جمله ای

اتحاد مربع مجموع دوجملهای که به آن اتحاد نوع اول نیز میگویند، در مواردی بهکار میرود که بتوان آن را بهصورت مربع مجموع دو جمله نوشت:

$$ large boxed {(a+b)^ 2 = a ^ 2 + 2 ab+b^2}$$

توجه کنید که $$ a $$ و $$ b $$ نماینده جملات جبری هستند، یعنی میتوانند عدد یا عبارت باشند. برای مثال، تساوی زیر را ببینید که در آن، $$ a = xy $$ و $$ b = 2 z $$:

$$ large (x y +2z)^ 2 = x ^ 2 y ^ 2 + 4 xyz+4 z ^ 2 $$

اثبات اتحاد مربع مجموع دو جمله ای

برای اثبات اتحاد مربع، یک راه ساده این است که سمت چپ اتحاد، یعنی عبارتی را که به توان دو رسیده است، ساده کنیم. بدین ترتیب، خواهیم داشت:

$$ large begin{aligned} ( a + b ) ^ 2 & = ( a + b ) ( a + b ) & = a ( a + b ) + b ( a + b ) & = a ^ 2 + a b + b a +b ^ 2 & = a ^ 2 + 2 a b + b ^ 2 end{aligned} $$

میبینیم که طرف اول و دوم اتحاد با هم برابرند و بنابراین، اثبات کامل میشود.

فرمول اتحاد مربع تفاضل دو جمله ای

اتحاد مربع تفاضل دوجملهای که به اتحاد دوم معروف است، مشابه اتحاد اول است و همان ویژگیها را دارد، با این تفاوت که بین $$ a $$ و $$ b $$ علامت منفی قرار دارد. این اتحاد بهصورت زیر است:

$$ large boxed {( a – b )^ 2 = a ^ 2 – 2 a b + b ^ 2 } $$

اثبات اتحاد مربع تفاضل دو جمله ای

برای اثبات اتحاد مربع تفاضل دو جمله، یک راه ساده این است که سمت چپ اتحاد، یعنی عبارتی را که به توان دو رسیده است، ساده کنیم. بدین ترتیب، خواهیم داشت:

$$ large begin{aligned} ( a – b ) ^ 2 & = ( a – b ) ( a – b ) & = a ( a – b ) – b ( a – b ) & = a ^ 2 – a b – b a +b ^ 2 & = a ^ 2 – 2 a b + b ^ 2 end{aligned} $$

میبینیم که طرف اول و دوم اتحاد با هم برابرند و بنابراین، اثبات کامل میشود.

برای آشنایی با مباحث ریاضیات دبیرستان، پیشنهاد میکنیم به مجموعه فیلمهای آموزشهای دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی فرادرس مراجعه کنید که لینک آن در ادامه آورده شده است.

• برای مشاهده مجموعه فیلمهای آموزشهای دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی + اینجا کلیک کنید.

فرمول اتحاد مربع مجموع سه جمله ای

اتحاد مربع جمع سه جمله بهصورت زیر است:

$$ large boxed {(a+b+c)^2 = a ^ 2 +b^ 2 + c ^ 2 + 2 ab + 2ac +2bc }$$

اثبات فرمول اتحاد مربع مجموع سه جمله ای

برای اثبات اتحاد مربع مجموع سهجملهای کافی است ضرب $$( a + b + c ) ( a + b + c )$$ را انجام دهیم:

$$ large begin {aligned}
& ( a + b + c ) ^ { 2 } = ( a + b + c ) ( a + b + c )
& = a ^ { 2 } + a b + a c + a b + b ^ { 2 } + b c + c a + b c + c ^ { 2 }
& = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } +c ^ { 2 } + 2 a b + 2 b c + 2 c a
& = a ^ { 2 } + b^ { 2 } +c ^ { 2 } + 2( a b + b c + c a )
end {aligned} $$

میبینیم که اتحاد بهسادگی اثبات میشود.

فرمول اتحاد مربع تفاضل سه جمله ای

اتحاد مربع تفاضل سه جمله بهشکل زیر است:

$$ large boxed {(a – b – c) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 – 2 ab – 2ac +2bc}$$

اثبات اتحاد مربع تفاضل سه جمله ای

این اتحاد نیز بهسادگی بهصورت زیر اثبات میشود:

$$ large begin {aligned}
( a – b – c ) ^ { 2 } & = ( a – b – c ) ( a – b – c )
& = a ^ { 2 } – a b – a c – a b + b ^ { 2 } + b c – c a + b c + c ^ { 2 }
& = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } – 2 a b + 2 b c- 2 c a
& = a ^ { 2 } +b ^ { 2 } + c ^ { 2 } – 2 ( a b – b c + c a )
end {aligned} $$

برای آشنایی بیشتر با اتحادهای مربع به آموزش «اتحاد مربع چیست ؟ — اثبات، فرمول و نمونه سوال با جواب» مراجعه کنید.

فرمول اتحاد مکعب مجموع دو جمله ای

اتحاد مکعب دوجملهای هنگامی مورد استفاده قرار میگیرد که توان سوم جملات در عبارت وجود داشته باشد و بتوان آن عبارت را بهگونهای نوشت که به یکی از دو فرم زیر (اولی برای مجموع دو جمله و دومی برای تفاضل دو جمله) بیان شود:

$$ large boxed {(a+b)^ 3 = a ^ 3 + 3a^2b+3ab^2+b^ 3 } $$

اثبات فرمول اتحاد مکعب مجموع دو جمله ای

برای اثبات این اتحاد، باید دوجملهای $$a+b$$ را در سه بار در خودش ضرب کنیم. بنابراین، مکعب مجموع دو جمله $$a$$ و $$b$$ را میتوان به فرم زیر بیان کرد:

$$ ( a + b ) ^ { 3 } = ( a + b ) times ( a + b ) times ( a + b ) $$

بنابراین، داریم:

$$ begin {array} { l }
;;;;;;,( a + b ) ^ { 3 } = ( a + b ) times ( ( a + b ) times ( a + b ) )
Longrightarrow ( a + b ) ^ { 3 } = ( a + b ) times ( a times ( a + b ) + b times ( a + b ) )
Longrightarrow ( a + b ) ^ { 3 } = ( a +b ) times ( a times a + a times b + b times a + b times b )
Longrightarrow ( a + b ) ^ { 3 } = ( a + b ) times left ( a ^ { 2 } + a b + b a + b ^ { 2 } right )
Longrightarrow ( a + b ) ^ { 3 } = ( a + b ) times left ( a ^ { 2 } + a b + a b + b ^ { 2 } right )
Longrightarrow ( a + b ) ^ { 3 } = ( a + b ) times left ( a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } right )
end {array} $$

و در نهایت:

$$ begin {array} {ll}
Longrightarrow & ( a + b ) ^ { 3 } = a times left ( a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } right ) + b times left ( a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } right )
Longrightarrow & ( a + b ) ^ { 3 } = a times a ^ { 2 } + a times 2 a b + a times b ^ { 2 } + b times a ^ { 2 } + b times 2 a b + b times b ^ { 2 }
Longrightarrow & ( a + b ) ^ { 3 } = a ^ { 3 } + 2 a ^ { 2 } b + a b ^ { 2 } + b a ^ { 2 } + 2 a b ^ { 2 } + b ^ { 3 }
Longrightarrow & ( a + b ) ^ { 3 } = a ^ { 3 } + 2 a ^ { 2 } b + a b ^ { 2 } + a ^ { 2 } b + 2 a b ^ { 2 } + b ^ { 3 }
Longrightarrow & ( a + b ) ^ { 3 } = a ^ { 3 } + b ^ { 3 } + 2 a ^ { 2 } b + a ^ { 2 } b + a b ^ { 2 } + 2 a b ^ { 2 }
quad & ( a + b ) ^ { 3 } = a ^ { 3 } + b ^ { 3 } + 3 a ^ { 2 } b + 3 a b ^ { 2 }
end {array} $$

فرمول اتحاد مکعب تفاضل دو جمله ای

برای اتحاد مکعب تفاضل دوجملهای فرمول زیر را داریم:

$$ large boxed {(a-b)^ 3 = a ^ 3 -3 a^2b+3ab^2-b^ 3} $$

اثبات فرمول اتحاد مکعب تفاضل دو جمله ای

برای اثبات فرمول اتحاد مکعب تفاضل دوجملهای، مشابه اثبات اتحاد مکعب مجموع دوجملهای عمل میکنیم و دوجملهای $$a-b$$ را سه بار در خودش ضرب میکنیم. سعی کنید خودتان اثبات این اتحاد را مشابه اتحاد قبلی انجام دهید.

برای آشنایی بیشتر با این اتحاد، به آموزش «اتحاد مکعب دو جمله ای چیست ؟ — اثبات، فرمول و مثال — به زبان ساده» مراجعه کنید.

فرمول اتحاد مکعب سه جمله ای

اتحاد مکعب سهجملهای بهصورت زیر بیان میشود:

$$ largeboxed { begin {align} &( a + b + c ) ^ { 3 } & = 3 ( b + c ) ( a + b )( a + c )+ a ^ { 3 } + b ^ { 3 } + c ^ { 3 } & = 3a^2b + 3a^2c + 3ab^2 + 3b^2c + 3ac^2 + 3bc^2 + 6abc end {align} }$$

برای آشنایی بیشتر با این اتحاد، آموزش «اتحاد مکعب چیست؟ — فرمول، اثبات و مثال — به زبان ساده» را مطالعه کنید.

اثبات فرمول اتحاد مکعب سه جمله ای

اتحاد مکعب سه جمله ای با استفاده از اتحاد مکعب دو جمله ای و بهصورت زیر محاسبه میشود:

$$ begin{array}{l}
(a+b+c)^{3}
=[a+(b+c)]^{3}
=a^{3}+3 a(b+c)[a+(b+c)]+(b+c)^{3}
=a^{3}+3 a(b+c)[a+(b+c)]+b^{3}+3 b c(b+c)+c^{3}
=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3 a(b+c)[a+(b+c)]+3 b c(b+c)
=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(b+c)left[a^{2}+a b+a c+b cright]
=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(b+c)[a(a+b)+c(a+b)]
=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(b+c)(a+b)(a+c)
end{array} $$

این فرمول را میتوان بهصورت زیر نیز نوشت:

$$(a+b+c)^{3}-a^{3}-b^{3}-c^{3}=3(b+c)(a+b)(a+c) $$

فرمول اتحاد مزدوج

اتحاد مزدوج، یک از اتحادهای مهم و پرکاربرد است و در مواردی استفاده میشود که تفاضل مجذور دو جمله را داشته باشیم:

$$ large boxed { (a+b ) ( a – b ) = a ^ 2 – b ^ 2 } $$

برای آشنایی بیشتر با اتحاد مزدوج، به آموزش «اتحاد مزدوج چیست ؟ — فرمول، اثبات، مثال و حل تمرین» مراجعه کنید.

اثبات فرمول اتحاد مزدوج

باید تساوی زیر را اثبات کنیم:

$$ large ( a + b ) ( a – b ) = a ^ 2 – b ^ 2 $$

سمت چپ تساوی را میتوان اینگونه نوشت:

$$ large begin {aligned} ( a + b ) ( a – b ) & = a ( a – b ) + b ( a – b ) & = a ^ 2 – a b + a b – b ^ 2 & = a ^ 2 – b ^ 2 end{aligned} $$

همانطور که مشاهده میکنیم، سمت چپ تساوی با سمت راست برابر است.

فرمول اتحاد جمله مشترک

اتحاد جمله مشترک بهصورت زیر است:

$$large boxed { ( x + a ) ( x  + b ) = x ^ 2 + ( a + b ) x + a b }$$

میبینیم که جمله $$ x $$ مشترک است. این جمله میتواند یک عبارت جبری نیز باشد.

برای آشنایی بیشتر با این اتحاد، پیشنهاد میکنیم به آموزش «اتحاد جمله مشترک چیست ؟ — فرمول، اثبات، مثال و حل تمرین» مراجعه کنید.

اثبات فرمول اتحاد جمله مشترک

برای اثبات این فرمول اتحاد، هر دو طرف را ساده میکنیم. بار دیگر به این اتحاد دقت کنید:

$$ large ( x + a ) ( x + b ) = x ^ 2 + ( a + b ) x + a b $$

ابتدا سمت چپ را ساده میکنیم:

$$ large begin {align*}
( x + a ) ( x + b ) & = x cdot x + x cdot b + a cdot x + a cdot b & = x ^ 2 + ax + bx + ab
end {align*} $$

اکنون سمت راست را ساده میکنیم:

$$ large begin {align*}
x ^ 2 + ( a + b ) x + a b & = x ^ 2 + a cdot x + b cdot x + ab
& = x^ 2 + a x + b x + a b
end {align*} $$

همانطور که میبینیم، سادهسازی دو طرف به نتیجه یکسانی ختم شده است.

فرمول اتحاد چاق و لاغر مجموع

اتحاد چاق و لاغر مجموع یک تساوی است که مجموع دو مکعب را تجزیه میکند.  اتحاد چاق و لاغر مجموع مکعبات بهصورت زیر است:

$$ large boxed {a ^ 3 + b ^ 3 = ( a + b ) ( a ^ 2 – ab + b ^ 2 ) } $$

اثبات فرمول اتحاد چاق و لاغر مجموع

باید تساوی زیر را اثبات کنیم:

$$ large (a+b)(a^{2}–ab+b^{2})=a^{3}+b^{3} $$

با استفاده از خاصیت توزیعپذیری یا پخشپذیری، سمت چپ عبارت بالا را میتوانیم به صورت زیر بنویسیم:

$$ large left ( a right ) left ( a ^ { 2 } –a b + b ^ { 2 } right ) + left ( b right ) left ( a ^ { 2 } – a b + b ^ { 2 } right ) $$

اکنون $$a$$ را در پرانتز اول ضرب میکنیم:

$$ large left ( a ^ { 3 } –a ^ { 2 } b + a b^ { 2 } right ) + left ( b right ) left ( a ^ { 2 } – a b + b ^ { 2 } right ) $$

سپس $$b$$ را در پرانتز دوم ضرب میکنیم:

$$ large left ( a ^ { 3 } – a ^ { 2 } b + a b ^ { 2 } right ) + left ( a ^ { 2 } b – a b ^ { 2 } + b ^ { 3 } right ) $$

با چیدن جملههای مشابه در کنار یکدیگر، خواهیم داشت:

$$ large a ^ { 3 } – a ^ { 2 } b + a^ { 2 } b+ a b ^ { 2 } – a b ^ { 2 } + b ^ { 3 } $$

در نهایت، با حذف جملات قرینه، به عبارت زیر میرسیم:

$$ large a ^ 3 + b ^ 3 $$

و اثبات کامل میشود.

فرمول اتحاد چاق و لاغر تفاضل

این اتحاد برای تفاضل مکعبات بهشکل زیر بیان میشود:

$$ large boxed {a ^ 3 – b ^ 3 = ( a – b ) ( a ^ 2 + ab + b ^ 2 ) }$$

اثبات فرمول اتحاد چاق و لاغر تفاضل

باید تساوی زیر را اثبات کنیم:

$$ large (a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3} $$

با استفاده از خاصیت توزیعپذیری یا پخشپذیری، سمت چپ عبارت بالا را میتوانیم به صورت زیر بنویسیم:

$$ large left ( a right ) left ( a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } right ) – left ( b right ) left ( a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } right ) $$

اکنون $$a$$ را در پرانتز اول ضرب میکنیم:

$$ large left ( a ^ { 3 } +a ^ { 2 } b + a b^ { 2 } right ) – left ( b right ) left ( a ^ { 2 } + a b + b ^ { 2 } right ) $$

سپس $$b$$ را در پرانتز دوم ضرب میکنیم:

$$ large left ( a ^ { 3 } + a ^ { 2 } b + a b ^ { 2 } right ) – left ( b a ^ { 2 } + a b ^ { 2 } + b ^ { 3 } right ) $$

با چیدن جملههای مشابه در کنار یکدیگر، خواهیم داشت:

$$ large a ^ { 3 } + a b ^ { 2 } + b a^ { 2 } – b a ^ { 2 } – a b ^ { 2 } – b ^ { 3 } $$

در نهایت، با حذف جملات قرینه، به عبارت زیر میرسیم:

$$ large a ^ 3 – b ^ 3 $$

و میبینیم که اثبات کامل میشود.

در آموزش «اتحاد چاق و لاغر چیست ؟ — اثبات، فرمول، نمونه سئوال — به زبان ساده» مطالب کاملی درباره این اتحاد بیان کردهایم.

چند فرمول اتحاد دیگر ریاضی

اتحادهای دیگری نیز وجود دارند که شاید کمتر از اتحادهای معروف از آنها استفاده شود، اما دانستن آنها برای تجزیه اتحاد ها راهگشا خواهد بود. در ادامه، به مهمترین ین اتحادها اشاره میکنیم.

$$ large boxed {( a + b ) ^ { 4 } = a ^ { 4 } + 4 a ^ { 3 } b + 6 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 4 a b ^ { 3 } + b ^ { 4 } } $$

$$ large boxed {( a – b ) ^ { 4 } = a ^ { 4 } – 4 a ^ { 3 } b + 6 a ^ { 2 } b ^ { 2 } – 4 a b ^ { 3 } + b ^ { 4 }} $$

$$ large boxed {a ^ { 4 } – b ^ { 4 } = ( a – b ) ( a + b ) left ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } right ) } $$

$$ large boxed {a ^ { 5 } – b ^ { 5 } = ( a – b ) left ( a ^ { 4 } + a ^ { 3 } b + a ^ { 2 } b ^ { 2 } + a b ^ { 3 } + b ^ { 4 } right ) } $$

$$ large boxed {x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } – x y – y z – z x = frac { 1 } { 2 } left [ ( x – y ) ^ { 2 } + ( y – z ) ^ { 2 } + ( z – x ) ^ { 2 } right ] } $$

$$ large boxed { a ^ { n } – b ^ { n } = ( a – b ) left ( a ^ { n – 1 } + a ^ { n- 2 } b ^ { 1 } + a ^ { n – 3 } b ^ { 2 } + ldots . + a ^ { 1 } b ^ { n – 2 } +b ^ { n – 1 } right )} $$

مثال های فرمول اتحاد در ریاضی

در این بخش، چند مثال را بررسی میکنیم.

مثال اول فرمول اتحاد در ریاضی

با استفاده از اتحادها، عبارت زیر را تجزیه کنید.

$$ large {x^2} – 20x + 100$$

حل: همانطور که میدانیم، $$100$$ مربع عدد $$ 10$$ است. حال برای آنکه بدانیم میتوانیم از اتحاد مربع استفاده کنیم، ضریب $$ x $$ را بررسی میکنیم که $$ 2 (10) = 20 $$ است. بنابراین، میتوانیم از اتحاد مربع دوجملهای استفاده کنیم:

$$ large { x ^ 2 } – 2 0 x + 1 0 0 = { left ( { x – 1 0 } right ) ^ 2 } $$

مثال دوم فرمول اتحاد در ریاضی

عبارت زیر را تجزیه کنید.

$$ large 25{x^2} – 9 $$

حل: اگر به چندجملهای بالا دقت کنیم، میتوانیم آن را به صورت زیر بنویسیم:

$$ large 2 5 { x ^ 2 } – 9 = { left ( { 5 x } right ) ^ 2 } – { left ( 3 right ) ^ 2 } $$

واضح است که میتوانیم از اتحاد مزدوج استفاده کنیم. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ large 2 5 { x ^ 2 } – 9 = left ( { 5 x + 3 } right ) left ( { 5 x – 3 } right ) $$

مثال سوم فرمول اتحاد در ریاضی

چندجملهای زیر را تجزیه کنید.

$$ large 8{x^3} + 1$$

حل: مسئله را میتوان به صورت مجموع دو مکعب کامل نوشت:

$$ large 8 { x ^ 3 } + 1 = { left ( { 2 x } right ) ^ 3 } + { left ( 1 right ) ^ 3 } $$

و با توجه به اتحادهایی که بیان شد، میتوانیم چندجملهای را به صورت زیر تجزیه کنیم:

$$ large 8 { x ^ 3 } + 1 = left ( { 2 x + 1 } right ) left ( { 4 { x ^ 2 } – 2 x + 1 } right ) $$

مثال چهارم فرمول اتحاد در ریاضی

اگر $$ x + y = 10$$ و $$ x y = 5 $$ باشد، حاصل $$ x ^ 2 + y ^ 2 $$ را به دست آورید.

حل: اتحاد مربع دوجملهای به صورت زیر است:

$$ large ( x + y ) ^ 2 = x ^2 + 2 x y + y ^ 2 $$

طبق این رابطه، میتوانیم تساوی زیر را بنویسیم:

$$ large x ^ 2 + y ^ 2 = ( x + y ) ^ 2 – 2 x y $$

بنابراین، مقدار مورد نظر اینگونه به دست میآید:

$$ large x ^ 2 + y ^ 2 = ( 10) ^ 2 – 2 ( 5 ) = 100 -10 = 90 $$

مثال پنجم فرمول اتحاد در ریاضی

عبارت $$ x ^ 6 – y ^ 6 $$ را تجزیه کنید.

حل: این عبارت را میتوان به دو صورت زیر نوشت:

$$ large begin{align*} x ^ 6 – y ^ 6 & = (x^2)^ 3 – (y^2)^3
x ^ 6 – y ^ 6 &= (x ^ 3 )^ 2 – (y ^ 3 ) ^ 2 end {align*} $$

با هر دو تساوی میتوان مسئله را حل کرد. ابتدا فرض کنید اولی، یعنی تفاضل مکعب دو جمله $$x^2$$ و $$ y ^ 2 $$ را در نظر میگیرم. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ large begin {aligned}
x ^ { 6 } – y ^ { 6 } & = left ( x ^ { 2 } right ) ^ { 3 } – left ( y ^ { 2 } right ) ^ { 3 }
& = left ( x ^ 2 – y ^ 2 right ) left ((x ^ 2 )^ 2 + (x^2 ) (y ^ 2 ) + ( y ^ 2 ) ^ 2 right ) & = (x-y)(x+y) (x ^ 4 + x^2 y ^2+ y ^ 4 ) & = ( x – y ) ( x + y) (x^ 4 + 2 x ^ 2 y ^ 2 – x ^ 2 y ^ 2 + y ^ 4 ) & = ( x – y ) ( x + y) [ ( x ^ 4 + 2 x ^2 y ^ 2 + y ^ 4 )- x ^ 2 y ^ 2 ]
& = ( x – y ) ( x + y) [ ( x ^2+ y ^ 2 ) ^ 2- x ^ 2 y ^ 2 ]
& = ( x – y ) ( x + y) [(x ^ 2 + y ^ 2 – xy )(x ^ 2 + y ^ 2 + xy)] & =
( x – y ) ( x + y) (x ^ 2 – xy + y ^ 2)(x ^ 2 + xy + y ^ 2)
end {aligned} $$

روش دیگر، در نظر گرفتن اتحاد مزدوج برای دو جمله $$x^3$$ و $$y^ 3 $$ و سپس استفاده از اتحاد چاق و لاغر است:

$$ large begin {aligned}
x ^ { 6 } – y ^ { 6 } & = left ( x ^ { 3 } right ) ^ { 2 } – left ( y ^ { 3 } right ) ^ { 2 }
& = left ( x ^ { 3 } + y ^ { 3 } right ) left ( x ^ { 3 } – y ^ { 3 } right )
& = left [ ( x + y ) left ( x ^ { 2 } – x y + y ^ { 2 } right ) right ] left [ ( x – y ) left ( x ^ { 2 } + x y + y ^ { 2 } right ) right ]
& = ( x + y ) left ( x ^ { 2 } – x y + y ^ { 2 } right ) ( x – y ) left ( x ^ { 2 } + x y + y ^ { 2 } right )
end {aligned} $$

مثال ششم فرمول اتحاد در ریاضی

اگر $$ x + frac 1 x = 5 $$ باشد، آنگاه مقدار عبارت $$ x ^ 4 + frac {1} { x ^ 4 } $$ را بهدست آورید.

حل: اتحاد مربع زیر را برای دو جمله $$ x $$ و $$ frac 1 x $$ داریم:

$$ large ( x + frac 1 x ) ^ 2 = x ^ 2 + 2 ( x ) ( frac 1 x ) + (frac 1 x ) ^ 2 = x ^ 2 +2 + frac 1 { x ^ 2 } = x ^ 2 + frac 1 { x ^ 2 } + 2 $$

مقدار $$ x + frac 1 x = 5 $$ را میدانیم و در تساوی بالا قرار میدهیم. بنابراین، خواهیم داشت:

$$ large ( 5) ^ 2 = 25 = x ^ 2 + frac 1 { x ^ 2 } + 2 $$

بنابراین، تساوی زیر را داریم:

$$ large x ^ 2 + frac 1 { x ^ 2 } = 23 $$

اکنون دو طرف تساوی بالا را به توان دو میرسانیم و مینویسیم:

$$ large left ( x ^ 2 + frac 1 { x ^ 2 } = 23 right ) ^ 2 Rightarrow left ( x ^ 2 + frac 1 { x ^ 2 } right )^ 2 = 23 ^ 2 $$

با به توان دو رساندن عبارت سمت چپ، داریم:

$$ large (x ^ 2)^ 2 + 2 ( x ^ 2 ) ( frac 1 { x ^ 2 } ) + ( frac 1 { x ^ 2 } ) ^ 2 = 529
large Rightarrow x ^ 4 + 2 + frac 1 { x ^ 4 } = 529
large Rightarrow x ^ 4 + frac 1 { x ^ 4 } = 529 – 2 = 527 $$

مثال هفتم فرمول اتحاد در ریاضی

مقدار $$107 ^ 3 $$ را به دست آورید.

حل: این عبارت را میتوان به صورت زیر نوشت:

$$107^ 3 = (100+7)^ 3 $$

از اتحاد مکعب دوجملهای استفاده میکنیم:

$$ (a+b)^3 = a ^ 3 + b ^ 3 + 3 a b (a+b)$$

با قرار دادن $$ a = 100$$ و $$ b = 7 $$، خواهیم داشت:

$$ ( 100 + 7 ) ^ 3 = 100 ^ 3 + 7^ 3 + 3(100)(7)(100 + 7)
(100 + 7)^ 3 = 1000000 + 343 + 3(100)(7)(107)
(100 + 7)^ 3 = 1000000 + 343 + 224700
(107 ) ^ 3 = 1225043 $$

بنابراین، مقدار $$107^ 3$$ برابر است با $$1,225,043$$.

مثال هشتم فرمول اتحاد در ریاضی

$$ large (x – 2 ) ( x + 1 ) ( x ^ 2 – x + 3 ) $$

حل: همانطور که میبینیم، انجام ضرب مستقیم این سه عبارت کار دشواری است. بنابراین، تا جای که میتوانیم آن را ساده میکنیم. احتمالاً بتوانیم عبارتهای مشترکی بین پرانتزها پیدا کنیم. حاصلضرب $$ (x – 2 ) ( x + 1 ) $$ را را با کمک اتحاد جمله مشترک میتوانیم بهصورت زیر بنویسیم:

$$ large (x – 2 ) ( x + 1 ) = x ^ 2 – x – 2 $$

پس، میتوان نوشت:

$$ large (x – 2 ) ( x + 1 ) ( x ^ 2 – x + 3 ) = ([x ^ 2 – x] – 2 ) ( [ x ^ 2 – x ]+ 3 ) $$

میبینیم که $$ x ^ 2 – x $$ بین دو عبارتی که در هم ضرب شدهاند مشترک است. باز هم از اتحاد جمله مشترک کمک میگیریم و مینویسیم:

$$ large begin {align*} ([x ^ 2 – x] – 2 ) ( [ x ^ 2 – x ]+ 3 ) & = [x^2 – x ]^ 2 + (-2+3) [x ^ 2 – x] + (-2) (3) & =
(x ^ 2 )^ 2 -2 (x^2) ( x) + (x) ^ 2 +1 (x ^ 2 – x ) -6 & =
x ^ 4 -2x^ 3+x^ 2 +x^ 2- x – 6 & = x ^ 4 -2x^ 3 +2 x ^ 2 – x -6
end {align*} $$

مثال نهم فرمول اتحاد در ریاضی

چندجملهای زیر را تجزیه کنید.

$$ large 3 { x ^ 4 } – 3 { x ^ 3 } – 3 6 { x ^ 2 } $$

حل: میبینیم که $$ 3x^2$$ در همه جملات وجود دارد و میتوان از آن فاکتور گرفت. بنابراین، داریم:

$$ large 3 { x ^ 4 } – 3 { x ^ 3 } – 3 6 { x ^ 2 } = 3 { x ^ 2 } left ( { { x ^ 2 } – x – 1 2 } right ) $$

با استفاده از اتحاد جمله مشترک، در نهایت چندجملهای به صورت زیر تجزیه میشود:

$$ large 3 { x ^ 4 } – 3 { x ^ 3 } – 3 6 { x ^ 2 } = 3 { x ^ 2 } left ( { x – 4 } right ) left ( { x + 3 } right ) $$

مثال دهم فرمول اتحاد در ریاضی

چندجملهای زیر را تجزیه کنید.

$$ large {x^4} – 25 $$

حل: چندجملهای را میتوانیم به صورت زیر بنویسیم:

$$ large { x ^ 4 } – 2 5 = { left ( { { x ^ 2 } } right ) ^ 2 } – { left ( 5 right ) ^ 2 } $$

در نتیجه، با استفاده از اتحاد مزدوج، خواهیم داشت:

$$ large { x ^ 4 } – 2 5 = left ( { { x ^ 2 } + 5 } right ) left ( { { x ^ 2 } – 5 } right ) $$

مثال یازدهم فرمول اتحاد در ریاضی

چندجملهازی زیر را تجزیه کنید.

$$ large {x^4} + {x^2} – 20 $$

حل: اگر به چندجملهای بالا دقت کنیم، جمله $$ x ^ 2 $$ آن را میتوانیم به عنوان یک متغیر در نظر بگیریم و در نتیجه با توانهایی پایینتر سر و کار داشته باشیم تا سادهسازی عبارت آسانتر شود. بنابراین، $$ u = x ^ 2 $$ را در نظر میگیریم. در نتیجه، $$ {u^2} = {left( {{x^2}} right)^2} = {x^4} $$ خواهد بود. بنابراین، چندجملهای به صورت زیر در میآید:

$$ large { x ^ 4 } + { x ^ 2 } – 2 0 = { u ^ 2 } + u – 2 0 $$

این چندجملهای را میتوان به صورت زیر تجزیه کرد:

$$ large begin {align*} { x ^ 4 } + { x ^ 2 } – 2 0 & = { u ^ 2 } + u – 2 0 & = left ( { u – 4 } right ) left ( { u + 5 } right ) & = left ( { { x ^ 2 } – 4 } right ) left ( { { x ^ 2 } + 5 } right ) end {align*} $$

در ادامه، میتوانیم $$ x ^ 2 – 4 $$ را با استفاده از اتحاد مزدوج ساده کنیم. در نهایت، چندجملهای مورد نظر به صورت زیر تجزیه خواهد شد:

$$ large { x ^ 4 } + { x ^ 2 } – 2 0 = left ( { x – 2 } right ) left ( { x + 2 } right ) left ( { { x ^ 2 } + 5 } right ) $$

مثال دوازدهم فرمول اتحاد در ریاضی

فرض کنید $$ x $$ و $$ y $$ دو عدد حقیقی باشند، بهطوری که $$ x + y = 7 $$ و $$ x ^ 3 + y ^ 3 = 1 3 3 $$. مقدار $$ x y $$ را محاسبه کنید.

حل: با استفاده از اتحاد چاق و لاغر، میتوان نوشت:

$$ large begin {aligned}
x ^ 3 + y ^ 3 & = ( x + y ) ( x ^ 2 + y ^ 2 – x y )
1 3 3 & = 7 ( x ^ 2 + y ^ 2 + 2 xy – 3 x y )
1 9 & = ( x + y ) ^ 2 – 3 x y
1 9 & = 4 9 – 3 x y
3 0 & = 3 x y
1 0 & = x y
end {aligned} $$

بنابراین، $$ x y = 10 $$ است.

معرفی فیلم آموزش ریاضی و آمار (۱) – پایه دهم علوم انسانی

یکی از آموزشهای ویدیویی دوره دبیرستان فرادرس، «آموزش ریاضی و آمار (۱) – پایه دهم علوم انسانی» است که به طور ویژه مربوط به دانشآموزان رشته علوم انسانی است. این آموزش ویدیویی در قالب چهار درس و در زمان ۶ ساعت و ۱۹ دقیقه تدوین شده است. در درس یکم، معادله درجه دوم مورد بحث قرار گرفته که شامل مطالب اصلی درس، نکات مهم و مثالهای حل شده است. در درس دوم، موضوع مهم تابع ارائه شده و در آن، به موارد مهمی از قبیل تعریف ضابطه و تابع، رسم آن، دامنه و برد تابع و… پرداخته شده است. کار با دادههای آماری موضوع درس سوم است. در نهایت، در درس چهارم به طور کامل، مطالب کتاب درسی درباره نمایش دادهها ارائه شده است.

جمعبندی

در این آموزش به فرمول اتحاد در ریاضی پرداختیم و مهمترین اتحادها را معرفی کردیم. جدول زیر خلاصه این اتحادها را نشان میدهد.

اتحاد مربع مجموع دو جمله	$$ {(a+b)^ 2 = a ^ 2 + 2 ab+b^2}$$
اتحاد مربع تفاضل دو جمله	$${( a – b )^ 2 = a ^ 2 – 2 a b + b ^ 2 }$$
اتحاد مربع مجموع سه جمله	$${(a+b+c)^2 = a ^ 2 +b^ 2 + c ^ 2 + 2 ab + 2ac +2bc }$$
اتحاد مربع تفاضل سه جمله	$${(a – b – c) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 – 2 ab – 2ac +2bc}$$
اتحاد مکعب مجموع دو جمله	$${(a+b)^ 3 = a ^ 3 + 3a^2b+3ab^2+b^ 3 }$$
اتحاد مکعب تفاضل دو جمله	$${(a-b)^ 3 = a ^ 3 -3 a^2b+3ab^2-b^ 3}$$
اتحاد مکعب سه جمله	$${ begin {align} &( a + b + c ) ^ { 3 } & = 3 ( b + c ) ( a + b )( a + c )+ a ^ { 3 } + b ^ { 3 } + c ^ { 3 } & = 3a^2b + 3a^2c + 3ab^2 + 3b^2c + 3ac^2 + 3bc^2 + 6abc end {align} }$$
اتحاد مزدوج	$${ (a+b ) ( a – b ) = a ^ 2 – b ^ 2 }$$
اتحاد جمله مشترک	$${ ( x + a ) ( x + b ) = x ^ 2 + ( a + b ) x + a b }$$
اتحاد چاق و لاغر مجموع	$${a ^ 3 + b ^ 3 = ( a + b ) ( a ^ 2 – ab + b ^ 2 ) }$$
اتحاد چاق و لاغر تفاضل	$${a ^ 3 – b ^ 3 = ( a – b ) ( a ^ 2 + ab + b ^ 2 ) }$$

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزشها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد میشوند: